2022年易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载利用二次函数解决利润的最值问题我对北师大课本一道例题的熟识程：北师大 20XX年 7 月第 1 版数学九年级下册 P48例题的解答中有这样一个过y=160+10x120-6x=-60x-2 2+19440 这里并没有把关系式先化为一般形式,而是直接写成二次函数的顶点式,有2的同学会问,这里的“2” 和“ 19440” 是怎么来的,不是用 b,4 ac b 吗？2 a 4 a不化为一般形式怎么找 a、b、c 呀！其实我们只需求出抛物线与 x 轴的交点横坐标,即 y=0 时 x 的两个值,再依据抛物线的对称性,或运用“ 中点坐标公式x x 1 x 2” ,就得到了抛物线的顶点横坐标,再把它代入关系式即可求出对应2y 的值,也就是顶点纵坐标；假如把这道例题变为一道填空或挑选题,既节又省,提高做题效率；比如：我们巧用抛物线的对称性, 过程会某旅社有客房 120间,每间房的日租金为 160元时,每天都客满； 经市场据调 查发觉,假如每间客房的日租金增加 10元,那么客房每天出租数会削减 6间；不考虑其它因素, 旅社将每间客房的日租金提高到 最高；_元时,客房日租金的总收入设每间客房的日租金提高10x 元,客房日租金的总收入为y 元,就y=160+10x120-6x 得顶点横坐标为 x=2；,令 y=0,得两根为 -16 和 20,依据抛物线的对称性,由 x0 且 120-6x>0 得 0x<20,x=2 在此范畴内；当 x=2 时每间客房的日租金提高到160+10x=180（元）其实此题在解答时根本没有必要求出关系式,当然你对二次函数的有关性质 必需是了然于胸的；对于这类带有“ 最” 字的问题,如花费最少、消耗最低、面积最大、产值最 高、获利最多等, 是我们学习二次函数后常遇到的数学问题,这就是我们要争论 的最值问题；在代数中,求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1建立函数模型求最值：2运用配方法求最值：分式3x226x5的最小值为4 1xx1如x1y21z32,就x22y2z2可取得的最小值为 A 3 B599 C 2D6 14提示：设x1y21z32k,就x2y2z2可用只含 k 的代数式表示,通过配方求最小值名师归纳总结 3构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值：第 1 页,共 13 页设 a、 b 为实数,那么a2abb2a2 b的最小值是1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4利用基本不等式求最值：正实数 x 、 y 满意xy1,那么1414的最小值为 C b2ab；x4y1 A 2B52C1 5 D 4E2a8a0,b0,就1a20； 2ab22 ab；（ 3）如下面我们主要争论利用二次函数模型解决最值问题；它解题的一般步骤是：（1）设定实际问题中的自变量和因变量（即函数）；如在“ 当 AA为何值时, BB最大”的设问中, AA要设为自变量, BB要设为 函数；（2）列出函数与自变量之间的函数关系式；这里的函数关系式要写成二次函数的顶点式（留意技巧）；（3）找出自变量的取值范畴,保证自变量具有实际意义；（4）在自变量的取值范畴内解答函数最值,并相应地写出答案；二次函数中的利润型应用题（一）熟识基本公式和解题思路：此类问题常用的公式是：总利润 =单件商品利润 ×销售数量 设未知数时, 总利润必定是函数 y,自变量可能是 涨价多少（或降价多少） ,也可能是最终的售价； 看下面的问题：例（ 2022.营口,第 16 题 3 分）某服装店购进单价为15 元童装如干件,销售一段时间后发觉：当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件,而当销售价每降低 2 元,平均每天能多售出 4 件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大；【解法一】：设利润为 y 元,定价为 x 元；依据题意得： y=（x 15）8+2 （25-x ）= （x 15）58-2x ）= 2x 2+88x 870 = 2（x 22）2+98 由 x-15 0 且 58-2x>0 得 15 x<29,x=22 在此范畴内；a= 20,抛物线开口向下,当 x=22 时,y 最大值=98故答案为： 22由于这个问题中存在诸多变量,很多同学想不明白,我看这样想行不行：单件利润 =售价 -进价,进价是不变的,而 售价现在变为 x 了,就单件利润就是（ x-15）；而这时数量变化依旧是由于降价而造成的,始终有降价 2 元多卖 4件这一关系, 所以假如知道了降多少元, 就必定知道多卖多少件； 那么降了多少元呢？