2022年椭圆知识点与性质大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆与方程【学问梳理】1、椭圆的定义平面内,到两定点2a1F、F 2的距离之和为定长2 aF F 22 , a a0的点的轨迹称为椭圆,其中两定点.F 1、F 2称为椭圆的焦点,定长称为椭圆的长轴长,线段F F2的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第肯定义2、椭圆的简洁性质标准方程x2y21ab0y2x21ab0ca22 b22ab顶点坐标Aa ,0、B0,bAb ,0、B0,a焦点坐标左焦点F 1c,0,右焦点F 2c ,0上焦点F 1 0,c,下焦点F 2 0,长轴与短轴长轴长2a、短轴长2b长轴长2a、短轴长2b有界性axa,bybaya,bxb,对称性关于x轴对称,关于y轴对称,同时也关于原点对称.a、b、ca2b2c2之间关系3、焦半径椭圆上任意一点P到椭圆焦点F的距离称为焦半径,且PFac ac,特殊地,如aP x0,y 0为椭圆aex 0,其x2y21ab0上的任意一点,F 1c,0,F c 2 ,0为椭圆的左右焦点,就|PF 1|PF2|ex 0,2 a2b中ec.a4、通径过椭圆x2.y21ab0焦点F作垂直于长轴的直线,交椭圆于A、B两点,称线段AB为椭圆的通径,且a22 bAB2b2a5、焦点三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - P为椭圆x2y21ab0上的任意一点,F 1c ,0,F 2 ,0为椭圆的左右焦点,称PF F 2为椭圆的焦点三角a22 b形,其周长为：CF PF 1 22 a2c,如F PF 2,就焦点三角形的面积为：SF PF 12b2 tan2.6、过焦点三角形直线l过椭圆x2y2C1aba0的左焦点F 1,与椭圆交于.A x 1,y 1、B x2,y 2两点,称ABF2为椭圆的过焦点a2b2三角形,其周长为：ABF 24,面积为S ABF2cy 1y 27、点与椭圆的位置关系P x 0,y0为平面内的任意一点,椭圆方程为x2y21ab0：如2 x 02 y 01,就P在椭圆上；如x2 02 y 01,2 ab2a22 ba2b2就P在椭圆外；如2 x 0y2 01,就P在椭圆内 .a2b28、直线与椭圆的位置关系直线l:AxByC0,椭圆：x2y21 ab0,就a22 bl与相交2 2a A2 b B2C2；* ）l与相切2 2a A2 b B2C2；l与相离2 2a A2 b B2C2.9、焦点三角形外角平分线的性质（点P x y , 是椭圆2 xy21 ab0上的动点,F F 2是椭圆的焦点,M是F PF 2的外角平分线上一点,且2 ab2uuuur uuur F M MPa,即动点2 xy22 ax.M的点的轨迹为a0,就OM10、椭圆上任意两点的坐标性质名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - A x 1,y 1,B x 2,y 2为椭圆x2y21ab0上的任意两点,且x 1x 2,就2 y 1y2 2b2.2 ab22 x 12 x 2a2【推广 1】直线l过椭圆2 xy21ab0的中心,与椭圆交于0A x 1,y 1,B x 2,y2两点,P为椭圆上的任意一a2b2点,就kAPkBPb2（kAP,kBP均存在） .x2y21ab于C、D两点,交直线l2、yk x于点E如2ak xm m0交椭圆【推广 2】设直线l1、y2 ab2E为CD的中点,就k k2b2.a211、中点弦的斜率Mx 0,y 0y 0k0为椭圆x2y21ab0内的一点,直线l过M与椭圆交于A B两点,且AMBM,就a2b2直线l的斜率AB2 b x 0.2 a y 012、相互垂直的半径倒数的平方和为定值如A、B为椭圆C：x2y21ab0上的两个动点,O为坐标原点,且OAOB就|12 |12 |定值a22 bOAOB112 ab2【典型例题】例 1、 直线ykx1与椭圆x22 y1恒有公共点,就m的取值范畴是 _P的轨迹方程 .5m【变式 1】已知方程x25y21表示椭圆,就k的取值范畴 _k3k【变式 2】椭圆y m22x221的两个焦点坐标分别为_m例 2、 已知圆A:x32y2100,圆A内肯定点B3,0,圆P过点B且与圆A内切,求圆心第 3 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 1】已知圆O 1:x12y21,圆O 2:x12y29, 动圆M分别与圆O 1相外切,与圆O2相内切 .