2022年一次函数和二次函数.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1一次函数其次章其次单元 一次函数和二次函数（1）一次函数的概念的函数叫做一次函数,它的定义域是R,值域为 R. 一次函数的图象是,其中 k 叫做该直线的,b 叫做该直线在y 轴上一次函数又叫（2）一次函数的性质于函数的转变量y与自变量转变量x的比值等, k 的大小表示直线与x 轴的当 k>0 时,一次函数是；当 k<0 时,一次函数是当 b0 时,一次函数为,是；当 b 0 时,它直线 ykxb 与 x 轴的交点为,与 y 轴的交点为；2二次函数（1）函数 yax2bxca 0 叫做,它的定义域为R. （2）二次函数的性质与图象细心整理归纳 精选学习资料 3图象定义域当函数性质xR a>0 a<0 值域y4acab2,y,4acab2a0 奇偶性44b=0 时为偶函数, b 0 时既非奇函数也非偶函数a>0 a<0 x,b 时递减,x,b 时递增,a0 单调性2 a2axb, 时递增xb, 时递减2a2a图象特点1对称轴:xb; 2顶点: b,4acb2配方法2a2a4 a抛物线有最低点,抛物线有最高点,最值xb时, y 有最小值当xb时, y 有最大值2a2 aymin4acb2y max4acb24 a4 a 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -将二次函数yax2bx c 配成顶点式yx a h 2k 来求抛物线的顶点和函数y的最值问题 配方法是争论二次函数的主要方法,娴熟地把握配方法是把握二次函数性质的 关键,对一个详细的二次函数,通过配方就能知道这个二次函数的主要性质（4）二次函数解析式的三种形式一般式： f（x）= ax2+bx+ca 0 . 顶点式： fx= fx=ax-h 2+k a 0 ,k,h为顶点坐标两根式： fx=ax-x 1x-x 2a 0 , x 1、x 2 为两实根3待定系数法一般地, 在求一个函数时, 假如知道这个函数的一般形式,形式,其中系数待定,然后再依据题设条件求出这些待定系数 确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法；题型一 一次函数的图象和性质可先把所求函数写为一般 . 这种通过求待定系数来1、已知一次函数ym2xm23 m2,它的图象在y 轴上的截距为4,就 m的值为（）（B）2（C）1（D） 2 或 1 （A）4【答案】 C；2、一次函数ykxk,如 y 随 x 的增大而增大,就它的图象经过（）（A）第一、二、三象限（B）第一、三、四象限（C）第一、二、四象限（D） 其次、三、四象限【答案】 B；3、已知函数y3 x5x5,5,就其图象的外形为（）（D） 不存在（A）一条直线（B）一条线段（C）一系列点【答案】 B；4假如 ab>0,bc<0,那么 axbyc0 的图象的大致外形是（） 第 2 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【答案】A 5已知直线y kxb 过点 Ax1,y1和 Bx 2,y2,如 k<0 且 x 1<x2,就 y1 与 y 2的大小关系是（）Ay1>y2 By 1<y2 Cy 1y 2 D 不能确定【解析】k0, y kxb 是减函数当 x 1x 2时, y1 y2. 【答案】A 题型二 二次函数的图象和性质1二次函数 y ax 2bx c 的图象如右图所示,就 Aa>0,b>0 B a>0,c>0 C b>0,c>0 D a、b、c 均小于 0 【解析】由图象开口向下知a<0,而 b/2a>0 , b>0 3xf3x ,就实又 f0 c>0. 【答案】C 2. 如二次函数fx 2ax24a2xb对任意的实数都满意f数的值为（）3322【答案】 【方法技巧】在解决与二次函数对称轴有关的问题时假如能合理应用下面的结论会简化解题过程：如函数对任意的实数满意 f x m f x m ,就 f x 的对称轴是3已知函数 fx2x 23x1,1 求这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程；2 求这个函数的最小值；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 不直接运算函数值,试比较 f 1 和 f1 的大小【思路点拨】此题考查二次函数的基本性质,第3 