2022年第十六章分式知识点和典型例习题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 【知识网络】第十六章分式知识点和典型例习题学习必备欢迎下载3. 分式的乘法与除法:b adbd,b acbdbdcacdacac4. 同底数幂的加减运算法则: 实际是合并同类项【思想方法】1转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简5. 同底数幂的乘法与除法; aman =am+n; am mn÷ a n =a6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn 7. 负指数幂 : a-p= 1 paa 0=1 8. 乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a ± b)2= a2± 2ab+b 2单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程（一）、分式定义及有关题型名师归纳总结 的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等题型一：考查分式的定义,1y y，是分式的有：. 第 1 页，共 5 页2建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问【例 1】下列代数式中：x,1xy ,ab,x2y2x题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“ 实际问题 2abxyx分式方程模型 求解 解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对题型二：考查分式有意义的条件培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义x（5）x113类比法（1）x4（2）x3x2（3）x21（4）|6本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分x422x|3式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些3x运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程题型三：考查分式的值为0 的条件第一讲 分式的运算【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为0. （1）x1（ 2）|x|2（3）x22x【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质; x32x24x5x62. 与分式运算有关的运算法则题型四：考查分式的值为正、负的条件3. 分式的化简求值( 通分与约分 ) 【例 4】（1）当 x 为何值时，分式84x为正；4. 幂的运算法则【主要公式】 1.同分母加减法则:bcbac a0（2）当 x 为何值时，分式35xx为负；aa(2)12. 异分母加减法则:bdbcdabcda a ac0,c0; （3）当 x 为何值时，分式x2为非负数 . acacacx3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：学习必备欢迎下载x12，求x21的值 . 【例 4】已知：1当 x 取何值时，下列分式有意义：xx2（1）6|13（2）(x3x1（3）111【例 5】若|xy1|(2x3 )20，求4x12y的值 . . x|)12x练习：2当 x 为何值时，下列分式的值为零：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数（1）5|x41|（2）x256x25（1）0 . 03 x0 .2y（2）0 . 4 a3bx2x5 10 . 08 x.05y1 4ab3解下列不等式10（1）|x|20（2）x2x2530x12已知：x13，求x4x21的值 . xxx23已知：113，求2a3 ab2b的值 . （二）分式的基本性质及有关题型abbaba4若a22 ab26 b100，求2ab的值 . 1分式的基本性质：AAMAM3a5 bBBMBM5如果1x2，试化简|x2|x1|x|. 2分式的变号法则：aaaa2xx1xbbbb题型一：化分数系数、小数系数为整数系数名师归纳总结 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. . （三）分式的运算第 2 页，共 5 页（1）1x2y（2）02.a0. 03 b1确定最简公分母的方法：23xy0.04ab11最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；34最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 题型二：分数的系数变号2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. （1）xy（2）aa（3）a题型一：通分bbxy题型三：化简求值题【例 1】将下列各式分别通分. 【例 3】已知：115，求2x3xy2y的值 . （1）c,bc,ac；（ 2）aab,2bb2a；xyx2xyy2 ab3 a252 b提示：整体代入，xy3 xy，转化出11. （3）x21x,12xx2,x222；（ 4）a2,21axyxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型二：约分学习必备欢迎下载1计算名师归纳总结 【例 2】约分：3(x2y2)(yx)2；（1）2 a5a12a3；（2）a2bb22 ab；)2y )6第 3 页，共 5 页（1）16x2y；（ 3）n2m2；（3）x2x2. b2 (a)12 (a)12 (a)1aa20xy3m2（3）abcab2b3ccba2 cb；（4）ab2 b2；nxx6题型三：分式的混合运算abccaba（5）(ab4ab)(ab4 ab)；（6）11x11x122【例 3】计算：ababx（1）(a2b)3(c2)2(bc)4；（2）(3a3)（7）(x21x3 )(x2x3 )(x12 ). )(1 )(1 )(xcabaxyyx. 