数列经典例题集锦.doc

|数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质例题 1. 已知数列 na满足 11,3(2)na. （1）求 32,；（2）证明： n.解：（1） 2123,14,1aa. （2）证明：由已知nn，故 )()()( 12211ann233n， 所以证得32na. 例题 2. 数列 na的前 项和记为 11,(1)nnSS（）求 的通项公式；（）等差数列 nb的各项为正，其前 项和为 nT，且 35，又123,aba成等比数列，求 n. 解：（）由 12nS可得 12()aS，两式相减得： 1,3nn，又 21aS 2 故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列 3n（）设 b的公比为 d，由 315T得，可得 1235b，可得 2b故可设 135,，又 23,9a，由题意可得 ()(9)(，解得 12,0d等差数列 n的各项为正， 0 2()3nTn例题 3. 已知数列 na的前三项与数列 nb的前三项对应相同，且 213.a128na对任意的 *N都成立，数列 n1是等差数列. 求数列 n与 b的通项公式；是否存在 k，使得 (0,)ka，请说明理由. 点拨：（1） 2113.8na左边相当于是数列 12na前 n 项和的形式，可以联想到已知 nS求 的方法，当 时， 1nnSa. （2）把 kb看作一个函数，利用函数的思想方法来研究 kb的取值情况. |解：（1）已知 213a 1na8(*N）2n时， 2 2)n）得， 8n，求得4n，在中令 ，可得得 11，所以4na(N*）. 由题意 1b， 2， 3b，所以 214b， 32b，数列 n的公差为 )(， 1n)1(46n，2321n()8 74(*N）. （2） kba7k4k，当 4时，2()f单调递增，且 (4)1f，所以 k时， 14fkk， 又 (1)2(3)0f ，所以，不存在 *N，使得 (,)kba. 例题 4. 设各项均为正数的数列a n和b n满足：a n、b n、a n+1 成等差数列，b n、a n+1、b n+1成等比数列，且 a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项 an，b n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 a n、b n 为正数， 由得 21211,nnn baba， 代入并同除以 1n得： 2 ， n为等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j b 1 = 2 ， a2 = 3 ， 9,21b则， 2)1(),1()9)( nnn，当 n2 时， 21bnn，又 a1 = 1，当 n = 1 时成立， )(a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2. 研究前 n 项和的性质例题 5. 已知等比数列 n的前 项和为 nSab，且 13a. （1）求 a、 b的值及数列 a的通项公式；|（2）设nba，求数列 nb的前 项和 nT.解：（1） 2时， aS12.而 n为等比数列，得 aa12，又 3a，得 ，从而 3na.又 13,b.（2） 12nnb， 2()n nT2311(n nT） ，得 21(1)32n nT，11)4()322nn n.例题 6. 数列 na是首项为 1000，公比为 10的等比数列，数列 bn满足12(lglg)k kba*()N，（1）求数列 n的前 项和的最大值；（2）求数列 |n的前 项和 nS. 解：（1）由题意：410n， l4n，数列 lga是首项为 3，公差为的等差数列， 12()lglg32kaa，1()732nb由 10nb，得 67n，数列 n的前 项和的最大值为 6721S. （2）由（1）当 时， 0b，当 7时， 0n，当 7n时，212313()24nnS当 时，12789n nSbb 27121()4nSb23()41nn. 例题 7. 已知递增的等比数列 na满足 2348a，且 32a是 ， 4的等差中项. （1）求 na的通项公式 ；（2）若12lognnb， 1nSb 求使230nS成立的 的最小值. |解：（1）设等比数列的公比为 q（q1） ，由 a1q+a1q2+a1q3=28，a 1q+a1q3=2（a 1q2+2） ，得：a 1=2，q=2 或 a1=32，q= 2（舍）a n=2·2（n1） =2n（2） 2lognb，S n=（1·2+2·2 2+3·23+n·2n）2S n=（1·2 2+2·23+n·2n+1） ，S n=2+22+23+2nn·2 n+1=（n1）·2 n+12，若 Sn+n ·2n+1 30 成立，则 2n+132，故 n4，n 的最小值为 5. 