2022年正弦定理和余弦定理教案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载正弦定理和余弦定理教案第一课时 正弦定理 一 课题引入如图 11-1 ,固定 ABC的边 CB及 B,使边 AC围着顶点 C转动； A 摸索：C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？明显,边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大；能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 图 1.1-1 二 探究新知在中学,我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等式关系；如图1.1-2 ,在 RtAABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函数的定义,有asin,bsinB,又 sinC1c c, ccA 就aAbccbBc b c sinsinBsinC从而在直角三角形ABC中,a sinAC C a B sinsin 图 1.1-2 摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？（让同学进行争论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：如图 1.1-3 ,当 ABC是锐角三角形时,设边 AB上的高是 CD,依据任意角三角函数的定义,有 CD= sin B b sin A, 就sin aA sin bB, C c b同理可得 sin C sin B, b a a b c从而 sin A sin B sin C A D B 图 1.1-3 让同学摸索：是否可以用其它方法证明这一等式？名师归纳总结 证明二：（等积法）在任意斜ABC 当中COaDB第 1 页,共 6 页S ABC=1absinC1acsinB1bcsinA222两边同除以1abc即得：aA=bB=cC2bsinsinsin证明三：（外接圆法）Ac- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如下列图,a sinABaCD2RR 为外接圆的半径 sinD同理b=2R,c2R sinsinC由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来争论这个问题；证明四：（向量法）过 A 作单位向量 j 垂直于 AC由AC + CB = ABj得j . AC +CB = j . AB两边同乘以单位向量就 j . AC + j .CB = j . AB| j |.|AC |cos90 +| j |.|CB |cos90asinCcsinAaA=cCsinsinC=| j |.| AB |cos90 A 同理,如过 C 作 j 垂直于 CB 得：cC=bBaA=bB=cC（让同学课sinsinsinsinsin从而aAbBcCsinsinsin类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成立；后自己推导）从上面的争论过程,可得以下定理正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即aAbBcCsinsinsin三 懂得定理1 正弦定理说明同一三角形中, 边与其对角的正弦成正比, 且比例系数为同一正数,即存在正数k 使aksinA,bksinB ,cksinC ；AcCa 2 ） sinAbBca C等价于sinAb sinc B,sinb sina B,sinCsinsinsin从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如absinA B；sin已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如名师归纳总结 sinAasinB；解三角形 ；第 2 页,共 6 页b一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四 例题剖析例 1在ABC 中,已知A0 32.0,B81.80,a42.9cm,解三角形； 课本 p3,例 1 解：依据三角形内角和定理,C0 180AB0 81.8 18000 32.066.2 ；依据正弦定理,basinB42.9sin81.8080.1cm ；sinAsin32.00依据正弦定理,casinC42.9sin66.2074.1 cm .cm,b28cm,A0 40,解三角形（角度精确到sinAsin32.00例 2在ABC 中,已知a201 ,边长精确到 1cm）； 课本 p4,例 4 解：依据正弦定理,sinBbsinA28sin4000.8999.0 116 .,a20由于0 B 180 ,所以B640,或B1 当B0 64时,C1800AB 18004000 64 0 76casinC20sin76030 cm .sinAsin4000,2 当B1160时,C1800AB 18004000 116 24casinC20sin24013 cm .sinAsin400评述：例 1,例 2 都使用正弦定理来解三角形,在解三角形过程中都使用三 角形内角和定理, 可见,三角形内角和定理在解三角形中的重要应用；应留意已 知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形； 五 课堂练习 第 5 页练习第 11 、21 题；六 课时小结 让同学归纳总结 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 定理的表示形式：aA学习必备B欢迎下载sinAabBcsinCk k0；bcsinsinsinCsin或aksinA,bksinB ,cksinCk02 正弦定理的应用范畴：已知两角和任一边,求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角,求另一边的对角；其次课时 余弦定理 一 课题引入 如图 1.1-4 ,在 ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, C 已知 a,b 和 C,求边 c； b a A c B 图 1. 1-4 二 探究新知 联系已经学过的学问和方法,可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发觉因A、B 均未知,所以较难求边c；由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来争论这个问题；如图 11-5 ,设 CBa, CAb , ABc ,那么 c=a-b ,A |c2 |=cc=a-b a-b b b c =a a + b b -2a从而c2a2b22 abcosC C a B 同理可证a2b2c22 bccosA 图 11-5 b2a2c22 accosB于是得到以下定理 余弦定理 ：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍；即a2b2c22 bccosA可以b22 ac22 accosBc2a2b22 abcosC让同学摸索： 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量,求出第四个量,能否由三边求出一角？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（由同学推出）从余弦定理,又可得到以下推论：cosAb2c2a22 bccosBa2c2b22 accos Cb2a2c22 ba三 懂得定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角；让同学摸索： 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理就指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系？（由同学总结）如ABC中, C= 90 ,就 cos C0,这时2 ca2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例；四 例题剖析 例 1 在 ABC 中,已知 B=60 cm,C=34 cm,A=41°,解三角形 角度精确到 1°,边长精确到 1 cm）；课本 P7 例 3 解：依据余弦定理,a 2=b 2+c 2-2bccosA =60 2+34 2-2 ·60·34cos41 °3 600+1 156-4 080 ×0.754 7 1 676.82,所以, a41 c 由正弦定理得sinC=csinA34sin41340. 6560.544 0. a4141由于 C 不是三角形中最大的边,所以C 是锐角 .利用算器可得B=180° -A+C=180 °-41 °+33°例 2 在ABC中,已知a134.6 cm,b87.8 cm,c161.7 cm ,解三角形；解：由余弦定理的推论得：cosAb2c2a222bc87.82161.72134.62 87.8 161.70.5543,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - A0 56 20；学习必备欢迎下载cosB2 ca22 b2ca134.62161.722 87.82 134.6 161.70.8398,B0 32 53；B 18000 56 200 32 53C1800A =90 47'. 评述：例 1 和例 2 是对余弦定理及其推论的运用, 加深对定理及其推论的理 解和运用；在利用余弦定懂得三角形时,也要留意判定有两解的情形； 五 课堂练习 第 8 页练习第 11 、21 题； 补充练习 在ABC中,如a 2b2c2bc ,求角 A（答案： A=120 0 ）六 课时小结 让同学归纳总结 1 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理 的特例；2 余弦定理的应用范畴： 已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角,求第三边；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