求动圆圆心M所在的曲线的方程.A 4,0,B4,0,ABC的周长为 18,就顶点C的轨迹方程为ABC的两个顶点坐标为【变式 2】已知_【变式 3】已知动圆P过定点A3,且在定圆B：x32y264的内部与其相内切,求动圆的圆心P的轨迹方程名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3、 如P是椭圆x2y21上的点,F 1和F 2是焦点,就43uuuur uuur（1）PF 2 PF 1 的取值范畴为 _uuur uuuur（2）PF 1 PF 2 的取值范畴为 _uuur 2 uuuur 2（3）PF 1 PF 2 的取值范畴为 _2 2【变式 1】点 P x y , 是椭圆 x y 1 上的一点,F F 2 是椭圆的焦点,M 是 PF 1 的中点,且 PF 1 2,O 为9 4坐标原点,就 OM _.2 2【变式 2】点 P x y , 是椭圆 x2 y2 1 a b 0 上的动点,F F 2 是椭圆的焦点,M 是 F PF 2 的外角平分线a buuuur uuur上一点,且 F M MP 0,就动点 M 的轨迹方程为 _2 2例 4、 已知椭圆 x y 1 内有一点 A 2,1,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求 PA PF 的最大值与25 16最小值 _【变式】如椭圆x2y21的左、右两个焦点分别为F1、F2,过点F 1的直线l与椭圆相交于A、B两点,就167AF 2B的周长为 _的焦点,点P为其上动点,且F PF 260,就F PF 2的面积是 _例 5、F F 2是椭圆x2y214名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式】焦点在轴x上的椭圆方程为x2y21 a0,1F、F 2是椭圆的两个焦点,如椭圆上存在点B,使得a2F BF 22,那么实数a的取值范畴是 _.例 6、 已知椭圆2 xy21,2（1）求过点P1 1,2 2且被P平分的弦所在的直线的方程；.k OPk OQ1,第 6 页,共 19 页（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A2 1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程斜率满意（4）椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ2求线段PQ中点M的轨迹方程名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7、 已知椭圆2 x C：4y21,试确定m的取值范畴,使得对于直线l：y4xm,椭圆C上有不同的两点关3于该直线对称例 8、 已知椭圆4x22 y1及直线yxm（1）当m为何值时,直线与椭圆有公共点？第 7 页,共 19 页（2）如直线被椭圆截得的弦长为210,求直线的方程5名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9、 已知定点A2,0,动点B是圆F:x2 2y264（F为圆心）上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P.P的轨迹方程；点的轨迹于M,N两点,如P点的轨迹上存在点C,使OMONmOC ,求实数（1）求动点（2）直线y3x1交P第 8 页,共 19 页m的值；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10、已知椭圆x2y21（ab0）,过点Aa ,0,B0,b的直线倾斜角为6,原点到该直线的距离为a2b23 2（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过D1,0与椭圆交于E,F两点,如ED2DF,求直线EF的方程；（3）是否存在实数k,直线yPQ两点,以PQ为直径的圆过点kx2交椭圆于,D 1,0？如存在,求出k的值；如不存在,请说明理由第 9 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 11、如AB是经过椭圆2 xy21中心的一条弦点,F F 2分别为椭圆的左、右焦点,求1F AB的面积的最大2516值.【变式 1】已知直线l与椭圆x22 y1交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为3,求AOB的面积的32最大值 .【变式 2】斜率为1的直线l与椭圆x22 y1交于A、B两点,O为坐标原点,求AOB面积取最大值时直线42l的方程 .第 10 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 3】已知定点A a0,和椭圆x22y28上的动点Px,y（1）如a2且| PA|322,运算点P的坐标；ykx k0交线段AB于点D,（2）如0a3且| PA|的最小值为1,求实数a的值 .【变式 4】如图,椭圆的中心在原点,A2,0 ,B0,1是它的两个顶点,直线交椭圆于E F两点 .,求直线的斜率k；第 11 页,共 19 页（1）如uuur 6 DFuuur ED名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）求四边形AFBE的面积S的最大值 .