2022年李庆扬数值分析第五版第章习题测验答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第 5 章复习与摸索题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k 答：使用高斯消去法时,在消元过程中可能显现 a kk 0 的情形,这时消去法无法进行；即k 时主元素 a kk 0,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严峻增长和舍入误差的扩散, 最终也使得运算不精确；因此高斯消去法需要选主元,以保证运算的进行和计算的精确性；当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时,可以不用挑选主元；运算时一般选择列主元消去法；2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？ A 要满意什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L；用 LU 分解解线性方程组可以简化运算,削减运算量,提高运算精度；A 需要满意的条件是,次序主子式（1,2,n-1）不为零；3、楚列斯基分解与 LU 分解相比,有什么优点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种,当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时,楚列斯基分解具 有唯独解；4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法运算稳固？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解；平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长,切对角元素恒为正数,因此, 是一个稳固的算法；5、什么样的线性方程组可用追逐法求解并能保证运算稳固？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数；向量范数定义见 p53,符合 3 个运算法就；正定性齐次性三角不等式设 x 为向量,就三种常用的向量范数为：|x| 1n|xi|x| 2i1nx212ii1|x|max | 1 i nx i（第 3 章 p53,第 5 章 p165）名师归纳总结 7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = ai j 的三种范数 | A|1,| A|2,| 第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A|,| A|1 与 | A| 2 哪个更简单运算？为什么？向量范数定义见 p162,需要满意四个条件；正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有| A | 1| A | 2| A |从定义可知,|A | 更简单运算；8、什么是矩阵的条件数？如何判定线性方程组是病态的？答：设 A 为非奇特阵,称数condAvA1vAv（v1,2,）为矩阵 A 的条件数当condA.1时,方程是病态的；9、满意下面哪个条件可判定矩阵接近奇特？（1）矩阵行列式的值很小；（2）矩阵的范数小；（3）矩阵的范数大；（4）矩阵的条件数小；（5）矩阵的元素肯定值小；接近奇特阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵；矩阵的元素肯定值小,不能说明行列式的值小等；10、判定以下命题是否正确：（1）只要矩阵 A 非奇特,就用次序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组 Ax = b的解；答：错误,主元位置可能为 0,导致无法运算结果；（2）对称正定的线性方程组总是良态的；答：正确；（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵；答：正确；（4）假如 A 非奇特,就Ax = b 的解的个数是由右端向量b 的打算的；A 无解；答：正确；说明：如A|b 与 A 的秩相同,就A 有唯独解；如不同,就（5）假如三对角矩阵的主对角元素上有零元素,就矩阵必奇特；（6）范数为零的矩阵肯定是零矩阵；答：正确；（7）奇特矩阵的范数肯定是零；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答：错误,.可以不为 0；（8）假如矩阵对称,就| A|1 = | A| ；答：依据范数的定义,正确；（9）假如线性方程组是良态的,就高斯消去法可以不选主元；答：错误,不选主元时,可能除数为0；用列主元消去法产生的误差也很（10）在求解非奇特性线性方程组时,即使系数矩阵病态,小；答：错误；对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响；（11）| A | 1 = | A T| ；答：依据范数的定义,正确；（12）如 A 是 n n 的非奇特矩阵,就名师归纳总结 condAcondA1；A1.AA.A1第 3 页,共 13 页答：正确； A 是 n n 的非奇特矩阵,就A 存在逆矩阵；依据条件数的定义有：condA1A.1A1A11condAA.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 习题1、设 A是对称阵且a 110,经过高斯消去法一步后,A 约化为a 11a 1 T,证明A 是对0A 2称矩阵；证明：a 11a 12.a 1n,就经过 1 次高斯校区法后,有设对称矩阵Aa 12a 22.a n2.a 1 na 2n.a nna 1na 11a 12.1 A0a 22a 12a 12.a n2a 1 na 11a 12a 11.a nn.0a 2na 1na 12.a 1 na 11a 12a 11a 11a 12.a 1 na 1n0a 22a 12a 12.a n2a 12a 11a 11.a 1n0a n2a 1na 12.a nna 1na 11a 11所以T a 1a 12.a n2a 12a 11a 1na 22a 12a 12.a n2a 11A 2.na n2a 1na 12.a nna 1na 1a 11a 11所以 A2 为对称矩阵；名师归纳总结 2、设 A 是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A 约化为Aa ijn,其中Aaijn,第 4 页,共 13 页A 22 a ijn1；证明：（1）A 的对角元素iia0i1,2,L, ；（2）A 是对称正定矩阵；（1）依次取x i,0,0, ,0 ,1 0 ,i,0 T,i,1,2,n,就由于 A 是对称正定矩阵,所以有aiixTAx0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）A 中的元素满意 a ij2a ija i1a 1j, i,j,2 ,3,n ,又由于 A 是对称正定a 11矩阵,满意aijaji,i,j,12 ,n,所以 a ij2 a ija i1a 1jajia 1 iaj1a2,a 11a 11ji即A 是对称矩阵；L 和单位阵 I相同）,3、设L 为指标为 k 的初等下三角矩阵 （除第 k 列对角元以下元素外,即1 .L k11.也是一个指标为k 的初等下三角矩阵,其中ijI为初等置换m k1,k.求证当 ,i jm n k1k 时,±L kI L I k ij矩阵；4、试推导矩阵A 的 Crout 分解 A=LU的运算公式,其中L 为下三角矩阵,U 为单位上三角矩阵；此题不推导；参见书上例题；P147 页；5、设 Ux d,其中 U 为三角矩阵；（1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法 Ux d 的乘除法次数（2）运算解三角方程组（3）设 U 为非奇特矩阵,试推导求 U 1 的运算公式此题考查求解公式的一般方法,解法,略；6、证明：可从第 n 个元素开头, 逐步运算 n-1, 1时对应的求解公式；（1）假如 A是对称正定矩阵,就A1也是对称正定矩阵T L L ,其中 L 是具有正对角元的下（2）假如 A 是对称正定矩阵,就A可以唯独地写成A三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质；应予以记住；7、用列主元消去法解线性方程组名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12 x 13x 23 x 31518 x 1 3 x 2 x 3 15x 1 x 2 x 3 6并求出系数矩阵 A 的行列式的值12 3 3A 18 3 11 1 112 3 3 15A b 18 3 1 151 1 1 6使用列主元消去法,有A b123315183115181116311512331511161831150175307173161861831150717316186017531831150717316186006666217A 的行列式为 -66名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解 981x 11x21x 34561x 11x 21x 33451x 1x 22x 382此题考查 LU 分解；解：名师归纳总结 111U 为、单位上三角矩阵；有第 7 页,共 13 页456A1113451122100L11031112111456U011136090009575409、用追逐法解三对角方程组Axb,其中210001121000A01210,b0；001210000120解：追逐法实际为LU分解的特别形式；设（1）运算i的递推公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1c 1/b 11/ 20.52c2/ b 2a 211/ 2 1 0.52 / 33c 3/ b 3a 321/ 2 1 2 / 33/ 44c4/ b 4a 431/ 2 1 3 / 44 / 5（2）解 Ly=fy 1f1/b 11/ 2b 2a210 11/ 2 / 2 1 0.51/ 3y 2f2a y 1 / y 3f3a y2 / b 3a320 11/ 3 / 2 1 2 / 31/ 4y 4f4a y 3 / b 4a430 11/ 4 / 2 1 3 / 41/ 5y 5f5a y4 / b 5a 540 11/ 5 / 2 1 4 / 51/ 6（3）解 UX=yx 5y51/ 61/ 5 4 / 51/ 61/ 3x 4y44x 5x 3y33x 41/ 4 3/ 41/ 31/ 2x 2y22x 31/ 3 2 / 31/ 22 / 3x 1y 11x22 1/ 22 / 35/ 610、用改进的平方根法解方程组21311x 14；123x 251x 36此题明确要求使用平方根法进行求解；实际考查的x 110,x27,x323；999LDU分解；见 P157 11、以下矩阵能否分解为LU （其中 L 为单位下三角阵,U为上三角阵）？