最初的售价是 25 元,降价后的售价是 x 元,那么之间的差值就是所降的价格,即降价为 25-x；我们知道降 2 元多卖 4 件,降 1 元多卖 2 件,现在降了（25-x）负全部元,那么就应当多卖2×（25-x）件,留意这只是多卖的,总共卖名师归纳总结 的应当是原先卖的8 件加上多卖的, 即 8+2（25-x ）；所以数量就是 8+2（25-x ）；第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载单利润知道了是 x-15,销售数量也知道了是 15）8+2 （25-x ） ；8+2（25-x ）,就总利润 y=（x【解法二】：设利润为 y 元,定价为 x 元；依据题意得： y=（x 15）8+2 （25-x ）= （x 15）58-2x ）由于此题是一道填空题,所以只要明白二次函数的意义,就可以快速解题：x 15=0得 x=15；58-2x=0 得 x=29；其实在这里就已经能求出自变量 x 的取值范畴了（ 15 x<29 ）；下面依据抛物线的对称性,得顶点横坐标为 x=22；由 x-15 0 且 58-2x>0 得 15 x<29,x=22 在此范畴内；故答案为：22【解法三】：设利润为y 元,降价 2x 元,就定价为（ 25-2x ）元；依据题意得： y=（25 15-2x ）（ 8+4x）=（10-2x ）（ 8+4x）10-2x=0 得 x=5；8+4x=0 得 x=-2 ；下面依据抛物线的对称性,得顶点横坐 标为 x=1.5 ；由 10-2x0 且 8+4x>0 及 2x>0 得 0<x5,x=1.5 在此范畴内；故答案为： 25-2x=22解法三有的同学总是想不好,由于变化的量太多,是吧,这么想：这里设的 是降低的价格, 由于降价,所以单利润会有变动, 又由于进价不变, 那降多少元,利润就削减多少元,降价 2x 元,利润就削减 2x 元,所以单利润就削减 2x 元,即单利润变为：（ 25-15-2x）元；再想销售量：由于降价卖的就多,那么数量怎么变？原先一天 8 件,每降 2 元多卖 4 件,降 2x 元就应当多卖 4x 件,所以数量就变为：（8+4x）件 最终得便得到了总利润： y=（25 15-2x ）（ 8+4x）=（10-2x ）（8+4x）综上三种解法,可以看出其次种解法较快速并且不易出错；练习 1：（2022.滨州 , 第 22 题 10 分）一种进价为每件 40 克的 T 恤,如销 售单价为 60 元,就每周可卖出 300 件,为提高利益, 就对该 T 恤进行涨价销售,经过调查发觉,每涨价1 元,每周要少卖出10 件,请确定该 T 恤涨价后每周销售利润 y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式,并求出销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大？参考答案： y=（x 40）300 10（x 60）= 10x 2+1300x 36000 练习 2：利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免 费供应货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理）；当每吨售 价为 260 元时,月销售量为 45 吨；该经销店为提高经营利润,预备实行降价的方式进行促销；经市场调查发觉：当每吨售价每下降10 元时,月销售量就会增加 7.5 吨；综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元；（1）当每吨售价是 240 元时,月销售量为 _；（2）在遵循“ 薄利多销” 的原就下,问每吨材料售价为多少时,该经销店 的月利润为 9000 元？（3）该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“ 当月利润最大时,月销售额也最大” 你认为对吗？请说明理由；参考答案：（ 1）60 吨（ 2）200 元（ 3）售价定为每吨 210 元时月利润最大（4）售价定为每吨 160 元时月销售额最大（用二次函数或举反例均可）名师归纳总结 练习 3：某商品的进价为每件40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出210第 3 页,共 13 页件；假如每件商品的售价每上涨1 元,就每个月少卖10 件（每件售价不能高于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 65 元）；设每件商品的售价上涨学习必备欢迎下载yx 元（ x 为正整数）,每个月的销售利润为元（1）每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利 润是多少元？（2）每件商品的售价定为多少元时, 每个月的利润恰为 2200 元？依据以上 结论,请你直接写出售价在什么范畴时,每个月的利润不低于 2200 元？参考答案留意事项：（ 1）y=50+x-40210-10x=-10x-5.5 2+2402.5 50+x65 且 x>00<x15 且 x为整数【这里特别要留意 x 必需是整数）当 x=5 或 6 时（不是 5.5 ）, y=2400（元）； 50+x=55 或 56（元）当售价定为每件 55 或 56 元,月利润最大,最大的月利润是 2400 元；（2）当售价定为每件 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元；时,每个月的利润不低于 2200 当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数元（或当售价分别为 51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 