【变式 5】椭圆2 xy21b0的一个焦点是F1,04b2（1）求椭圆的方程；（2）已知点P是椭圆上的任意一点,定点M为x轴正半轴上的一点,如PM的最小值为8,求定点M的坐标；5（3）如过原点O作相互垂直两条直线,交椭圆分别于A C与B D两点,求四边形ABCD面积的取值范畴.名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点3,0 ,3,0的距离之和为4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E 1,0,且与曲线C交于A B两点 .第 13 页,共 19 页（1）求曲线C的方程；（2）以AB为直径的圆能否通过坐标原点？如能通过,求此时直线l的方程,如不能,说明理由.（3）AOB的面积是否存在最大值？如存在,求出面积的最大值,以及此时的直线方程,如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12、已知椭圆x22y22 a a0的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4（1）求椭圆C的方程；A、B两点,试问,是否存在x轴上的点M m ,0,使得对任意的（2）已知直线ykx1 与椭圆C交于kR,uuur uuur MA MB为定值,如存在,求出M点的坐标,如不存在,说明理由.【变式 1】过椭圆x2y21长轴上某一点S s,0（不含端点）作直线l（不与x轴重合）交椭圆于M N两点,82如点T t,0满意：uuur uuur OS OT8,求证：MTSNTS.第 14 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 2】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点1,3在椭圆C上2（1）求椭圆C的方程；P作方向向量ur d2,1的直线l交椭圆C于A、B两点,求证：第 15 页,共 19 页（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点,过PA2PB2为定值名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 3】如图,A为椭圆x2+y21ab0上的一个动点,弦AB AC分别过椭圆的的左右交点F F 1 2.当a2b2ACx轴时,恰好AF 13AF 22是否为定值？如是,求出定值；如不是,说明理由,M.（1）求c的值2uuuur F C,试判定1a（2）如uuur AF 11uuur F B,uuuur AF 2【变式 4】线段A B分别在x轴,y轴上滑动,且AB3,M为线段AB上的一点,且AM1随A B的滑动而运动两点,交y轴于P,uuur PC1uuur CN,uuur PD2uuur DN,试判定12是否（1）求动点M的轨迹方程E；（2）过N 3,0的直线交曲线E于C D.第 16 页,共 19 页为定值？如是,求出定值；如不是,说明理由名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 5】如图,已知椭圆C：2 xy21,其左右焦点为F 11,0及F 21,0,过点F 1的直线交椭圆C于a2b2A B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D E两点,且AF 1、F F 2、AF 2构成等差数列 .（1）求椭圆C的方程；O为原点）的面积为S 2Q2,7为椭圆上一点（2）记 GF D的面积为S 1,OED（试问：是否存在直线AB,使得S 1S 2？说明理由x轴上,点【变式 6】已知椭圆C的方程为x2y21a0,其焦点在2a222名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点Px 0,y 0满意uuur OPuuuur OMuuur 2 ON,其中M、N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为1,求证：2 x 022 y 0为定值；,使得PAPB为定值？2（3）在（ 2）的条件下探究：是否存在两个定点A B如存在,给出证明；如不存在,请说明理由例 13、椭圆的一个顶点A0, 1,焦点在x轴上,右焦点到直线xy2 20的距离为 3.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线ykxm k0相交于不同两点M,N,当AMAN时,求实数m的取值范畴 .第 18 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 1】已知A、B、C是椭圆x2y21ab0上的三点,其中A2 3,0,BC过椭圆的中心,且a2b2uuur uuur AC BC0,2uuur AC.uuur BC（1）求椭圆的方程；（2）过点M0,t的直线l（斜率存在时）与椭圆交于两点P Q,设D为椭圆与y轴负半轴的交点,且uuur DPuuur DQ.求实数t的取值范畴 .第 19 页,共 19 页名师归纳总结 - - - - - - -