2022年等差数列的前n项和例题解析.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等差数列的前 n 项和· 例题解析【例 1】等差数列前 10 项的和为 140,其中, 项数为奇数的各项的和为125,求其第 6 项解依题意,得a1 d = 14020d = 12510a 110 102a 1a 3a 57a = 5a 1解得 a1=113,d=22 其通项公式为an=113n1· 22=22n135 a6=22× 61353 说明 此题上边给出的解法是先求出基本元素 a1、d,再求其他的这种先求出基本元素, 再用它们去构成其他元素的方法,是常常用到的一种方法在本课中假如留意到 a6=a15d,也可以不必求出 an 而2a 19d = 28直接去求 a 6,所列方程组化简后可得 相减即得 a 15d = 3,a 14d = 25即 a63可见,在做题的时候,要留意运算的合理性当然要做到这一点,必需以对学问的娴熟把握为前提【例 2】在两个等差数列2,5,8, , 197 与 2, 7,12, , 197中,求它们相同项的和解由已知,第一个数列的通项为an3n 1；其次个数列的通项为bN=5N 3 如 ambN,就有 3n 15N 3 即 nN2N1 3如满意 n 为正整数,必需有N3k 1k 为非负整数 又 25N3 197,即 1N 40,所以N1,4,7, , 40 n=1, 6,11, , 66 两数列相同项的和为 21732 197=1393 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 3】挑选题：实数学习必备欢迎下载aa,b,5a,7,3b, , c 组成等差数列,且b5a73b c 2500,就 a,b,c 的值分别为A 1,3,5 B1,3,7b = 3a C1,3, 99 D1, 3,9 解 C 由题设2b = a5a又145a 3b,a1,b 3 首项为 1,公差为 2 又S = na 1n n1 d2 502 2500= nn n1 ·2a50=c=1 501·2=99 a 1,b3,c99 【例 4】在 1 和 2 之间插入 2n 个数, 组成首项为1、末项为 2 的等差数列,如这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为 个数解 依题意 212n21d 913,求插入的数的名师归纳总结 前半部分的和Sn+1n1n1 nd ·d第 2 页,共 12 页2后半部分的和Sn+1n1·2n1 n2由已知,有Sn11n1 1nd92 ndSnn1 2132化简,得1nd92 nd2132解之,得 nd =511由,有 2n 1d=1 由,解得d = 1 11,n = 5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 共插入 10 个数【例 5】在等差数列 a n中,设前 m 项和为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 SmSn,m n,求 Sm+n解Sm+nmna11mnm 1d2mna11m n1d2且 SmSn,m n1 1ma 1mm1dna 1nn1d2 2d整理得 mna 1mnm n 1 = 021即 mna 1m 1d = 021由 mn,知 a 1m 1d02Sm+n0【例6】已知等差数列 an 中, S3=21, S6=64,求数列 |an|的前n项和 Tn分析等差数列前n项和S = na1n n1 d,含有两个未知数a1,2d,已知 S3和 S6的值,解方程组可得 负性进行判定,就可求出 Tn 来a1 与 d,再对数列的前如干项的正解设公差为d,由公式S nna 1n n1d2得3a 13d = 21ba 115d = 24解方程组得： d 2,a19名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载an 9n1n2 2n11 由an2n110 得 11= 5.5,故数列a n的前5项为正,2其余各项为负数列a n 的前 n 项和为：Sn9nn n1 2 =n210n2当 n5 时, Tn n2 10n 当 n6 时, TnS5|SnS5| S5Sn S52S5SnTn22550n210nn210n50 即Tn=n210n n5nN*|an|的前nn210n50 n6说明依据数列 a n 中项的符号,运用分类争论思想可求项和【例 7】在等差数列 an 中,已知a6a9a12a1534,求前 20 项之和解法一 由 a6 a9a12 a1534 得 4a138d34 又S 2020a 120×19d220a1190d54a138d=5× 34=170 解法二 S20=a + a20×20= 10a1a202由等差数列的性质可得：名师归纳总结 a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载S20170 【例 8】已知等差数列 a n 的公差是正数,且 a3· a7=12,a4a6=4,求它的前 20 项的和 S20的值解法一 设等差数列 a n 的公差为 d,就 d0,由已知可得a 12da 1bd12 a 13da 15d =4 由,有 a1 24d,代入,有 d2=4再由 d0,得 d2 a1=10 最终由等差数列的前 n 项和公式,可求得 S20180 解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即 a3a7 4 又 a3·a7=12,由韦达定理可知：a3,a7是方程 x24x120 的二根解方程可得 x1=6,x22 d0 an 是递增数列a3 6,a7=2 名师归纳总结 d =a7a 3= 2,a110,S 20180Sn和 Tn,如 第 5 页,共 12 页73【例 9】等差数列 a n、 b n 的前 n 项和分别为S n2n1,就a 100等于T n3nb 100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n 项A1B23C199D200299301分析该题是将a100与Sn2n1发生联系,可用等差数列的前b100Tn3 n和公式Sn=na + a 把前 项和的值与项的值进行联系n2解法一Snn a12an,Tnn b12bnSna1ana1an2n1Tnb1bnb1bn3 n2a100a1 a199,2b100b1b199a100=a 1a199=2×199= 199 299选Cb100b1b1993×199 + 1解法二利用数列 an 为等差数列的充要条件：Sn an2bn S Tn32n1nn可设 Sn2n2k,Tnn3n1ka bnSnS n122 n k2n1 2k1k,nTnT n1n 3 n1 kn1 3 n1 1 ka b4n22n16 n23 n11002×10011991003×1001299说明该解法涉及数列an 为等差数列的充要条件Sn=an2bn,由已知Sn32n1,将Sn和T n写成什么？如写成Sn= 2nk,T = 3nT nnk 是常数,就不对了名师归纳总结 【例 10】解答以下各题：第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 已知：等差数列an 中 a23,a6 17,求 a9；2 在 19 与 89 中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且 此数列各项之和为 1350,求这几个数；3 已知：等差数列 4 已知：等差数列 分析与解答an 中, a4a6 a15a1750,求 S20；an 中, an=333n,求 Sn的最大值1a6= a262d d173=54a9=a696d= 173× 5=322a1=19, an+2=89,Sn+21350 S n+2= a + an+2n + 2861,公差为35的23个数2 2 = 2 19 + 89 = 25 n = 23×1350a n+2= a 25= a 124d d = 35 12故这几个数为首项是21 11 12,末项是12123 a4a6a15a17=50 又因它们的下标有 417615=21 a4 a17=a6a15=25 S20=a + a20×2010×a4a17n2250n24 an=333n a130363Sn=a + a n·n633 n n22223n2123×212228nN,当 n=10 或 n=11 时, Sn 取最大值 165名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 11】求证：前 n 项和为 4n2 3n 的数列是等差数列证 设这个数列的第 n 项为 an,前 n 项和为 Sn当 n2 时, anSnSn-1an 4n23n 4n 123n1 =8n1 当 n=1 时, a1=S1=43=7 由以上两种情形可知,对全部的自然数n,都有 an=8n1 又 an+1an8n1 1 8n18 这个数列是首项为7,公差为 8 的等差数列说明这里使用了“an=Sn Sn-1” 这一关系使用这一关系时,要留意,它只在 n2 时成立由于当n1 时, Sn-1=S0,而 S0 是没有定义的所以,解题时,要像上边解答一样,补上 n1 时的情形【例 12】证明：数列 an的前 n 项之和 Sn an2bna、b 为常数 是这个数列成为等差数列的充分必要条件证由 Snan2bn,得当 n2 时, anSnSn-1an2bnan12bn1 =2naba a1S1ab 对于任何 nN,an2naba 且 anan-1=2nab a 2n1ab a 2a常数 a n 是等差数列名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如a n 是等差数列,就Snna1n n1 dna1d2= d·1n ·n2=dn2n a1d22= b,即如令d= a,就a 1d22Sn=an2bn综上所述, Sn=an2 bn 是a n成等差数列的充要条件说明由此题的结果,进而可以得到下面的结论：前n 项和为 Sn=an2bnc 的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上, 设数列为 u n ,就：充分性 c = 0 S nan 2b n u 是等差数列必要性 u 是等差数列 S nan 2bn c 【例 13】等差数列 an的前 n 项和 Snm,前 m 项和 Smnmn,求前 mn 项和 Sm+n解法一 设a n的公差 d 按题意,就有名师归纳总结 Snna 1n n1 dmmn1 ·d = nm第 9 页,共 12 页2Smma 1m m1 dn 2,得mn·a1n m2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即a 1mn1d =学习必备·欢迎下载·d12S m nmn a 1mn mn1 2mn a 1mn1d 2=mn解法二 设 SxAx 2Bxx N Am 2Bmn An 2Bnm ,得 Am 2n2Bm nnmm n Am nB=1 故 Am n2Bm n mn 即 Sm+n mn 说明 a1,d 是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再m n 1解决其它问题,但此题关键在于求出了 a 1d ,这种设而不2解的“ 整体化” 思想,在解有关数列题目中值得借鉴解法二中,由于是等差数列,由例22,故可设 Sx=Ax 2Bx xN75,各偶数项之【例 14】在项数为2n 的等差数列中, 各奇数项之和为和为 90,末项与首项之差为27,就 n 之值是多少？解S 偶项 S 奇项 =nd nd=9075=15 又由 a2n a127,即 2n1d=27 nd1527n = 5 2n1d【例 15】在等差数列 an 中,已知 a125,S9S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值名师归纳总结 解法一建立 Sn 关于 n 的函数,运用函数思想,求最大值第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载169依据题意：S 17= 17a 117×16d,S 99a 19×8d22a1=25,S17S9解得 d 2Sn25nn n1 2 =n226n =n1322当 n=13 时, Sn 最大,最大值S13169n解法二由于 a1=250,d 20,所以数列 a n是递减等差数列,如使前n 项和最大,只需解an00,可解出an+1a1 25,S9S17 ×259×8d = 17×2517×16d,解得d =222an=25n 12=2n272n2700n13.5n = 13S13=1692n127n12.5即前 13 项和最大,由等差数列的前n 项和公式可求得解法三利用 S9=S17 查找相邻项的关系由题意 S9=S17 得 a10a11a12 a17=0 而 a10a17=a11 a16=a12 a15=a13a14a13a140,a13=a14a130,a140 S13=169 最大解法四依据等差数列前n 项和的函数图像,确定取最大值时的na n 是等差数列可设 SnAn 2Bn 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数 y=Ax 2Bx 的图像过原点,如图 321 所示S9S17, 对称轴 x = 9 +17 2= 13取 n=13 时, S13169 最大名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页