例题 8. 已知数列 na的前 n 项和为 Sn，且 1,na成等差数列， *1,Na. 函数3()logfx. （I）求数列 n的通项公式；（II）设数列 nb满足1(3)(2nnfa，记数列 nb的前 n 项和为 Tn，试比较5213nT与的大小. 解：（I） 1,nSa成等差数列， 1nS 当 2时， 1nSa. 得： 12()nn， 3a，13.n当 n=1 时，由得 12Sa， 又 1,221,aa是以 1 为首项 3 为公比的等比数列， 1.n（II） xlogf， 33()loglnnf， ()()(212nnbf，111)2435673Tnn()n5,12()3比较 123与的大小，只需比较 2()n与 312 的大小即可. 2()(56)510n2(5)10n *,Nn当 *9N与时，(3,;3T与当 10时，22()312,;1nT与当 *n与时，5(),3nn与. 3. 研究生成数列的性质例题 9. （I ） 已知数列 nc，其中 nn2，且数列 npc1为等比数列，求常数 p；|（II） 设 na、 b是公比不相等的两个等比数列， nnbac，证明数列 nc不是等比数列. 解：（）因为c n+1pc n是等比数列，故有（c n+1pc n） 2=（ cn+2pc n+1） （c npc n 1） ，将 cn=2n3 n 代入上式，得2n1 +3n1 p（2 n3 n） 2=2n2 +3n2 p（2 n+13 n+1） ·2n+3np（2 n1 3 n 1） ， 即（2p）2 n+（3p）3 n2=（2p）2 n+1+（3p）3 n+1 （2p）2 n 1+（3p）3 n 1，整理得 6（2p） （3p）·2 n·3n=0，解得 p=2 或 p=3. （）设a n、b n的公比分别为 p、q，pq，c n=an+bn. 为证c n不是等比数列只需证 2c 1·c3. 事实上， 2=（ a1pb 1q） 2= p2 bq22a 1b1pq，c1·c3=（a 1b 1） （a 1 p2b 1q2）= 1p2 q2a 1b1（p 2q 2） . 由于 pq，p 2q 2>2pq，又 a1、b 1 不为零，因此 c1·c3，故c n不是等比数列. 例题 10. n2（ n4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 a24=1， 163,8442a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求 S=a11 + a22 + a33 + + ann 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 设数列 1k的公差为 d， 数列 ik（i=1 ，2，3， ，n）的公比为 q 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j则 1k= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dq k1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j依题意得： 163)2(8)(14324qda，解得：a 11 = d = q = ± 21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 n2 个数都是正数， a 11 = d = q = ， a kk = k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nS 213212 ， 142，两式相减得： nS21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|例题 11. 已知函数 3()log()fxab的图象经过点 )1,2(A和 ),5(B，记()*3,.fnaN（1）求数列 na的通项公式；（2）设 nbTb21,，若 )(ZmT，求 的最小值；（3）求使不等式12)1()(21 paan对一切 *Nn均成立的最大实数 p.解：（1）由题意得 )5(log3b，解得 1b，)12(l)(3xf*)12(log,3nann（2）由（1）得 nb， nnT21325311 1132 225nnnT 得 )212(12 n 1n1n23. nn2nn3T，设*,)(Nf，则由 15231)32(5)(11 nnnfn得*,Nf随 的增大而减小当时， nT又 )(Zmn恒成立， 3min（3）由题意得*21)1(2Naap 对恒成立记)(1)(2nnF，则1n2)1()n(42)32(1n )a()(a1132)(1 ,0)FF即是随 的增大而增大 |)(nF的最小值为32)1(F，32p，即32maxp.