2022年《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载“基本不等式 ab a2 b” 教学设计一 教材分析本节课选自一般高中课程标准数学教科书· 数学（5）（人教 A 版）第三章第 4 节第一课时,主要内容为基本不等式 ab a b的推导与简洁应用它以前面已学习的有关不等式的基本学问为依据,从2利用基本不等式 ab a b求最值这个侧面来表达基本不等式 ab a b的应用,而且在基本不等式2 2a bab 的推导过程中渗透了分析法的解题方法,为同学后续学习推理与论证的内容埋下伏笔,同时2在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法,此内容都是同学今后学习中必备的数学素养二学情分析同学有了不等式的基本学问作为铺垫,对不等式的学习已具备基本的熟悉,而基本不等式来自生活,是从生活中抽象而来的,只要我们选材得当,能够激发同学的学习爱好,同学也能够较简洁懂得基本不等式的推导,且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的三 目标分析教学目标：1学会推导并把握基本不等式,懂得基本不等式的几何意义,并把握定理中的不等号“ ” 取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2探究并明白基本不等式的证明过程,在基本不等式的证明过程体会从特别到一般的思维过程,领悟数形结合思想的应用3培育同学生活问题数学化,并注意运用数学解决生活中实际问题的意识,有利于数同学活化、大众化,同时通过同学自身的探究争论,领会猎取新知的欢乐教学重难点：本节课教学重点是应用数形结合的数学思想懂得基本不等式,并从不同角度探究不等式aba2b的证明过程教学难点是基本不等式aba2b等号成立条件四教学策略本课在设计上采纳了由特别到一般、从详细到抽象的教学策略利用数形结合、类比归纳的思想,层层深化,通过同学自主探究,分析、整理出推导公式的不同思路同时,借助多媒体的直观演示,帮忙学生懂得,并通过老师的点拨引导,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破难点教法 :问题引导、启示探究和归纳总结相结合 第 1 页,共 7 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载学法 : 自主学习与合作争论相结合教学手段 : 黑板板书为主结合多媒体帮助教学五教学过程创设情境 引入课题填写下表,ababa2bab 与a2b 的大小关系112811441622 【问题 1】观看ab 与a2b 的大小关系,从中你发觉了什么结论？猜想得到结论：一般的,假如a b+ R ,那么aba2b 当且仅当ab 时取""号【问题 2】你能给出它的证明吗？证法 1 用比较法证明： =ababb2b22abb""作差21a2变形2 =1ab0a时取判定符号2a,即取等条件当且仅当证法 2 用分析法证明：要证aa2bab 1 （3）只要证ab2ab 2 要证（ 2）,只要证ab2ab0 要证（ 3）,只要证（ 4）ab20明显,（4）是成立的当且仅当b 时,（4）中的等号成立设计意图 : 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载通过引导,让同学去证明猜想的结果,进一步巩固比较两个 代数式 大小的方法,并让同学明白归纳、猜想、证明是我们发觉世界、认知世界的重要的思维方法师归纳：（1）假如把 a b 看作是正数 a b 的等差中项,ab 看作是正数 a b 的等比中项,那么该定理可以2表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 . （2）在数学中,我们称 a b 为 a b 的算术平均数,称 ab 为 a b 的几何平均数 . 本节定理仍可表达2为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 自主探究 深化熟悉1. 熟悉基本不等式的几何背景【问题 3】能否给基本不等式一个几何说明呢？探究：课本第 110 页的“ 探究”在 右 图 中 , AB 是 圆 的 直 径 , 点 C 是 AB 上 的 一 点 ,AC a , BC b 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ,连接 AD 、 BD 你能利用这个图形得出基本不等式a bab 的几何说明吗？2易证 Rt ACD Rt DCB ,那么 CD 2CA CB ,即 CD ab .这个圆的半径为 a b,明显,它大于或等于 CD ,即 a b ab,2 2其中当且仅当点 C与圆心重合,即 a b时,等号成立 . 因此：基本不等式 ab a b几何意义是“ 半径不小于半弦”2设计意图 : 通过呈现均值不等式的几何直观说明,培育同学数形结合的意识,并使抽象的问题更加直观、形象,使同学进一步加深对均值不等式的懂得2. 拓广探究（呈现并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中闻名的一副图,叫做弦图它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的早在1300 多年以前,这位数学家就奇妙的利用弦图中的面积关系证明白勾股定理,这是世界上最早证明勾股定理的方法之一弦图不仅造型美观,而且隐藏着许多玄机细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载24 届国际数学家（呈现 24 届国际数学家大会会标）大家现在看到的是20XX 年在我们北京召开的第大会的会标这个会标设计源于古代弦图它的色调明暗相间,使它看上去象一个风车,这不但象征中国人民的热忱好客, 同时也充分呈现了中国古代数学对世界所做出的重大奉献今日咱们也来争论一下弦图老师引导同学从面积的关系去找相等关系或不等关系1 探究图形中的不等关系【 问题 4】请观看会标图形,图中有哪些特别的几何图形 等关系 . .