问第一利用函数fx 的对称性： f（xh fx h ,把要比较的两个值转化到同一个单调区间上,再利用函数的单调性比较它们的大小也可以比较两个自变量离对称轴的距离大小,从而得到它们的大小关系此题a2 0 ,拋物线开口向上,1313,离对称轴远的函数值大,所44以 f 1 f1 这也是常用的方法,应娴熟把握【解析】（1）将函数配方化为顶点式【方法技巧】争论二次函数的性质肯定要结合二次函数的图象,为了便利, 通常画草图,有时可以省去y 轴,利用单调性比较两个数值的大小,关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上,这里表达了数形结合及化归等重要思想方法4. 已知二次函数 y x 2 2xm的部分图象如下列图,x 22xm0 的根为 _就关于 x 的一元二次方程【解析】由图知拋物线的对称轴为直线x 1,与x 轴的一个交点坐标是 第 4 页,共 10 页 3,0,所以拋物线与x 轴的另一个交点坐标是1,0 ,所以关于x 的一元二次方程x22x m0 的根为 x 1 1,x23. 【答案】1,3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5已知关于x 的函数 ym 6x22m1xm1 的图象与 x 轴总有交点1 求 m的取值范畴；2 当函数图象与 x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于4 时,求 m的值【解析】 1 当 m60,即 m-6 时,函数 y 14x5 与 x 轴有一个交点；当 m6 0 时, 4 9m5 0,解得 m5,95即当 m,且 m 6 时,抛物线与 x 轴有交点9综合 m6 0 和 m 6 0 可知,当 m5时,此函数的图象与 x 轴有交点92 设 x 1,x 2是方程 m6 x 22 m1 x m10 的两个根,当 m 3 时, m6 0, >0,符合题意,m的值是 3. 【方法技巧】对于 y=ax2+bx+c 要认为它是二次函数,就必需认定 a 0.当题目条件未说明 a 0 时,就要争论 a=0 和 a 0 两种情形 .题型三 二次函数的最值问题1求函数 y2x24x3 的最值4x 2,4 25. 1x R；2 x 2,0 ； 3 x0,3对二次函数配方,得 y2x 24x32；【解析】x11 如 xR,当 x1 时, ymin 5；无最大值2 如 x 2,0 ,当 x 2 时, y max13；当 x0 时, ymin 3. 3 如 x0,3,当 x1 时, y min 5；当 x3 时, ymax 3. 4 如 x2,4,当 x2 时, y min 3；当 x4 时, ymax 13. 细心整理归纳 精选学习资料 2求函数f x x22ax1在区间 0,2上的最大值和最小值. a21 第 5 页,共 10 页 【解析】fxxa2a21 由于fx 的图象（抛物线）的对称轴对于 0,2的位置有四种可能. 当 a0 时,f x maxf234 a,fxminf0 1当 0 1 时, fxmaxf2 34 a,fxminfa 1当 1 2 时, fxmaxf0 1,fxminfaa2当2 时, ,fxmaxf0 1,fxminf234a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【方法技巧】1 利用单调性求最值或值域应先判定函数在给定区间上的单调性2 求解二次函数在某区间上的最值,应判定它的开口方向、对称轴与区间的关系,如含有字母应留意分类争论,解题时最好结合图象解答题型四 由特别值求待定系数1已知一次函数 ykxb,x1 时, y 2,且在 y 轴上的截距为5,那么它的解析式是（）Ay3x5 By 3x5 C y 3x5 D y3x5 【答案】D 2过点 A2,3 的反比例函数的解析式是（）A y 6 B y 6 C y 3 x D y 2 xx x 2 3【答案】B3二次函数的顶点坐标为 2 , 1,且过点 3,1,就解析式为 _【答案】y2x 28x 7 4一次函数 y3xb 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,就一次函数的解析式为_【解析】即 b 2144,b± 12.解析式为y3x± 1 2. 