元时,每个月 的利润不低于 2200 元）；练习 4：某旅社有 100 张床位,每床每晚收费 10 元时,客床可全部租出 如 每床每晚收费再提高 2 元,就再削减 10 张床位租出以每次这种提高 2 元的方 _元 法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高 留意：“ 为了投资少而获利大”每次提高 2 元 总结： 利用二次函数解决最大利润,最大销量等问题,关键是 通过题意, 确定出二次函数的解析式, 然后确定其最大值, 实际问题 中自变量 x 的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值 x 的取值范畴；时,肯定要留意自变量（二）会处理自变量的取值范畴在对称轴一侧的问题例 某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元,市场调查发觉, 如每箱以 50 元的价格销售, 平均每天销售 90 箱,价格每提高 1 元,平均每天少销售 求该批发商平均每天的销售利润3 箱；y（元）与销售价 x（元 / 箱）之间的函数关系式当每箱苹果的销售价为多少元时,解答： y=x-4090-3x-50=-3x可以获得最大利润？最大利润是多少？2+360x-9600=-3x-602+1200 40x55,90-3x-50>0 40x55抛物线开口向下,在对称轴直线x=60 的左侧, y 随 x 的增大而增大当 x=55 时,y 最大=1125 答：关系式为 y=-3x 2+360x-9600,每箱苹果的销售价为 55 元时,可以获得最大利润,最大利润是 1125 元；练习：某农户生产经销一种农副产品, 已知这种产品的成本价为 20 元/ 千克,物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/ 千克,市场调查发觉, 该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元 / 千克）有如下关系： y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为 w（元）（1）当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）该农户想要每天获得不低于150 元的销售利润,销售价应定为多少？名师归纳总结 参考答案： 28 192 25 28（25、26、27、28）第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载总结：依据函数解析式求出的最值是理论值,与实际问题中的最值不肯定相同, 需考虑自变量的取值范畴； 所以确定出二次函数的解析式后,要依据题意列不等式组求出自变量 x 的取值范畴；假如取值范畴在对称轴的一侧,要依据抛物线的增减性找出二次函数的最值；（三）二次函数与一次函数的综合例 2（2022.鄂州 , 第 23 题 10 分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料如干千克,价格为每千克 30 元；物价部门规定其销售单价不高于每千克 60元,不低于每千克 30 元；经市场调查发觉：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数,且当x=60 时, y=80；x=50时, y=100；在销售过程中,每天仍要支付其他费用 450 元（1）y 与 x 的关系式为 _,自变量 x 的取值范畴是 _；（2）求该公司销售该原料日获利 系式；w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关（3）当销售单价为多少元时,该公司日获利最大？最大获利是多少元？解答：（ 1）y= 2x+200（30x60）（2）W=（x 30）（ 2x+200） 450= 2x 2+260x 6450 （3）W= 2x 2+260x 6450= 2（x 65）2+2000,30x60,x=60 时, w有最大值为 1950 元,当销售单价为 60 元时,该公司日获利最大,最大获利是 1950 元；练习 1：某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售单价 x元与产品 的日销售量 y件之间的关系如下表：如把销售单价 x 与日销售量 y 作为点的坐标, 在平面直角坐标系中描出相应 的点,猜想 y 与 x 是_函数；（1）直接写出日销售量y件与销售价 x 元的函数关系式为 _；（2）要使每日的销售利润最大,每件产品的销售单价应定为多少元？此时 每日销售利润是多少元？（3）如销售单价不得超过20 元,每日的销售利润最大是多少？（4）如销售利润不低于 125 元,销售单价应如何确定？练习 2：某水果批发商销售每箱进价为 价不得高于 55 元；市场调查发觉,如每箱以40 元的苹果,物价部门规定每箱售 45 元的价格销售,平均每天销售105 箱；每箱以 50 元的价格销售,平均每天销售 与销售价 x（元/箱）之间满意一次函数关系式90 箱假定每天销售量 y（箱）（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价 x（元/ 箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/ 箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润？最大利润是多少？练习 3：“ 健益” 超市购进一批 20 元千克的绿色食品,假如以 30 元千克销售,那么每天可售出 400 千克由销售体会知,每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元）（ x30）存在如下图所示的一次函数关系名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）试求出 y 与 x 的函数关系式；（2）设“ 健益” 超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润？ （3）依据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过 4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于 品销售单价 x 的范畴（直接写出）参考答案：（ 1）y=-20x+1000 4180 元,请你帮忙该超市确定绿色食（2）p x 20 y x 20 20 x 1000 20 x 2 1400 x 20000x=35即当销售单价为 35元千克时,每天可获得最大利润 . （3） 31x34 或 36x39练习 4：（2022.湖北）为满意市场需求,某超市在五月初五“ 端午节” 来领前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45元依据以往销售体会发觉；当售价定为每盒 45 元时,每天可以卖出 700 盒,每盒售价每提高 1 元,每天要少卖出 20 盒（1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润 是多少？P（元）最大？最大利润（3）为稳固物价,有关治理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58元假如超市想要每天获得不低于 多少盒？6000 元的利润,那么超市每天至少销售粽子参考答案：（ 1）由题意得, y=700 20（x 45）= 20x+1600；（2）P=（x 40）（ 20x+1600）= 20x 2+2400x 64000= 20（x 60）2+8000,（3）由题意,得20（x 60）2+8000=6000,解得 x1=50,x2=70 50 x58在 y= 20x+1600 中, y 随 x 的增大而减小当 x=58 时,y 最小值= 20× 58+1600=440,即超市每天至少销售粽子 440 盒总结：既有一次函数又有二次函数,要分清、认准变量字母,不能混淆；留意哪个函数需要用待定系数法,哪个需要依据题意进行计算得出；要处理好这些字母之间的“ 亲属” 关系,沉得住气,仔细仔细地将题目中所供应的信息加工梳理,最终解决问题；（三）分段函数及其最值的争论有条不紊地进行 “ 抽丝剥茧” ,例 2（2022.黄石第 23 题 8 分）高校毕业生小王响应国家“ 自主创业” 的号名师归纳总结 召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品第 6 页,共 13 页进行销售,饰品的进价为每件40 元,售价为每件 60 元,每月可卖出 300 件市- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载场调查反映：调整价格时,售价每上涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元 每月要多卖 20 件；为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为 60+x（元 / 件）（x0 即售价上涨, x0 即售价下降）,每月饰品销量为（元）；（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；y（件）,月利润为 w（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于 解答：（ 1）由题意可得： y=6000 元应如何掌握销售价格？（且 x 为整数）（2）由题意可得： w=60x4030010x0xx3060x4030020x200化简得： w=在 0x30 时,x=5 可得 W 最大=6250 ；在-20x<0 时,由于 x 为整数所以 x=2 或 3 可得 W 最大,此时 W 最大肯定 <6125<6250 ；故当 x=5 即销售价格为 65 元时,利润最大,最大利润为 6250 元（3）由题意得 w6000,如图,令 w=6000,即 6000= 10（x 5）2+6250； 6000= 20（x+ ）2+6125,解得： x1= 5,x2=0,x3=10,当 5x10 时,即将销售价格掌握在 元）才能使每月利润不少于 6000 元；55 元到 70 元之间（含 55 元和 70练习：某专卖店经市场调查得知,一种商品的月销售量 Q（单位：吨）与销售价格 x（单位：万元 / 吨）的关系可用下图的一条折线表示（1）写出月销售量 Q关于销售价格 x 的函数关系；（2）假如该商品的进价为5 万元 / 吨,除去进货成本外, 专卖店销售该商品每月的固定成本为 10 万元,问该商品每吨定价多少万元时,销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载依据市场调查,某商品在最近40 天内的价格 P与时间 t 的关系用图（1）中的一条折线表示,销售量 Q与时间 t 的关系用图（ 2）中的线段表示（ t 为正整数）（1）分别写出图 1 表示的价格 P与时间 t 的函数关系式,图 2表示的销售量 Q与时间 t 的函数关系式（2）求这种商品的销售额 及此时的时间S（销售额 =销售量× 价格）的最大值名师归纳总结 总结：此类问题涉及分段函数,如何分段,怎样表达每个分段第 8 页,共 13 页函数是个难点；必需对不同的最值进行比较、整理、归纳才能得出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 最终的结论；学习必备欢迎下载结果是否满意各留意考虑各段内的自变量取值范畴,段自变量的取值范畴；这是解此类综合应用题目的特点；对于“ 二次函数值不小于某某”这类题型,先令“ 其值等于某某”,然后再利用函数的草图得出x 的取值范畴；此类题型运算量大,做时要耐心细致；练习 1：（2022.江苏南通,第 26 题 10 分）某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件,每件售价 300 元如一次性购买不超过10 件时,售价不变；如一次性购买超过 10 件时,每多买 1 件,所买的每件服装的售价均降低 3 元已知该服装成本是每件 200 元,设顾客一次性购买服装 x 件时,该网店从中获利 y元（1）求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；（2）顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多？参考答案：（ 1）y = 3300 x200 x3003 x10 200 x=-100 x 0x10 30 且 x 为整数）2 x130 x 10x（2）在 0x10 时, y=100x,当 x=10 时, y 有最大值 1000；在 10x30 时, y= 3x 2+130x=-3x-65 2+ 4225 ,3 3x 为整数,依据抛物线的对称性得 x=22 时,y 有最大值 140814081000,顾客一次购买 22 件时,该网站从中获利最多；练习 2：四川汶川大地震发生后,我市某工厂 A 车间接到生产一批帐篷的订单,要求必需在 12 天（含 12 天）内完成已知每顶帐篷的成本价为 800 元,该车间平常每天能生产帐篷20 顶为了加快进度,车间实行工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式, 生产效率得到了提高 这样,第一天生产了 22 顶,以后每天生产的帐篷都比前一天多2 顶由于机器损耗等缘由, 当每天生产的帐篷达到 30 顶后,每增加 1 顶帐篷,当天生产的全部帐篷,平均每顶的成本就增加 20 元设生产这批帐篷的时间为x 天,每天生产的帐篷为y 顶x 的取值范畴（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量（2）如这批帐篷的订购价格为每顶1200 元,该车间打算把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区 设该车间每天的利润为 W元,试求出 W与 x 之间 的函数关系式,并求出该项车间捐献给灾区多少钱？参考答案：（ 1）y=2x+201x12 且 x 为整数）（2）当 1x5 时,第 x 天营业额 W=y×1200-800=2x+20 ×400=800x+8000, 当 x=5 时, W最大 ,W最大=12000（元）；当 6x12 时,每顶成本为 800+2x+20-30 ×20=600+40x,每顶利润为 1200-（600+40x）=600-40x,就 W=y×600-40x 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - =2x+20×600-40x 学习必备欢迎下载 =-80（x-2.5 ）2+12500 当 x=6 时, W最大时, W最大=11520；综上所述, W最大为 12000（元）；练习 3：我市某服装厂生产的服装供不应求,A 车间接到生产一批西服的紧急任务,要求必需在 12 天（含 12 天）内完成为了加快进度,车间实行工人分批日夜加班, 机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高, 每天生产的西服数量 y（套）与时间 x（天）的关系如下表：平均每套西服的成本请解答以下问题z（元）与时间 x（天）的关系式为：（1）求每天生产的西服数量y（套）与 x（天）之间的关系式及成本z（元）与 x（天）之间的关系式（2）已知这批西服的订购价格为每套 1570 元,设该车间每天的利润为 W（元）,试求出日利润 W（元）与时间 x（天）之间的函数关系式,并求出哪一天该车间获得最大利润,最大利润是多少元？