2022年数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 数列型不等式恒成立条件下确定参数范畴问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是同学较难懂得和把握地一个难点, 以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范畴问题其综合性更强 , 它是一类常见地考试卷型 , 常显现在高考压轴题中 , 它与函数恒成立问题既有类似之处, 又有一些差别 , 同学简单出错 , 甚至不知所措 . 这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注 意地问题 .【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范畴问题不等式地恒成立问题是同学较难懂得和把握地一个难点 , 以数列 为载体地不等式恒成立条件下确定参数范畴问题其综合性更强 , 它 是一类常见地考试卷型 , 常显现在高考压轴题中 , 它与函数恒成立 问题既有类似之处 , 又有一些差别 , 同学简单出错 , 甚至不知所措 .这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要留意地问题.1 最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范畴问题地一种特别重要地方法 , 其解题原理是 fn>>m 恒成立 fn> min>m,fn>0. an>0,只需 lga na-1>+a >0.<1）当 a>1 时,lga>0, 只要 na-1>+a>0, n>a1-a. <2）当 0a1-a.名师归纳总结 为了使 bn+1>bn 对任何正整数 n 都成立 , 只需 a1-a 小于 n第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 地最小值 1, 令 a1-a1 或 0 评析 以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范畴, 转化为解不等式或求函数地最值 , 这是高中数学中有关确定参数范畴题目地涅槃 .2数列型不等式恒成立求参数地取值范畴问题 易求出地问题 , 我们可以考虑先实行变量分别, 对于某些最值不容 , 再求其最值 . 所谓变量分别 , 是指在含有参数地数列不等式中 , 通过恒等变形 , 使参数与主元分别于不等式两端 , 就所蕴涵地数列关系便由隐变显 , 从而问题转化为求主元函数地值域或上, 下限 上限为最大值地临界值、下限为最小值地临界值 >, 进而求出参数范畴 . 这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强 , 因而应是一种较好地求参方法 .例 3 <2003 年新教材高考题改编题）设 a 0 为常数 , 数列an 地通项公式 a n=153n+-1>n-12n +-1>n2na 0n n*>,如对任意 n1 不等式 a na n-1 恒成立 , 求 a 0 地取值范围.解 an-an-1=2× 3n-1+-1>n-13 × 2n-15+ -1>n3 × 2n-1a0,nan-1 等价于 -1>n-15a0-1>-15 × 322k-2+15.故 a此式对 k=1,2, 恒成立 , 有名师归纳总结 a0>-15× 322× 1-3+15=0.+成立 , 有 0 故 a0 地取值范第 2 页,共 7 页综上所述 , 式对任意 nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 围为 0,13.例 4 <2022 年全国）设数列 a n 地前 n 项和为 s n, 已知a 1=a,a n+1=s n+3n<nn+）.<1）设 b n=s n-3n, 求数列 b n 地通项公式；<2）如 a n+1a nn n+>,求 a 地取值范畴 .分析 第<1）小题利用 s n 与 a n 地关系可求得数列地通项公式；第 <2）小题将 a n+1a n 转化为关于 n 与 a 地关系 ,再利用 afn> 恒成立等价于 afn> min 求解.解 <1 ）依题意 ,s n+1-s n=a n+1=s n+3n,sn+1=2s n+3n, s n+1-3n+1=2s n-3n>.s n-3n 为等比数列 , 公比为 q=2, 首项为 s 1-3=a-3,s n-3n=s1-3>2n-1=a-3>2n-1.即 b n=a-3> × 2n-1n n+>.<2）由<1）知 sn-3n=a-3> × 2n-1n n+>.于是, 当 n2 时,an=sn-sn-1=3n+a-3> × 2n-1-3n-1-a-3>× 2n-2,an+1-an=2× 3n+a-3> × 2n-1-2 × 3n-1- a-3> × 2n-2=4× 3n-1+a-3> × 2n-2=2n-212× 32n-2+a-3 .当 n2 时,an+1an, 即 2n-212× 32n-2+a-3 0,12× 32n-2+a-3 0, a3-12× 32n-2.名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3例 5 设 a 0 为常数 , 且 a n=153n-1>n-12n +-1>n2na0n1>, 假设对任意地 n1, 有 a n>a n-1, 求 a 0 地取值范畴 .