它们在面积上有哪些相等关系和不将图中的“ 风车” 抽象成如图,在正方形 ABCD 中四个全等的直角三角形设直角三角形的两条直角边长为 a b 那么正方形的边长为 a 2b 这样, 4 个直角三角形的面积的和是 22ab ,正方形的面积为 a 2b 2由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式：2 2a b 2 ab 利用多媒体演示会标图形的变化 , 引导同学发觉四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积 【 问题 5】大家看,这个图形里仍真有点奥妙我们从图中找到了一个不等式这里 a 、 b 的取值有没有什么限制条件 . 不等式中的等号什么时候成立呢？当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a b时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 a 2b 22 ab 2得到结论：一般的,假如 a , b R, 那么 a 2 b 2 2 ab 当且仅当 a b 时取 " " 号 3摸索证明：你能给出它的证明吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明：由于a2b22 abab2学习必备欢迎下载当ab 时,a2b20, 当ab 时,a2b20,所以,ab0,即a2b2ab .师归纳：（ 1）从上述两个不等式中, 可以发觉,假如a0,b0, 对于不等式a2b22ab,我们用分别a 、b 代替a b ,可得ab2ab ,通常我们把上式写作：（ 2）以上,我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式设计意图 :a bab a>0,b>02. 可见,数与形是一个事物的两个方面通过问题情境的设计激发同学学习的积极性,培育同学的探究才能；其次,简略介绍中国古代数学家 赵爽的生平,渗透数学思想、关注数学文化实际运用强化新知100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱【例题 】（1）用篱笆围一个面积为笆最短,最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36m的篱笆围成一个矩形菜园,大面积是多少？问这个矩形的长、 宽各为多少时, 菜园的面积最大 最分析：（1）当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为x m , 宽为 y m, 就xy100,篱笆的长为2（ xy ） m由x2yxy ,10m时,所用篱笆最短,可得xy2 1002（ xy ）40等号当且仅当xy时成立,此时xy10,因此,这个矩形的长、宽为最短 篱笆为 40m2 设矩形菜园的长为 x m, 宽为 y m, 就 2（ xy ） =36, xy =18,矩形菜园的面积为xym2,由xyx2y189,可得xy81, 81m2 第 5 页,共 7 页 2可得等号当且仅当xy时成立,此时xy9因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园的面积最大,最大面积为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载设计意图 : 让同学初步运用基本不等式解决实际问题,通过对实际问题的解决让同学体会数学来源于生活,同时又服务于生活回忆反思 拓展延长 1. 课堂小结 组织同学分组共同反思本节课的教学内容及思想方法,小组之间相互补充完成课堂小结,实 现对基本不等式熟悉的再次深化体会从特别到一般的争论方法；体会数形结合的数学思想；体会 归纳、猜想、证明的思维方法；把握基本不等式,懂得它的几何背景,并能运用它解决实际问题设计意图 : 小结的目的一方面让同学再次回忆本节课的活动过程,重点和难点所在,另一方面,更是对 探究过程的再熟悉,对数学思想方法的升华,对思维的反思,可为同学以后解决问题供应体会和教训2. 作业布置 必做题 :P.113 1、2、3、4 选做题：1. 已知,x y 都是正数,求证：y ；（ 1）假如积 xy是定值 P ,那么和 xy 有最小值 2P ,此时 x（ 2）假如和 xy 是定值 S ,那么积 xy 有最大值S2,此时 xy 42. 当 a>0,b>0 时不等式aba2b成立,如ia0i1,2,3, n ,就有不等式 成立争论性作业：（ 1）设a , 0,称2ab a b为a b 的调和平均数 如图, C为线段作半a b 的算术平均数,线 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - AB 上的点,且ACa CBb , O 为 AB 中点,以 AB 为直径圆过点 C 作 OD 的垂线,垂足为E ,连结AD BD , 就图中线段的长度是段的长度是a b 的几何平均数,线段的长度是a b 的调和平均数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）已知a b 都是正数,证明：121学习必备a欢迎下载a22b2abb2ab设计意图 : 分层练习使同学在完成必修教材基本任务的同时,拓展自主进展的空间,让不同层次的同学都可以获 得胜利的欢乐,发挥自己的潜能六教学反思 新课程的理念提倡同学积极主动地探究学问的发生、进展,但这必需是在老师的引领之下,否就同学 很简洁误入歧路老师应当尽力做好同学探究活动的引路人在设计这节课的教学时,课堂上实行让同学“ 自主、合作、探究” 的教学方式,老师是同学学习的组织者、引导者和服务者,为了让同学的探究活动 积极有效,主要设想以问题立意,始终环绕基本不等式的发觉、进展这一中心问题并渗透数型结合、转化 与化归思想在这个过程中,同学在课堂上的主体位置得到充分发挥,极大的激发了同学的学习爱好,这 正是新课程所提倡的数学教学理念细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -