2022年新课标高中数学人教A版优秀教案必修示范教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第 3 课时指数与指数幂的运算 3 导入新课思路 1.同学们 ,既然我们把指数从正整数推广到整数 ,又从整数推广到正分数到负分数 ,这样指数就推广到有理数 ,那么它是否也和数的推广一样 ,究竟有没有无理数指数幂呢 .回忆数的扩充过程 ,自然数到整数 ,整数到分数 有理数 ,有理数到实数 .并且知道 ,在有理数到实数的扩充过程中 ,增加的数是 实数 .对无理数指数幂 ,也是这样扩充而来 .既然如此 ,我们这节课的主要内容是 :老师板书本堂课的课题 指数与指数幂的运算 3之无理数指数幂 . 思路 2.同学们 ,在中学我们学习了函数的学问 ,对函数有了一个初步的明白 ,到了高中 ,我们又对函数的概念进行了进一步的学习 ,有了更深的懂得 ,我们仅仅学了几种简洁的函数 ,如一次函数、 二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等 ,这些远远不能满意我们的需要 ,随着科学的进展 ,社会的进步 ,我们仍要学习很多函数 ,其中就有指数函数 ,为了学习指数函数的学问 ,我们必需学习实数指数幂的运算性质 ,为此 ,我们必需把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂 ,因此我们本节课学习 :指数与指数幂的运算 3之无理数指数幂 ,老师板书本堂课的课题 . 推动新课新知探究提出问题我们知道 2 =1.414 213 56 , 那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21, ,是 2 的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22, 是 2 的什么近似值？多媒体显示以下图表 :同学们从上面的两个表中 ,能发觉什么样的规律 . 2 的过剩近似值 5 5 2 的近似值1.5 11.18033989 1.42 9.82935328 1.415 9.750851808 1.4143 9.73987262 1.41422 9.738618643 1.414214 9.738524602 1.4142136 9.738518332 1.41421357 9.738517862 1.414213563 9.73817752 5 2 的近似值 2 的不足近似值名师归纳总结 9.518 269 694 1.4 第 1 页,共 9 页9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 213 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9.738 508 928 1.414 213 名师归纳总结 9.738 516 765 1.414 213 5 第 2 页,共 9 页9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 你能给上述思想起个名字吗. 一个正数的无理数次幂究竟是一个什么性质的数呢.如 52 ,依据你学过的学问,能作出判定并合理地说明吗. 借助上面的结论你能说出一般性的结论吗. 活动：老师引导 ,同学回忆 ,老师提问 ,同学回答 ,积极沟通 ,准时评判同学 ,同学有困惑时加以说明,可用多媒体显示帮助内容: 问题从近似值的分类来考虑,一方面从大于2 的方向 ,另一方面从小于2 的方向 . 问题对图表的观看一方面从上往下看,再一方面从左向右看,留意其关联 . 问题上述方法实际上是无限接近,最终是靠近 . 问题对问题赐予大胆推测,从数轴的观点加以说明. 问题在的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨 论 结 果 ： 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21, 这 些 数 都 小 于2 ,称2 的 不 足 近 似 值 ,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,这些数都大于2 ,称2 的过剩近似值 . 第一个表 :从大于2 的方向靠近2 时,52 就从 51.5,5 1.42,5 1.415,51.4143,5 1.41422, ,即大于5 2 的方向靠近 52. 其次个表 :从小于 2 的方向靠近2 时,52 就从 5 1.4,51.41,5 1.414,5 1.414 2,51.414 21, ,即小于 52 的方向靠近 52 . 从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字说明一方面52 从5 1.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21, ,即 小 于52 的 方 向 接 近52 , 而 另 一 方 面52 从5 1.5,51.42,51.415,51.4143,5 1.41422, ,即大于52 的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即靠近 52 ,所以 52 是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,5 1.414 2,51.414 21, ,和另一串有理数指数幂5 1.5,51.42,5 1.415,51.4143,51.41422, ,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52 的点靠近 ,但这个点肯定在数轴上,由此我们可得到的结论是52 肯定是一个实数 ,即 5 1.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21< <52 < <51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 充分说明 5 2 是一个实数 . 靠近思想 ,事实上里面含有极限的思想 ,这是以后要学的学问 . 依据我们可以推断 5 2 是一个实数 ,推测一个正数的无理数次幂是一个实数 . 无理数指数幂的意义 : 一般地 ,无理数指数幂 a （a>0, 是无理数）是一个确定的实数 . 也就是说无理数可以作为指数 ,并且它的结果是一个实数 ,这样指数概念又一次得到推广 ,在数的扩充过程中 ,我们知道有理数和无理数统称为实数 .我们规定了无理数指数幂的意义 ,知道它是一个确定的实数 ,结合前面的有理数指数幂 ,那么 ,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时 ,必需规定底数是正数 . （2）无理数指数幂的运算法就是怎样的 .是否与有理数指数幂的运算法就相通呢 . （3）你能给出实数指数幂的运算法就吗 . 活动： 老师组织同学互助合作 ,沟通探讨 ,引导他们用反例说明问题 ,留意类比 ,归纳 . 对问题（ 1）回忆我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定 ,举例说明 . 对问题（ 2）结合有理数指数幂的运算法就 ,既然无理数指数幂 a （a>0, 是无理数）是一个确定的实数 ,那么无理数指数幂的运算法就应当与有理数指数幂的运算法就类似 ,并且相通 . 对问题 （3）有了有理数指数幂的运算法就和无理数指数幂的运算法就,实数的运算法就自然就得到了 . 争论结果：（1）底数大于零的必要性 ,如 a=-1,那么 a 是+1 仍是 -1 就无法确定了 ,这样就造成混乱,规定了底数是正数后 ,无理数指数幂 a 是一个确定的实数 ,就不会再造成纷乱 . （2）由于无理数指数幂是一个确定的实数 ,所以能进行指数的运算 ,也能进行幂的运算 ,有理数指数幂的运算性质 ,同样也适用于无理数指数幂 .类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法就 : a r·a s=a r+sa>0,r,s 都是无理数 . a r s=a rsa>0,r,s 都是无理数 . a ·b r=a rb ra>0,b>0,r 是无理数 . （3）指数幂扩充到实数后 ,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂 . 实数指数幂的运算性质 : 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质 : a r·a s=a r+sa>0,r,s R. a r s=a rsa>0,r,sR. a ·b r=a rb ra>0,b>0,r R. 应用示例思路 1 名师归纳总结 例 1 利用函数运算器运算.（精确到0.001）,算出数值 ,第 3 页,共 9 页3（1） 0.3 2.1;（ 2）3.14-3;（3）3.14;（4）33. 活动：老师教会同学利用函数运算器运算,熟识运算器的各键的功能,正确输入各类数对于（ 1）,可先按底数0.3,再按键 ,再按幂指数2.1,最终按,即可求得它的值；对于（ 2）,先按底数 3.14,再按键,再按负号键,再按 3,最终按即可 ; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对于 3,先按底数 3.1,再按键,再按 34,最终按即可 ; 对于（ 4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键 ,再按3,最终按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算. ,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代同学可以相互沟通,挖掘运算器的用途. 答案：（1）0.32.1 0.080;（ 2）3.14-3 0.032;3 2.336;（4）33 6.705.（3） 3.14点评： 娴熟把握用运算器运算幂的值的方法与步骤信息社会；用四舍五入法求近似值,如保留小数点后n 位,只需看第（ n+1）位能否进位即可. 例 2 求值或化简 . 1a4b23ab2a>0,b>0; . 24 ab11a>0,b>0; 1124.0 12a3b323526743642活动： 同学观看 ,摸索 ,所谓化简 ,即如能化为常数就化为常数,如不能化为常数就应使所化式子达到最简 ,对既有分数指数幂又有根式的式子 ,应当把根式统一化为分数指数幂的形式 ,便于运算,老师有针对性地提示引导 ,对1 由里向外把根式化成分数指数幂 ,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质 ,对2既有分数指数幂又有根式 ,应当统一起来 ,化为分数指数幂 ,对3有多重根号的式 子 , 应 先 去 根 号 , 这 里 是 二 次 根 式 , 被 开 方 数 应 凑 完 全 平 方 , 这 样 , 把 5,7,6 拆 成 3 2+ 2 2,2 2+ 3 2,2 2+ 2 2,并对同学作准时的评判 ,留意总结解题的方法和规律 . 4 2 1 2 1 1 1 11 4 3 4解： 1 a 4b 2 3ab 2= a 2 b 2 a 3 b 3 2 =a-2ba 6 b 3 =a 6 b 3 = 6 b11 . a点评： 根式的运算经常化成幂的运算进行 ,运算结果如没有特殊要求 ,就用根式的形式来表示 . 1 32 1 12 4 ab 1 31 = 4 22 4 2a 32 a 32 b 32 b 32 = 4a 0b 0= 4. 4 .0 1 2 a 3b 3 2 10 25 25点评： 化简这类式子一般有两种方法 ,一是第一用负指数幂的定义把负指数化成正指数 ,另一个方法是采纳分式的基本性质把负指数化成正指数 . 3 5 2 6 7 4 3 6 4 22 2 2= 3 2 2 3 2 2 = 3 -2 +2-3 -2+ 2=0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评： 考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万留意方根的性质的运用. 1 1例 3 已知 x= 15 n-5 n ,nN *,求x+ 1 x 2 n 的值 . 21 1活动：同学摸索 ,观看题目的特点 ,从整体上看 ,应先化简 ,然后再求值 ,要有预见性 ,5n 与 5 n 具有对称性 ,它们的积是常数 1,为我们解题供应了思路 ,老师引导同学考虑问题的思路 ,必要时赐予提示 . x2=1 45112=12-2 ·50+52 n-5nn5n4=1 42+2+52n-4 5n112-1. =1 45n+5n这时应看到1+x2=1+11-51 2=151+51 2, 12=151+51n, . nnnn44这样先算出1+x2,再算出1x2,带入即可 . 解： 将 x=151-51代入 1+x2,得 1+x2=1+151-5nnnnnn244所以 x+1x2n=151-51+151512nnnnn24=151-51+151+51n=51 n=5. nnnnn,要深刻懂得这种做法22点评： 运用整体思想和完全平方公式是解决此题的关键思路 2 名师归纳总结 例 1 运算 :1613334.0 06255021; 第 5 页,共 9 页4821252+1-2+3431-11; 33322711123-2x4y33x2y3；1111. 4x2-y2 ÷x4-y4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 活动： 同学观看、摸索,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要留意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对1根式的运算经常化成幂的运算进行,对2充分利用指数幂的运算法就来进行 ,对3就要依据单项式乘法和幂的运算法就进行解,并对同学作准时的评判. 15021解： 16133340 . 062548=251+271+0.062 51+1-234482=5 2×1+331+0.541+1342222=5+3+0.5+1222=5; 21252+1-2+3431-11133322721=533+2-1-2+733-3-33=532+2-2×-1+731-331333=25+4+7-3=33; 11121x11y2 3-2x4y33x2y3=-2×3x42·y3311123112 ÷x1-y1 =6 x42y33=-6x4y3=6 4x33y; 11-y1114x2-y2 ÷x44=x42-y444111111=x4+y4x4-y4 ÷x4-y4 11=x4+y4. ,对4要利用平方差公式先因式分点评： 在指数运算中 ,肯定要留意运算次序和敏捷运用乘法公式 . 例 2 化简以下各式 : 名师归纳总结 1x2y2x2y2; ,老师引导同学考虑题目的思路,这两题要留意分第 6 页,共 9 页2222x3y3x3y32a3+a-3a 3-a-3 ÷ a 4+a-4+1a-a-1. 活动：同学观看式子的特点,特殊是指数的特点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2解因式 ,特殊是立方和和立方差公式的应用,对有困难的同学准时提示:对1考查 x2与 x 3的关系2可知 x 2=x 3 3,立方关系就出来了 ,公式便可运用 ,对2先利用平方差 ,再利用幂的乘方转化为立方差 ,再分解因式 ,组织同学争论沟通 . 解： 1原式 = x 22 y 22 x2 2 y 22x 3 y 3 x 3 y 32 2 2 2 2 2 2 2= x 3 2x 3 y 3 y 3 2 x 3 2 x 3 y 3 y 3 2= x 43 xy 23 y 43 x 43 xy 23 y 43 = 2 xy 23 2 3 xy; xy2原式 =a 3 2-a-3 2÷a 4+a-4+1a-a-12 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2= 4 a 4 a 1 = a4 a4 a a1 1= a a1 =a+a-1. a a 1 a a a a 1 a a a a点评： 留意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用 ,由于二项和、差公式 ,平方差公式一般3 1在使用中一目了然 ,而对立方和立方差公式却一般不易观看到 ,a2 =a 2 3 仍简洁看出 ,对其中夹1 1杂的数字 m 可以化为 m· a2 a 2 =m,需仔细对待 ,要在做题中不断地提高敏捷运用这些公式的能力. 知能训练课本 P59 习题 2.1A 组3. . 利用投影仪投射以下补充练习: 111111.化简 :1+2321+2161+281+241+22的结果是 A.11-21-1B.1-21-1C.1-21D.11-21 32323232,我们可以进行适当的变形22分析 :依据此题的特点,留意到它的整体性,特殊是指数的规律性1111由于 1+2321-232=1-216,所以原式的分子分母同乘以1-232, 依次类推 ,所以 121 1121=121=11-21-1. 22321212123232答案： A 名师归纳总结 2.运算 270.5+0.1-2+2102-3 0+9-0.5+490.5×2-4. 9-3+1+7=100. 第 7 页,共 9 页3927解： 原式 =251+100+27 642-3+491×1=3+100+232916516316- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.运算a2a1a2a1a 1.解： 原式 =a11 2a112a11|a11|a 1.此题可以连续向下做,去掉肯定值 ,作为摸索留作课下练习. 4.设 a>0,x=1a1-a1,就 x+1x2 n 的值为 _. nn2分析 :从整体上看 ,应先化简 ,然后再求值 ,这时应看到解： 1+x2=1+1a1-a1 2=1a1+a1 2. -a11a1+a12. nnnn44这样先算出1+x2,再算出1x2, 将 x=1a1-a1代入 1+x2,得 1+x2=1+1a1nnnn2=nn2441所以 x+1x2n=1a1-a1+1a1+annnn 2n24=1 a 21-a1+1 a 21+a1n=a. nnnn答案： a 拓展提升名师归纳总结 参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂23的意义 . 第 8 页,共 9 页活动： 老师引导同学回忆无理数指数幂52 的意义的过程 ,利用运算器运算出3 的近似值 ,取它的过剩近似值和不足近似值,依据这些近似值运算23的过剩近似值和不足近似值,利用靠近思想, “逼出 ”23的意义 ,同学合作沟通 ,在投影仪上展现自己的探究结果. 解： 3=1.73205080 , 取它的过剩近似值和不足近似值如下表. 3 的过剩近似值23的过剩近似值3 的不足近似值23的不足近似值1.8 3.482202253 1.7 3.249009585 1.74 3.340351678 1.73 3.317278183 1.733 3.324183446 1.731 3.319578342 1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849 1.73206 3.322022252 1.73204 3.3219722 1.732022 3.321997529 1.732049 3.321992923 1.7320509 3.321997298 1.7320507 3.321996838 1.73205081 3.321997019 1.73205079 3.321997045 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 我们把用 2 作底数 , 3 的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数2 1.7,2 1.72,2 1.731,2 1.7319, ,同样把用 2 作底数 , 3 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数 : 2 1.8,2 1.74,2 1.733,2 1.7321, ,不难看出 3 的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多 ,即 3 的近似值精确度越高 ,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2 会越来越趋近于同一个数 ,我们把这个数记为 2 3. 即 2 1.7<2 1.73<2 1.731<2 1.7319< < 2 3< <2 1.7321<2 1.733<2 1.74<2 1.8. 也就是说 2 3是一个实数 , 2 3=3.321 997 也可以这样说明 : 当 3 的过剩近似值从大于 3 的方向靠近 3 时, 2 3的近似值从大于 2 3的方向靠近 2 3；3 3 3当 3 的不足近似值从小于 3 的方向靠近 3 时, 2 的近似值从小于 2 的方向靠近 2 . 所 以 2 3就 是 一 串 有 理 指 数 幂 2 1.7,2 1.73,2 1.731,2 1.7319, , 和 另 一 串 有 理 指 数 幂2 1.8,2 1.74,2 1.733,2 1.7321, ,按上述规律变化的结果 ,即 2 3 3.321 997.课堂小结1无理指数幂的意义 . 一般地 ,无理数指数幂 a （a>0, 是无理数）是一个确定的实数 . 2实数指数幂的运算性质 : 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质 : a r·a s=a r+sa>0,r,s R. ar s=a rsa>0,r,sR. a ·b r=a rb ra>0,b>0,r R. 3靠近的思想 ,体会无限接近的含义 . 作业课本 P60 习题 2.1 B 组 2. 设计感想名师归纳总结 无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让同学通过多媒体的演示,懂得无理数指数幂第 9 页,共 9 页的意义 ,教学中也可以让同学自己通过实际情形去探究,自己得出结论,加深对概念的懂得,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让同学体会 ,特殊是靠近的思想、类比的思想,多作练习 ,提高同学懂得问题、分析问题的才能. - - - - - - -