（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列.例题 12. 数列 na中， 2,841a且满足 nnaa12， *N.求数列 的通项公式；设 |21nnS ，求 nS；设 b= ()na* *12(), ()NnnTb ，是否存在最大的整数 m，使得对任意 *，均有 3m成立？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意， nna12， n为等差数列，设公差为 d，由题意得 28d， 82()102.（2）若 50则 ， |, nnaS时 212192naa6n时， naaS 76555()40nn故 4092（3）11()()2()nnban，nT 1 ()234n .2(1)n若 3m对任意 *Nn成立，即 16mn对任意 *N成立，*()1n的最小值是 2，,的最大整数值是 7. 即存在最大整数 ,7使对任意 *n，均有.32nT例题 13. 已知等比数列 nb与数列 a满足 ,nabN*. （1）判断 na是何种数列，并给出证明；（2）若 813120,m与. 解：（1）设 n的公比为 q， 3na， qlog1na3q3na1nan。所以 n是以 3log为公差的等差数列. （2） 81,a所以由等差数列性质可得 120813,m1312020()am120()1ab|2. 由简单递推关系证明等差等比数列例题 14. 已知数列 na和 b满足：1a， 2， 0na， 1nnba（ *N） ，且 nb是以 q为公比的等比数列. （I）证明：2nq；（II）若 21nc，证明：数列 nc是等比数列；（III）求和： 123421naaa. 解法 1：（I）证：由1nbq，有21nnq， *Nnqa2n. （II）证： 2na，22131naq， 2n2n2qa.a，21()5ncq. n是首项为 5，公比为 的等比数列. （III）解： 由（ II）得221nna，22nqa，于是12213212421()()nn na a 421 2()()nqqaqq 2123()n. 当 q时， 242122131()nnaaqq 3. 当 时， 242122()nn 23()nq23(1)nq. 故2122 11.()nn qqaa ， ，|解法 2：（I）同解法 1（I）. （II）证： 222*2211 ()Nnnnncaqaq，又 125ca，n是首项为 5，公比为 2的等比数列. （III）由解法 1 中（II）的类似方法得 22211()3nnnaaq，34221221 nnaa ，24213kkkkq， 1， ， ， . 2n2n221 q.a.a . 例题 15. 设数列 0,1,)1(, 其 中且项 和 为的 前 nnn aS（1）证明：数列 是等比数列；（2）设数列 na的公比 ()qf，数列 nb满足 1，b n=f （b n1 ） （nN *， n2） ，求数列 nb的通项公式；（3）设 1，(1)nnCb，求数列 nC的前 n 项和 n. （1）证明：由 11()(2)SaSa相减得：1,2,nna数列 n是等比数列（2）解： 1nb是首项为 12b，公差为 1 的等差数列，12()1nb. nb. （3）解： 时1,(),()(nnaCa 21()3nT得：nnn2112T所以：4()()nnn. |例题 16. OBC的各个顶点分别为 (0,)1,(2)，设 1P为线段 BC的中点， 2P为线段OC 的中点， 3P为线段 1的中点 . 对每一个正整数 3n为线段 1n的中点. 令 n的坐标为 (,)nxy， 22nnay. （1）求 321,a及 ,()Nn；（2）证明： 4y（3）记 ,()nnb，证明： nb是等比数列 . （1）解：因为 y1=y2=y4=1， y3=12，y 5= 4，所以 得 a1=a2=a3=2. 又由 3n，对任意的正整数 n 有an+1= 123n=112n= 122nny=an 恒成立，且 a1=2， 所以a n为常数数列， an=2， （n 为正整数）（2）证明：根据124ny， 及 12=an=2， 易证得 yn+4=1 4n（3）证明：因为 bn+1= 4n84=（14ny）（14y）=1b，又由 b1= 48y=1 y4= ， 所以b n是首项为1，公比为 的等比数列. 【模拟试题】一、填空题1. 在等差数列a n中，已知 a 1=2，a 2+a 3=13，则 a 4+a 5+a 6等于= . 2. 已知数列的通项 5，则其前 n项和 nS . 3. 首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差 d的取值范围是 . 4. 在等比数列 n中， 3和 5 是二次方程 20xk 的两个根，则 642a的值为 .