2先化简后求值（3）m2nmnn2m；（4）a21a1；（1）a1aa22 a41a211，其中 a 满足a2a0. nmnma（5）11x11x12x214x38x78；a22xx41x（2）已知x: y2:3，求(x2xyy2)(xy)(xxy)3x的值 . （6）(x1x)1(x1x3 )(x1x5)；y21 )(1 )(3 )(3已知：(x5x24)1xA12B1，试求 A 、 B 的值 . （7）(x2x24x44x12)(x22x)x1 )(xx14当 a 为何整数时，代数式399 a805的值是整数，并求出这个整数值题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值的值；a2（四）、整数指数幂与科学记数法（1）已知：x1，求分子1x284(x2x41)(11)4题型一：运用整数指数幂计算2x（2）已知：xyz，求xy2yz3 xz的值；234x2y22 z【例 1】计算：（1）(a2)3(bc1)3（2）(3x3y2z1)2(5xy2z3（3）已知：a23 a10，试求(a21)( a1)的值 . a2a（3）(ab)3(ab)52（4）(xy )3(xy )22(x题型五：求待定字母的值(ab)2(ab)4【例 5】若123 xM1N1，试求M ,N的值 . 题型二：化简求值题x1xx【例 2】已知xx15，求（ 1）x2x2的值；（2）求x4x4的值 . 练习：题型三：科学记数法的计算- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】计算：（1）(3103)( 82.102)2；（ 2）(4103)2(2102)3. 学习必备欢迎下载【例 2】解下列方程名师归纳总结 练习 ：. （1）xx14xx44；（2）x7x9x10x6第 4 页，共 5 页x6x8x9x51计算：（1）(11)(1)2|1|( 13)0(.025)200742008提示：（1）换元法，设xx1y；（2）裂项法，x71x16.x63553【例 3】解下列方程组（2）(31m3n2)2(m2n)3（3）(2ab2)2(a2b)2111( )1xy2(3a3b2ab3)2111()2（4）4(xy )2(xy)22yz3111()32(xy )1(xy )2zx42已知x25x10，求（ 1）xx1，（2）x2x2的值 . 题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 x 的分式方程x231xm3有增根，求m 的值 . 第二讲 分式方程【例 5】若分式方程2xa1的解是正数，求a 的取值范围 . 【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法; x22. 分式方程产生增根的原因提示：x23a0且x2，a2且a4. 3. 分式方程的应用题【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 题型四：解含有字母系数的方程 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数. 【例 6】解关于 x 的方程（一）分式方程题型分析xac(cd0 )题型一：用常规方法解分式方程bxd【例 1】解下列分式方程提示：（1）a,b,c,d是已知数；（2）cd0. （1）x113；（2）x2310；（3）x1x2411；（4）5xx5题型五：列分式方程解应用题xxx34x练习：x1提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记1解下列方程：验根 . （1）x112xx0；（ 2）xx32x43；题型二：特殊方法解分式方程x12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）2x4x352；（4）x7xxx3x2117x2学习必备欢迎下载x1x8x2x7六、分离常数法例 6解方程：x222x21（5）5x2x1（6）15x2x2x9x3x811xx七、分组通分法2x43x2214（7）xx2x9x1x8例 7解方程：x12x15x13x14x7x1x62解关于x的方程：（1）112( b2 a)；（2）1a1b(ab ). axbaxbx3如果解关于x 的方程xk22xx2会产生增根，求k 的值 . 4当 k 为何值时，关于x 的方程x3(xkx2)1的解为非负数 . x21 )(5已知关于x 的分式方程2a1a无解，试求a 的值 . x1（二）分式方程的特殊解法（三）分式方程求待定字母值的方法例 1若分式方程x1m无解，求 m 的值。x22x例 2若关于x 的方程xxk21xx1不会产生增根，求k 的值。1x2例 3若关于x 分式方程1xk2x234有增根，求 k 的值。x2例 4若关于x 的方程x1k5k1有增根x1，求 k 的值。1xx2xx21解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例 1解方程：1x32x二、化归法例 2解方程：x11x2210三、左边通分法例 3：解方程：x871x8x7四、分子对等法例 4解方程：1a1b(ab)axbx五、观察比较法名师归纳总结 例 5解方程：54x25xx217第 5 页，共 5 页x44- - - - - - -