【答案 】y3x± 122,3）,且与一次函数y3xb的5已知二次函数图象的对称轴是,又经过点（图象交于点（ 0, 1）,求过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标【解析】已知二次函数图象的对称轴为x=2,且又经过点（2, 3）,就二次函数图象的顶 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 点为（ 2,3）,设二次函数为a x2 23；以（, 1）代入,得a 1,x24x13xb,得 b1, 1 ,再以（, 1）代入y联立,y3x214x1消去 y,得 x2x0,方程组的解为x01或x1,yy2yx所求另一个交点坐标为（1,2）题型五由恒等式求待定系数1如3 x1xA1B1,就 A ,B . 2 x1x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】2已知二次函数fx满意f0,fx1 fx,就fx（）x 2x 1 2 x 2x 1 x 2x 1 x 2x 2【答案】C3已知二次函数 yx 2bxc 的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,得到的二次函数为 yx 22x1,求该二次函数的解析式【解析】将 yx 2bxc 的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位得解析式为yx 2 2bx 2 c3x 2b 4x 2bc7. 令 x 2b 4x 2b c7x 22x1,题型六 二次函数三种解析式的敏捷运用【方法技巧】二次函数解析式有三种表达形式,1.一般式： y=ax2+bx+c ；其中 a 0, a, b, c 为常数2.顶点式： y=ax-h 2+k ；其中 a 0, a, h, k 为常数,（ h,k ）为顶点坐标；3.交点式： y=ax-x 1x-x 2；其中 a 0, a, x 1,x2 为常数, x1 ,x2 是抛物线与横轴两交点的横坐标 . 每种形式都有三个待定的系数,所以用待定系数法求二次函数解析式应留意以下几点：（1）依据题目给定的条件留意挑选适当的表达形式,一般已知抛物线的顶点,用顶点式 y=ax-h2+ka 0 ；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴）,用两点式 y=ax-x1x-x 2a 0；需构造的方程也越少,这样可以大大简化运算过程,（2）解题过程中待定的系数越少,故尽量由已知直接确定某些系数；（3 ）如题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax2+ bx+c=0 a 0）,那么最终的结果必需写成此种形式；1已知抛物线与x 轴交于点 1,0 ,1,0 ,并且与 y 轴交于点 0,1 ,就抛物线的解析式 第 7 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -为y x21.【 答Ay x21 Byx2 1 Cy x21 Dyx21 【解析】由题意抛物线对称轴是y 轴且开口向下, 顶点 0,1 故抛物线为案】 A 2. 抛物线 y=ax2+ bx+c 与 x 轴交于点 A（-3 ,0）,对称轴x=-1, 顶点 C到 x 轴的距离为2,求此抛物线的解析式；解法 1： 依题意,得9a3 b2c0,解得a1,;或a1,22b,12.b,13b,12a3 2.cc4acb24ay1x2x3 或 y2x=-1 ,1 2 3x x 即所求 . 2 2顶点到 x 轴的距离为 2,2解法 2:抛物线对称轴顶点（ -1 ,± 2）设 y=ax+1 0=a-3+12± 2, 抛物线过（ -3 ,0）, 2 ± 2.解得a-1 或 2a12 y-1 x+1 22+2=1x2x322或 y 1 x 1 22解法 3： 抛物线对称轴21x 2x 32过（ -3 ,0）2x=-1, 由对称性知抛物线必过（1,0）设 y=ax+3x-1,抛物线过（ -1 ,± 2）± 2=a× 2× -2 解得：a12、解法 3 较简便,由于它们只需待定一2y1x2x3或y1x2x32222【方法技巧】此例给出 3 种解法,明显解法个系数 a, 只要构造一个关于 形式；a 的方程即可；所以,对于求解二次函数解析式,要留意挑选a、b 、c 对二次函数的图象和性质的影响细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -