2022年方程的实根的判别式的意义及应用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载专题复习一元二次方程的实根的判别式的意义及应用 一 教学目标通过练习、 沟通与总结, 使同学娴熟把握一元二次方程根的判别式,力,进一步提高同学的解题才能及思维的严密性 .教学重点： 会用判别式判定根的情形教学难点： 仔细审题,分析题意,正确挑选解决问题的途径 教学用具： 电脑,展现台培育同学的语言表达能教学设计： 同学答题小组沟通、争论师生共同归纳、总结教学过程：一、课前基础训练 不解方程,判定以下方程的根的情形：（1）x23x+3=0; （2）x2-4x-3=0; （ 3）4x2-4x+1=0 设计意图：通过很简洁的基本训练,二、学问重现老师对同学今日所要复习的内容的认知情形做一个明白；提问 1：刚才在做练习时,你用了什么数学学问？提问 2：这个学问又是如何争论得到的呢？重现根的判别式由来（电脑展现）一元二次方程ax2bxc=0（a o,b2-4ac 0）的求根公式的推导_；当 =0 时,方程有ax2bxc=0 x2bxc0aax2bxb2b2c0a2a2 aaxb2b24 ac2 a4 a2a 0,4a2>0, 又 b2-4ac 0 x 1bb24 ac,x2bb24ac2 a2 a根的判别式： b2-4ac ,用符号“ ” 表示判定一元二次方程的根的情形时,当 >0 时,_方程有两个不等实数根两个相等实数根；当 <0 时方程没有实数根；反过来也成立；三、 学问应用,例题分析例 1 不解方程,判定以下方程的根的情形：名师归纳总结 12x23x40, 25x217x0；第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点拨 ：把方程化为一般形式ax2精品资料0欢迎下载,再运算判别式的值. bxca0例 2、当 m 取什么值时,关于x 的方程x22 2 m1 x2 m2 20；（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根；点拨 ：用判别式 列出方程或不等式解题；答案：（1）m3；（2）mmx3；（3）m03444例 3求证方程m21 x22m24 没有实数根 . 分析： 列出 的代数式,证其恒大于零；点拨： 认清证明的格式归纳出证明的步骤： 运算 , 用配方法将 恒等变形, 判定 的符号 , 写出结论 . 其 中 难 点 是 的 恒 等 变 形 , 一 般 情 况 下 配 方 后 变 形 后 化 为 形 如 ：a 2 a 2 2 ,2 2 2 2 2 a 2 , a , a 2 等代数式,从而判定正负,非负等情形 .例 4、 当 m 为何值时关于 x 的方程 m 4 x 2 2 m 1 x m 0 有两个实数根？分析： 题设中的方程未指明是一元二次方程,仍是一元一次方程,所以应分 m 2 40 和2m 4 0 两种情形争论；例 5、 已知常数 a 为实数 , 争论关于 x 的方程 a 2 x 2 2 a 1 x a 0 的实数根的个数情形 . 分析： 此题留意不能一看有2 x 项, 自认为是一元二次方程, 而要看含2 x 项的系数是否不等于 0. 这里很自然地运用了分类争论思想. 四、小结1、判别式的意义及一元二次方程根的情形；名师归纳总结 定义：把叫做一元二次方程的根的判别式；用“ ” 表示第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一元二次方程精品资料；欢迎下载当 >0 时,有两个不相等的实数根；当 =0 时,有两个相等的实数根；当 <0 时,没有实数根；反之亦然；2、通过根的情形的争论过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法；五、巩固练习：不解方程,判别以下方程根的情形：（1）x2x=5 29x22 62 x+2=0 3x12 x+2=0 2已知关于 x 的方程x24 k1x2 k20, k 为何值时, 方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根,方程没有实数根3、求证：关于x 的方程2 x2 k2x1xk10有两个不相等的实数根. k 的取值4、已知关于x 的一元二次方程k22 k1 x10有两个不相等的实数根,求范畴 . 答案2.k9;k9;k93.4k2504.k1且k08884教学设计说明 初三的第一轮复习,应当面对全体,抓住学困生的学习爱好；因此,课堂的设计要降 低门槛,以低起点低要求开头教学；参与区进修时,教研员多次提出了要回来课本,重视课本,因此老师在课上要花肯定 的时间,让同学重新感悟数学学问的由来,宁可复习的慢一点,不然做再多的习题,假如没 有建立在懂得的基础上,那也是没有实效的；本课任教的班级是初三（5）班,这是一个试验班,同学原有的数学底子相对较好,课堂上,大部分同学在课堂上能较为自觉地学习数学；因此我在课堂中发挥同学学习的主动性,采纳同学先练, 再沟通争论,最终师生共同总结的方式教学,同学能巩固并能提高自己对学问的懂得；教学反思将课堂仍给同学,通过复习让整节课的实施过程很顺当,同学对本课的学问把握程度不错,大部分同学能较好地完成练习的 1,2,3 题,有些同学仍能做对 很好地达到本课的教学目的；4 题,那说明同学们对本课的学问把握仍很不错,能名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载但是换个角度想, 本节课我这样支配是否太低估了同学的才能？我是否应当更大胆地让同学自主去探究去归纳问题呢？新的课程标准明确指出,我们要让同学学习有用的数学,让不同的同学在数学上得到了不同的进展； 因此我觉得, 本课的教学目的不仅仅是完成了本课的教学任务,同学把握了教学内容没有,仍要关注同学是否在本节数学上得到了不同的进展；回想本课的教学,我仍是过多地留意地要求每一位同学都应当把握哪些学问,尽管在分层练习中设计了不同层次的题目,让优生做有难度的题目,让他们多多摸索； 对于学习有困难的同学, 降低学习要求, 努力达到基本要求；但是在课堂内容的出现过程和内容探究过程中没有留意同学间的沟通；其实同学才是同学最好的老师,在他们的沟通中, 可以先让小组中学习最薄弱的同学发言,再到才能较强的同学发言,这样, 即可以使薄弱的同学有一种压力,肯定要多思多想；仍可以通过组间沟通,完善自己的想法；同学的潜力是无穷的,看老师怎么挖掘而已,不要太主观地一味过高或过低地估量同学,给同学一个机会,同学会仍我们一个奇迹；通过这次的活动和反思,我更觉得,人无完人,我们只有在教学工作中,多多反思,记录训练教学过程中的所得、所失、所感,为不断创新,不断地完善自己,为不断提高训练教学水平；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载一元二次方程的实根的判别式的意义及应用（第 2 课时）教学目标：（1）把握一元二次方程根的判别式的意义,利用根的判别式判定抛物线与直线或双曲线与直线有无公共点 . 解决与 x 轴两交点间的距离的问题 . （2）直线与抛物线 双曲线 的交点问题可转化为一元二次方程根的判别式符号问题 . 领会转化的数学思想方法 .（3）通过观看、分析、感受数学的内在联系,激发同学的探求欲望；教学重点：利用根的判别式判定抛物线与直线或双曲线与直线有无公共点 .教学用具： 三角板、运算机教学过程（一）学问回忆一元二次方程ax2bxc0a0 的根的判别式b24ac,b24ac的符号打算了方程的实数根的存在性. ; 0方程有两个不等实数根 =0 方程有两个相等实数根; 0方程没有实数根. （二）探究例 2 已知如图 1,反比例函数 y 1 , 与直线 y x 2 . 只有一个公共点 P,就称 Px为切点如反比例函数 y k , 与直线 y kx 6 . 只有一个公共点 M ,求当 k0 时两个x函数的解析式和切点 M 的坐标 . 分析： 求反比例函数图象与一次函数图像的公共点,只需解由解析式组成的方程组,转化为一元二次方程,只需考虑根的判别式 .由于只有一个公共点,所以 =0. 解：依题意,得名师归纳总结 y2kx,60,3. 图 1 第 5 页,共 10 页yk.x消去 y 得,kx6xkk2由 =3640得k又k0 ,k3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两个函数的解析式分别为y3精品资料3x欢迎下载,和y6.x点 M 的坐标为（ 1,3）点拨 : 此题给出了证明切线的一种方法 . 一元二次方程的实根的判别式的意义及应用（第 3 课时）教学目标：（1）把握一元二次方程根的判别式的意义,利用根的判别式判定方程根的性质；证明二次三项式为完全平方式；利用其构造一元二次方程,进行代数式的恒等式的证明或不等式的证明；与几何学问相联系解决如判定三角形的外形等的问题 . （2）依据题目条件 , 产生联想 , 转化成一元二次方程问题 .体会转化的数学思想方法 .（3）通过观看、分析、感受数学的内在联系,激发同学的学习爱好；教学重点：利用其构造一元二次方程,进行代数式的恒等式的证明或不等式的证明 .教学用具： 三角板、运算机教学过程（一）学问回忆一元二次方程ax2bxc0a0 的根的判别式b24ac,b24ac的符号打算了方程的实数根的存在性. ; 0方程有两个不等实数根 =0 方程有两个相等实数根; 0方程没有实数根. （二）探究在实数范畴内 ,一些二次三项式 ax 2 bx c a 0 可化为两个一次因式的积 .其方法是先判定方程 ax 2bx c 0 a 0 的根的判别式 b 24 ac 0 ,然后再代入求根2公式 x b b 4 ac,求出两根 x 、x 2 ,于是就有 ax 2bx c = a x x 1 x x 2 .2 a特殊地 ,当 =0 时,方程有相等的实数根 ,就 ax 2 bx c = a x x 1 x x 2 = a x x 1 2,此时可以说 ax 2 bx c 是完全平方式 .于是我们有如下结论 : =0 二次三项式 ax 2bx c 是完全平方式 . 三 新知应用例 1 （ 1）如关于a 的二次三项式16a2ka25是一个完全平方式就k 的值可能是 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如关于 a 的二次三项式ka精品资料1欢迎下载k 的值可能是 ; 24a是一个完全平方式就分析：可以令二次三项等于 有两个相等的实数根 . 即 =0 0,如二次三项是完全平方式,就相对应的一元二次方程解：（ 1）令16a2ka250关于 a 的方程有两个相等的实数根, =k2416250,即 k =40或-40 4a10（2）令ka2关于 a 的方程有两个相等的实数根, =16-4 k =0,即 k =4 2abb2直接“ 凑” 出；的两根均为整数,试求整点拨：此题也可由完全平方式a2例 2 如 12m60,且关于 x 的方程x22m1 x2 m0数 m 的值；分析 :此题只有借助一元二次方程求根公式,由于方程的两根均为整数,判别式必为完全平方数 .名师归纳总结 解：依题意, 2m124 1m242m1必为完全平方数. : 第 7 页,共 10 页 2 m1必为完全平方数且是奇数.bxc0a0有整数根的一个必要条件 12m60,522m12 112m172或2m192. m24 或m40.经检验m24 或m40均符合题意 . m24 或m40.点拨 :此题给出了求一元二次方程ax2b24ac必为完全平方数 式.bbccca0.求证：abc. 例 3 如a、b、c为实数,且a ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：如把a、b、c精品资料欢迎下载.由于方程有实其中的一个看作未知数,就得到一个一元二次方程根,所以可以利用判别式求解. a2bca b2bcc20, 解：整理成关于a 的一元二次方程得, a 为实数,该方程有实数根； = b c 2 4 b 2bc c 2 0 , 即 b c 2 0 , 而 b c 20 ,b c,代入 a 2 b c a b 2bc c 2 0 ,得 a b,a b c . 例 4 已知：b c 1 ,求证：b 24 ac 0 . a a分析 :对已知条件变形 ,由两个量 a、c 表示第三个量 b ,代入 b 2 4 ac ,判定 b 24 ac 的符号 .或者对已知条件变形 ,得 a b c 0 ,再由结论 b 2 4 ac 0 联想到一元二次方程2ax bx c 0 根的判别式 ,即可解决问题 . 解法一：b c 1,a ab a c；2 2 2b 4 ac a c 4 ac a c 0；解法二：b c 1,a aa b c 0；2-1 是方程 ax bx c 0 的一个实数根 . 2b 4 ac 0 .点拨 : 例 12、例 13 都是构造一元二次方程解题,利用判别式证明恒等式或不等式问题 .解题思路奇妙,这种解题方法多见于证明恒等式中 . 例 5 已知方程 a x 2 1 2 bx c x 2 1 0 有两个相等的实数根,a、b、c 为三角形的三条边,判定此三角形的外形 . 分析 :略. 名师归纳总结 解：方程可化为acx22bxac0第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载方程有两个相等的实数根, =2 b2a24acac=0 .b2c2. 即该三角形为直角三角形点拨：此题属于与几何学问相联系的问题 二次方程的系数 . 四 练习.几何与代数的结合点是三角形的边长是一元（2）一元二次方程ax2bxc0a0, , ,c是常数 的两个根x 1,x 2的取值范畴是以下选项中的哪一个1x 13 0,2x 221x 11,x 252224xb01x 10 2,x 251x 11 3,2 2x 22222、已知、 、分别是ABC的三边,其中 1, 4,且关于 x 的方程x2有两个相等的实数根,试判定ABC的外形；3、已知：zy24xyyz 0xy . 求证：2yxz4、求方程2x22xyy22x10的实数解 .参考答案：1、解两个根x 1,x 2的取值范畴是.2、解：方程x24xb0有两个相等的实数根 = 424 b0b4c4bc4 ABC为等腰三角形名师归纳总结 3、证明：以xy、zx、yz z为系数的一元二次方程xy t2zxtyz0第 9 页,共 10 页0. 有两个相等的实数根, y又xyzx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由根与系数的关系可知：t1t2精品资料x欢迎下载1,2yz. 4、解法二：方程变形为2 x2xyy2x22x010,即xy 2x2 10xy20,x2 10,xy0且x10. x1. y1xy210. 解法二：方程变形为2x22y1 =2y1 24y21 20, 化简得 ,y1 20,而y12. y1 20即y1,代入方程得 ,x 1x21. x1y1五 总结 : 一元二次方程根的判别式在解题中有非常广泛的应用.利用根的判别式判定方程根的名师归纳总结 性质； 证明二次三项式为完全平方式；利用其构造一元二次方程,进行代数式的恒等式的证第 10 页,共 10 页明或不等式的证明；与几何学问相联系解决如判定三角形的外形等的问题. - - - - - - -