解 由 a n 地通项公式 ,a n-a n-1=2× 3n-1+-1>n-1 × 3× 2n-15+-1>n × 3× 2n-1a 0,就 a n>a n-1n n*>等价于-1>n-15a 0-1>0.综上可知： <*）式对任何 nn* 成立, 得 a 0 地取值范畴是 0 说明 此题是与数列有关地恒成立问题 , 确定数列 32n, 实质是利用了 a n=32n 地单调性 , 从而为确定 a 0 地范畴作铺垫 .4例 6 已知数列 a n 满意 a 1=1,a n+1=18a2 n+a>nn*>,a>0, 如 a n+1>a n 对一切 nn* 成立, 求 a 地取值范畴 .解 抓住 a n+1>a n 实施赋值推理有 a 2>a 1, 得 a>7,名师归纳总结 它仅保证命题 an+1>an 对 n=1 成立. 假设 n=k 时命题 a第 4 页,共 7 页n+1>an 成立, 即 ak+1>ak>0, 就 ak+1-ak=18a2k+1+a-18a2k+a>=18a2k+1-a2k>>0, 这说明 n=k+1 时命- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题 an+1>an 也成立 .综上所述 ,a>7 时命题 an+1>an 恒成立 , 故 a 地取值范畴是<7,+）.评注 运用赋值法抓住结论成立地一个必要条件, 并以此作为思维地新起点 , 借助于数学归纳法次序地完成了充分地证明 , 求解过程给人以“ 起死回生” 之感 .例 7 已知数列 a n 满意 a 1=12,a na n+1=1214nnn+）.1> 求数列 a n 地通项公式； <2）设 a>0, 数列b n 满足 b 1=1aa-1>,b n+1=-b nab n+a>, 如|b n| a n对 nn+成立, 试求 a 地取值范畴 .解 <1 ）a n+1a n+2a na n+1=1214n+11214n,an+2a n=14.又 a 1=12,a 1a 2=1214, a 2=14.a n 是公比为 12 地等比数列 , a n=12n.<2）|b 1| 12 1aa-1> 12 a>1, aa-1> 2 或 0 现证： a2 时,|b n| a n 对 nn+成立. n=1 时,|b1| a 1 成立；假设 n=kk1>时,|b k| a k 成立, 就|b k+1|=|b k|a|b k+a| |b k|aa-|b k|> 12kaa-1> 12k+1,名师归纳总结 即 n=k+1 时,|bk+1| ak+1 也成立 ,nn+时,|bn|第 5 页,共 7 页an, a 地取值范畴是 2,+ >.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8 <2022 年安徽卷理）首项为正数地数列an 满意 an+1=14a2 n+3>,nn +.<1）证明：如 a 1 为奇数 , 就对一切 n2,a n 都是奇数 .<2）如对一切 nn +都有 a n+1>a n, 求 a 1 地取值范围.解 <1 ）已知 a 1 是奇数 , 假设 a k=2m-1是奇数 , 其中 m为正整数 , 就由递推关系得 a k+1=a2 k+34=mm-1>+1是奇数 .依据数学归纳法 , 对任何 nn +,a n 都是奇数 . <2）方法一：由 a n+1-a n=14a n-1>a n-3>知,an+1>a n 当且仅当 a n3.另一方面 , 如 0 如 a k>3, 就 a k+1>32+34=3.依据数学归纳法 ,03 a n>3, nn +.综合所述 , 对一切 nn +都有 a n+1>a n 地充要条件是 03.方法二：由 a 2=a2 1+34>a 1, 得 a2 1-4a 1+3>0,于是 03.an+1-an=a2n+34-a2n-1+34=an+an-1>an-an-1>4.n+1=a2n+34, 所以全部地 an 均大于 0,由于 a1>0,a因此 an+1-an 与 an-an-1 同号.名师归纳总结 依据数学归纳法 ,nn+,an+1-an 与 a2-a1 同第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 号.因此, 对一切 nn+都有 an+1>an 地充要条件是 03.5例 9 已知数列 an 中 a1=aa>0>,anan+1=an-1an是否存在正数 a, 使得对任意 nn*都有 an+1>0？如存在 ,求出 a 地值；如不存在 , 请说明理由 .解 假设存在正数 a 使 a na n+1>0恒成立 , 就 a n>0, 运用赋值法推理得 a 2>0, 即 a-1a>0, 解得 a>1. 以此为思维地新起点 ,便可导致冲突地结论 .由于 an+1-an=-1ana2+1时, 有ana-n-1a 这与 an>0 恒成立相冲突 , 从而不存在 a适合题意 .评注 抓住一个必要条件 , 产生了冲突地结论 <实为反证法） , 就探究终止 , 结论为假；如探究出一个正确地命题 充分性 , 否就, 不符合规律规章 ., 就仍需设法证明以上介绍地几种常见函数型不等式恒成立问题地求解策略 , 只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数地取值范畴 . 事实上 , 这些策略不是孤立地 , 在详细地解题实践中 , 往往需要综合考虑 , 敏捷名师归纳总结 运用, 才能使问题得以顺当解决. 第 7 页,共 7 页- - - - - - -