（3）在实际销售中,从第 6 天起,该厂打算每销售一套西服就捐赠利润 a（元）给期望工程；厂方通过销售记录发觉, 每天扣除捐赠后的日销售利润（元）随时间 （天）的增大而增大,求 a 的取值范畴；参考答案：（ 1）y=2x+20 1x5 且 x 为整数时 z=800x+8000 6x12 且 x 为整数时 z=80x 2+1200x+4000（2）当 1x5 时,W=2340x+23400, 当 x=5 时, W最大 ,W 最大=35100（元）；当x12 时, W=-80x 2+1940x+27400当 x=12 时,W最大时, W最大=39160；综上, W最大为 39160（元）3 捐款后利润为 W=-80x 2+1940x+27400-a2x+20 =-80x 2+1940-2ax+27400-20a 60 元,每星期由题意知其顶点横坐标必需不小于12 练习 4：已知某商品的进价为每件40 元,现在的售价是每件可卖出 300 件市场调查反映：如调整价格,每涨价1 元,每星期要少卖出10 40%件；每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件如商场规定试销期间获利不得低于又不得高于 60%,就销售单价定为多少时,商场可获得最大利润？最大利润是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案： 56x64 涨价时： y=x-40900-10x 60 x90 x=64 时 y 最大 6150 ；降价时 y=x-40300+2060-x 40x60 x=57.5 时 y 最大 6125 综上定价为 64 元时最大 6150 元 二次函数中的面积型应用题 例 1（2022.温州）某农场拟建两间矩形饲养室, 一面靠现有墙（墙足够长） ,中间用一道墙隔开,并在如下列图的三处各留 1m宽的门已知方案中的材料可 2 建墙体（不包括门）总长为 27m,就能建成的饲养室面积最大为 m解答：（此类题一般都）设垂直于墙的材料长为x 米,就平行于墙的材料长为 27+3 3x=（30 3x）米,设面积为 S S=x（30 3x）= 3（x 5）2+75,故饲养室的最大面积为 75m 2例 2 如图,花圃 ABCD是一等腰梯形,底边 AD靠墙,另三边用长为 40 米的铁栏杆围成,设该花圃的腰 AB的长为 x 米；1 用含 x 的代数式表示底边 BC的长为 _米；2 如 BAD=60° , 墙长为 24 米,该花圃的面积为 S 米 2,试问 S 有最大值仍是最小值？这个值是多少？答案：（ 1）40-2x （2）S 33 x 220 3 33 x 40 2 400 34 4 3 3由题意可求得 16x<20 ,如图,函数图象为开口向下的一段抛物线,在16x<20 时, S 随 x 的增大而减小；当 x=16 时 S 取得最大值,没有最小值；练习 1：如图,有长为 22 米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为 14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了便利出入, 在建造篱笆花圃时,在 BC上用其他材料造了宽为 1 米的两个小门（1）设垂直于墙的 AB为 x 米,请你用含 x 的代数式表示 BC的长_米；（2）如此时花圃的面积刚好为 45m 2,求此时花圃的宽 . （3）AB为_米时花圃的面积最大；24-3x 5 练习 2：（2022.安徽 , 第 22 题 12 分）为了节约材料,某水产养殖户利用水库的岸堤 （岸堤足够长） 为一边, 用总长为 80m的围网在水库中围成了如图所名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载示的三块矩形区域, 而且这三块矩形区域的面积相等； 设 BC的长度为 xm,矩形区域 ABCD的面积为 ym 2；（1）求 y 与 x 之间的函数关系式,并注明自变量（2）x 为何值时, y 有最大值？最大值是多少？解答： （1）三块矩形区域的面积相等,矩形 AEFD面积是矩形 BCFE面积的 2 倍,AE=2BE,设 BE=a,就 AE=2a,8a+2x=80,a=x+10,2a=x+20,x 的取值范畴；y=（x+20）x+（x+10）x=x2+30x,a=x+100,x40,就 y=x 2+30x（0x40）；（2）y=x 2+30x=（x 20）2+300（0x40）,且二次项系数为0,当 x=20 时, y 有最大值,最大值为 300 平方米；练习 3：如图,在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设垂直于墙的一边（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量AB为 x 米,面积为 S 平方米x 的取值范畴；（2）如墙的最大可用长度为 时围成的花圃最大面积是多少？9 米,求此时自变量 x 的取值范畴,并说明此参考答案：（1）S=-3x2+24x0<x<8 （2）5x<8 S=-3x-42+48 当 x=5时 S 有最大值,最大值为45. 练习 4：2022 成都 在美化校内的活动中, 某爱好小组想借助如下列图的直角墙角（两边足够长）,用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围 AB,BC两边）,设 AB=xm（1）如花园的面积为 192m 2,求 x 的值；（2）如在 P