如能分解,那么分解是否唯独；名师归纳总结 A123,B111,C126；第 8 页,共 13 页241221251546733161546- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - LU 分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU 分解当且仅当它的全部子式都非零；假如要求其中的L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵,那么分解是唯独的；同理可知,矩阵的 并且总是唯独的；LDU可分解条件也相同,即使矩阵不行逆,LU 仍旧可能存在；实际上,假如一个秩为k 的矩阵的前k 个次序主子式不为零,那么它就可以进行LU 分解,但反之就不然；解：由于 A 的一、二、三阶次序主子式分别为 角阵的乘积,但换行后可以；由于 B 的一、二、三阶次序主子式分别为 乘积；由于 C的一、二、三阶次序主子式分别为乘积,并且分解是唯独的；12、设A0 6.0 5.,0 1.0 . 31,0,-10 ,所以 A不能直接分解为三 1,0,0,所以 B不能分解为三角阵的 1,5,1,所以 C能够分解为三角阵的运算 A 的行范数,列范数,2- 范数及 F-范数；此题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数 0.6+0.5=1.1 列范数 0.5+0.3=0.8 2- 范数的运算需要用到特点值,特点值的运算可以使用幂法进行运算,也可以直接求；T A A 的最大特点值为0.3690 所以 2- 范数为 0.6074 F-范数 0.842613、求证：（a）xAx1nx；F；（b）A1A2Fn依据定义求证；n名师归纳总结 xmax 1 i nx ix1i1xinmax 1 i nxinx；xpPx；试证明xp是第 9 页,共 13 页1A21n1a2Fi jijx 为n R 上一向量范数,定义nnA2 2maxT A A PRnn且非奇特,又设14、设- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n R 上向量的一种范数；依据向量范数的定义来证明：要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质；明显xpPxx 10,cxpPcx2cPx1cx2p、x 1px2p,从而xp是Rnx 1x2pPx2Px 1PxPxPx上向量的一种范数；15、设ARnn为对称正定,定义1x A 试证明Ax ,x 2,xA是n R 上向量的一种范数；依据向量范数的定义来证明：要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质；1x 21Ay,明显xAAx x , 2T x Ax0,11cxAAcx ,c 2c2T x Ax c Ax x , 2c xA1x 1x 2A A x 1x 2,x 1x 22x 1x 2T A x 1T x Ax 1T x 2Ax 2x 1Ax 2A16、设 A 为非奇特矩阵,求证A1min y 0Ay；1y由于A1max x 0A1xmax x 0A1xymax A 1 x0yxAA1xAymin y 0y所以得证A1min y 0AyA211,证明当2时,cond A 有最小值；y117、矩阵第一行乘以一数,成为3此题考查条件数的运算cond A A1A第一运算 A的逆阵名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - A11112名师归纳总结 A2| 3 |2,当227；,第 11 页,共 13 页|3|3 |23 ,取得最小值为A1|1|2,当|取值越大,就最小值为2 从而cond A A1A12 max 3,2,又当2 时,3cond A 12max3,232 27；2当2 时,3cond A 12max3,212336综上所述,condA 7时最小,这时2 ,即 32 ；318、设A10099,运算 A的条件数condA vv2 ,9998由A10099可知,A19899,从而999899100,A1TA198999899194051960299100991001960219801由IA1TA11940519602239206101960219801T AA10099100991980119602,9998999819602194050,由IT AA198011960223920611960219405- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可得A2A1219603384277608,从而名师归纳总结 condA 2A12A21960338427760839206；19919939601；第 12 页,共 13 页A1199,A199,从而cond A A1A1TA1AA1I, 故19、证明：假如A 是正交矩阵,就condA21如A 是 正 交 阵 , 就A1AT, 从 而ATAI,AA2A121,condA 2A12A21；20、设A BRn n,且 . 为R n n上矩阵的算子范数,证明：cond ABcond A cond BcondABAB1ABB1A1ABB1A1ABA1AB1BcondAcondB 21、设 Axb ,其中 A 为非奇特矩阵,证明：（1）T A A为对称正定矩阵；（2）T cond A Acond A 2T x A A xAxTAxb20,所以T A A为对称正定矩阵；cond A 2maxT A A minAAT由于T A A为对称正定矩阵,所以T A AT AA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - T cond A A2T A A2T A A 12名师归纳总结 就maxT A AT T A A第 13 页,共 13 页minT A A T A AT maxAATT T A A minT AAT A AT maxT TA AA AminT TAA AAmaxT A A2minAAT2maxT A AminAATcond A 2- - - - - - -