2022年概率论第三章：二维随机变量及其联合分布.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 二维随机变量及其联合概率分布考试内容：二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度 / 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布考试要求：1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。一、知识要点1、二维随机变量的分布函数(X,Y)的联合分布函数F(x,y)P Xx ,Yy，性质 :0F(x ,y)1，单调不减，右连续，0，F(,)1；F(,)0，F(,y)0，F(x,)X 的边缘分布函数：FX(x)F(x ,)；,，一般用矩形表格列出；Y 的边缘分布函数：FY(y)F(,y ). 2、二维离散型随机变量(X,Y)联合分布律：P(Xx 1,Yyj)pij，i, j1 2,边缘分布律：P(X记. xi)pijp i，i,1 ,2jP( Yy记j)pijpj，j,12 ,i3、二维连续型随机变量(X,Y)y)为(X,Y)的联合密度函数；若F(x,y )xyf( u,v )d u d v，称f(x,f(x ,y)的性质 : x ,y)；(1) f(x,y)0；(2) f(x ,y)d x d y1；(3) 若f(x ,y)连续，则2F(x,y )f(xy(4)P (X,Y)D f(x ,y)d x d y；D1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 边缘密度 : f X(x )f(x ,y )d y；fY(y )f(x ,y )d x；二维均匀分布：f(x ,y )21,(x,y)D，SD为 D 的面积；11y22y222S D其它0,二维正态分布N(1,2;,2;)：12f(x ,y )21112exp12x122x2 1()21其边缘分布分别为一维正态分布XN(1,2 1)，YN(2,2). 24、随机变量的独立性若F(x,y)FX(x)FY(y)，称 X 与 Y 相互独立；，x,yR. 离散型：p ijx ,pi.pj，i, j,12,；f(y)fX(x )fY(y )fX(x)fY(y)连续型：5、条件分布离散型：在Yyj条件下 X 的条件分布为yj)p ij，j1 2,. P (Xx i|Ypj6、二维随机变量函数的分布主要研究ZXY的分布：y,y )d y；连续型，卷积公式：f Z(z )f(x ,zx )d x或f Z(z )f(z若X , Y相互独立，则fZ(z )fX(x)fY(zx )d x或fZ(z )fX(zy )fY(y)d y可加性定理：B(mn ,p)；(1) 设XB (m ,p)，YB(n ,p)，且X, Y相互独立，则XY12); (2) 设XP (1)，YP(2)，且X,Y相互独立，则XYP(3) 设XN(1,2)，YN(2,2)，且X , Y相互独立，则有12,Xn相互独立，则有XYN(12,22); 12推广到有限多个，若XiN(i,2)，i,1 2 ,n，且X1,X2,iZinaiXiN(inaii,ina22)，111ii称为正态分布的可加性. 二、典型例题题型 1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布【例 1】 (研 97) 设两个随机变量X 和 Y 相互独立且同分布：P X1P Y11，22 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - P X1P Y11，则下列各式成立的是11【】2(A)P XY1(B) P XY2(C) P XY0 1(D) P XY0 44【详解 】由 X 和 Y 相互独立知P X Y P X ,1 Y 1 P X ,1 Y 1P X 1 P Y 1 P X 1 P Y 11 1 1 1 1。2 2 2 2 2而 P X Y 0 P X ,1 Y 1 P X 1 , Y 1P X 1 P Y 1 P X 1 P Y 11 1 1 1 1，2 2 2 2 2P XY 0 0。【答案 】应选 (A) .1 0 1【例 2】 (研 99) 设随机变量 X i 1 1 1 (i ,1 2 )，且满足 P X 1X 2 0 1，则 P X 1 X 2 4 2 4等于【】( A )0 ( B) 1 ( C) 1 ( D)1 4 2【详解 】先求联合分布：由于 P X 1X 2 0 1，所以 P X 1X 2 0 0，即P X 1 ,1 X 2 1 P X 1 ,1 X 2 1 P X 1 ,1 X 2 1 P X 1 ,1 X 2 1 0，X 21 0 1 ipX 11 0 a 0 1 / 40 b c d 1 / 21 0 e 0 1 / 4p j 1 / 4 1 / 2 1 / 4 1由联合与边缘分布的关系得 a b d e 1，c 0，4所以 P X 1 X 2 0 c 0 0，【答案 】应选 (A) .【例 3】 (研 09) 设袋中有 1 个红球， 2 个黑球和 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X , Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数 . (1) 求 P X 1 | Z 0 ；(2) 求二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布 . 【详解 】 (1) P X 1 | Z 0 表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率，相当于在红球和黑球中有放回地从袋中两次取球，其中一个为红球，一个为黑球的概率，故3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - (2) X ,P X1|Z0 C1 2C14. 21 C 3C193Y的取值为 0，1，2，且P X,0Y0 1 C 3C11，P X,1YY0 1 C 21 C 61 C 31 6，1，31 C 6C1C1 646P X2 ,Y0 C111，P X,01C1C1C1 3221 6C36C1C13P X,1Y16,0Y2 ,2 C166C1C11，P XC1 21 9，222C1C19C1C1 6666P X2 ,Y1 XP X,1Y2P Y2 0，故二维随机变量(X,Y)的概率分布如下：1 2 Y X 0 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 题型 2：二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布【例 1】 设随机变量(X,Y)的分布函数为(4) P 0yX)2 ,Y3 . (1) F(x ,y)A (Barctanx)(Carctany)，试求：23系数A ,B ,C；(2) (X,Y)的概率密度； (3) 边缘密度函数；【详解 】 (1) 1F(,)A (B2)(C2)，B2)(C2，0F(,)A (B2)(C2)，0F(,)A (BC2，A1. . 262)(2) (X,Y)的联合概率密度函数为f(x ,y)2F(x ,y )2(4xyx2)(9(3) f X(x)f(x ,y)d y2(4x69y2)dy(42x2)，2)(fY(y )f(x ,y)d x2(4x69y2)dx( 93y2)，2)(或解：边缘分布函数分别为FX(x)F(x ,)(41(2)arctanx)，FY(y )F(y,y )1(2arctany)，23求导得边缘密度函数分别为3，fY(yFY(y)32). )x2fX(x)FX(x)(94 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - (4) P 0X2 ,Y3 23f(x ,y )d x d y624dx239d y2020xy61arctan x221arctany33 . 16y，2 e1.22033【例 2】 (研 92) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)ey,0x0,其他(1) 求 X 的边缘密度f X(x)；(2) 求概率P XY1. 【详解 】(1) f X(x )f(x ,y)d y，当x0时，f X(x)0；当x0时，fX(x )xe-yd yex，所以fX(x )ex,x0. 0,x01(2) P XY1 xyf(x,y)d1/2d x1xey y120xe，1【例 3】 (研 95) 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为1yf(x,y )4xy,0x,100,其他；求(X,Y)的联合分布函数. 【详解 】F(x ,y )xyf(u,v )d u d v，分块计算，当x0或y0时，显然F(x,y)0；当0x1 且0y1时，F(x ,y)xy4 uvd u d vx2y200当x1且0y1时，F(x ,y)1y4 uvd u d vy2；00当y1且0x1时，F(x ,y )x14 uvd u d vx2；00当x1且y1时，F(x ,y )114 uvd u d v1，00综上所述，F(x,y )0,x0或y011x2y20x,10yx2,y1且0x. y2,x1且0y11,x1且y1题型 3：二维随机变量函数的分布【例 1】 (研 01) 设二维随机变量(X,Y)在正方形G(x,y)|1x3 1,y3 上服从均匀分布，5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 试求随机变量U|XY|的概率密度函数p(u). yx y = - u【详解 】 由题设知，( X , Y ) 的联合密度函数为 31 / 4 , ( x , y ) G x y = uf ( x , y )0 , ( x , y ) G，2先求 U | X Y | 的分布函数 F ( u ) P U u ，当 u 0 时，F (u ) 0；当 u 2 时，F (u ) 1；1当 0 u 2 时，F ( u ) P | X Y | u | x y | u f ( x , y ) d| x y | u 14 d O 1 2 3 x1 4 3 ( u 1 ) ( 3 u ) 1 1 4 ( 2 u ) 2 1 1( 2 u 2)，4 4 41于是 p ( u ) F ( u ) 2 ( 2 u ) , 0 u 2. 0 , 其他【例 2】 (研 03) 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为1 2X ，0 . 3 0 7.而 Y 的概率密度为 f (y )，求随机变量 U X Y 的概率密度 g (u ) .【分析 】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率 . 注意 X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算 . 【详解 】设 F ( y ) 是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U X Y 的分布函数为G ( u ) P X Y u 0 . 3 P X Y u | X 1 0 . 7 P X Y u | X 2 0 . 3 P Y u 1 | X 1 0 7. P Y u 2 | X 2 . 由于 X 和 Y 相互独立，可见G(u)0 .3P Yu10 .7P Yu20 .3 F(u1 )0 .7F(u2 )，由此，得 U 的概率密度g(u)G(u)03.F(u)10 .7F(u2)0 .3f(u1 )0 .7f(u2 ). 【评注 】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性。【例 3】 (研 07) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1y21xy)d x1(35y4y2 d y7. f(x ,y )2xy,0x,100,其他y(1) 求P X2 Y；(2) 求ZXY的概率密度f Z(z).1【详解】 (1) P X2 Yx2yf(x,y)d xdy2dy2020224(2) 方法一：先求 Z 的分布函数：yFZ(z)P XYZf(x ,y)dx dxyz当z0时, FZ(z)0；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当0z1 时 , FZ(z )D1f(x,y)dxd yzd yzy(2xy )d xz21 z 33；00当1z2时 , FZ(z )1D2f(x,y)dx dy111d y1y( 2xy )d x11(2z )3；zz3当z2时, FZ(z)1. 故ZXY的概率密度2 zz2,0z1fZ(z )FZ(z )( 2z )2,1z2.10,其他方法二：f Z(z )f(x ,zx )d x，f(x ,zx)2x(zx),0x,10zx,0其他F( x )，则ZmaxX,Y的分布函数2z ,0x,1xz1x，0 ,其他当z0或z2时, f Z(z )0；当0z1 时 , fZ(z )z 0 (2z )d xz (2z )；当1z2时 , fZ(z )11( 2z )d x(2z )2；z故ZXY的概率密度2zz2,0z1fZ(z )(2z )2,1z2.0,其他【例 4】 (研 08) 设随机变量X ,Y独立同分布且X 分布函数为】为F2 x)(B) F(x)F(y)【(A) Yx 独立同分布(C) 11F(x )2(D) 1F(x)1F(y)【详解】FZ(x)x P Zx P maxF 2 x )X,Y x P Xx ,P XP Yx .【答案】 应选 (A) .【例 5】 (研 08) 设随机变量X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为P Xi1(idy,1,01 )，Y 的概率3密度为f Y(y ),10y1，记ZXY.,0其他P Y1 2111 2.(1) 求P Z1|X0 ；(2) 求 Z 的概率密度2【详解 1】(1) PZ1|X0 P XY1|X0 2220(2) 先求 Z 的分布函数FZ(z)P XYz ，7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当z2时，F(z)1；当z1 时，F(z)0；当1z2时，由全概率公式，；FZ(z )P XYz P XYz|X1P X1 P XYz|X0 P X0 P XYz|X1P X11P Yz1P Yz P Yz1 31F Y(z1 )FY(z)F Y(z1 )，3所以 Z 的密度函数为fZ(z )FZ(z )1fY(z1 )fY(z )fY(z1 )1 3,1z2.3其他0,【详解 2】 当1z0时，FZ(z )1P YYz1 1z11 dy1 z 1 )3) 1 z3；33 10当0z1时，FZ(z )1P YzP z 1(z1 d y)11330当1z2时，FZ(z )1PYz1PYz P Yz1 1 31(1z11d y)1 z 31 )300 ,z1综合如下FZ(z )1(z1 ),1z2，3 ,1z2所以 Z 的概率密度为fZ(z )FZ(z)1,1z2. 30 ,其他【例 6】 (研 09) 设随机变量X 与 Y 相互独立，且X 服从标准正态分布N(0 ,)1，Y 的概率分布为PY0 P Y11/2，记FZ(z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为【】（A）0 （B） 1 （C）2 （D）3 【详解 】FZ(z )P XYz P XYz|Y0 P( Y0P XYz|Y1P( Y11P X0z|Y0 1P Xz|Y1，22因为 X 与 Y 相互独立，所以FZ(z )1P X0z 1P Xz 1(z )/2,/2,z0，(z )z022显然z0是FZ(z)唯一的间断点 . 【答案 】 应选 (B). 题型 4：随机变量的独立性与相关性【例 1】 (研 90) 一电子仪器由两个部件构成，以X 和 Y 分别表示两个部件的寿命( 单位 : 千小时 ) ，已知 X 和 Y 的联合分布函数为F(x ,y )1e0.5xe0.5ye.05(xy),若x,0y0，0 ,其他8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ( 1) 问 X 和 Y 是否独立？(2) 求两个部件的寿命都超过100 小时的概率. 1 【详解 】 由题设条件知，X 和 Y 的边缘分布函数分别为FX(x )F(x ,)1e.05x,x0，0 ,x0F Y(y)F(,y )1e.05y,y0.0 ,y0(1) 由上式知F(x,y)FX(x)FY(y)，故 X 和 Y 相互独立 . (2) P X0,1.Y0 .1P X0 .1P Y01.(1P X01. )( 1P Y01. )1FX(01. )1FY(0.1 )e0.1. 【例 2】 (研 05) 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y0100 4.a1b0 1.若随机事件 X0 与XY1相互独立，则a, b.【答案 】应填0.4,0 .1.【分析 】 首先所有概率求和为1，可得ab.05。其次，利用事件的独立性又可得一个等式，由此可确定a,b的取值 .【详解 】 由题设，知与a XbY0 5.1；又事件 X0 相互独立，于是有P X,0XY1P X0 P XY1，即a(04.a)(ab ), 由此可解得a04.,b0 .1。【例 3】 (研 06) 设随机变量X 与 Y 相互独立，且均服从区间0 ,3 上的均匀分布， 则PmaxX,Y= . 【答案 】应填1 . 91P Y(1101 3，【详解 】因为 X 与 Y 服从0 ,3上的均匀分布，则有P X130再由 X 与 Y 相互独立，有1P 1 9. X1 )2PmaxX,Y1P X,1Y1P X1P Y【例 4】 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)1xy,|x|,1y|1，dy1 2,|y|1，4 0,其他证明： X 与 Y 不独立，但X2与Y2独立 . xy【详解 】 先求边缘分布，f X(x)11xydy1,|x|1，f Y(y)11,421,4其他其他00因为f(x,y)fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 再计算2 X 与2 Y 的分布函数，0,u00,v0. FX2( u)P(X2u)1u1d xu,0u1，FY2(v)v,0v1，u2u11,v1,再计算2 X 与2 Y 的联合分布函数，u0或v00,vdyu1xyd xuv,0u0,1v1vu4F(u,v)P (X2u,Y2v)u,0u,1v1，v,0v1 ,u11,
