2022年七年级数学下册《轴对称图形典型例题》.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载轴对称图形典型例题例 1 如下图,已知,PBAB, PCAC,且 PBPC,D 是 AP 上一点求证： BDP CDP 证明：PBAB,PCAC,且 PBPC,PAB PAC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上）,APB PAB90° , APC PAC90° ,APB APC,在 PDB 和 PDC 中,PB PC,APB APC,PD PD . PDB PDC （SAS）,BDP CDP （图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注利用角平分线定理的逆定理,可以通过距离相等直接得到角相等,而不用再证明两个三角形全等例 2 已知如下图（ 1）,在四边形ABCD 中, BCBA,ADCD ,BD 平分 ABC求证：A C180° （1）证法一：过 D 作 DE AB 交 BA 的延长线于 E,DF BC 于 F,BD 平分 ABC,DEDF ,在 Rt EAD 和 Rt FCD 中,AD DEDC,DF .） 第 1 页,共 14 页 （角平分线是常见的对称轴,因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明Rt EADRt FCD （HL ）,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C EAD,优秀学习资料欢迎下载EAD BAD180° ,A C180° 证法二：如下图（2）,在 BC 上截取 BEAB,连结 DE ,证明ABD EBD 可得（2）证法三：如下图（3）,延长 BA 到 E,使 BEBC,连结 ED,以下同证法二（3）注此题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,关键是把握遇到角的平分线的帮助线的不同的添加方法例 3 已知,如下图, AD 为 ABC 的中线,且DE 平分 BDA 交 AB 于 E,DF 平分 ADC交 AC 于 F求证： BECFEF证法一：在 DA 截取 DNDB,连结 NE、NF ,就 DN DC ,在 BDE 和 NDE 中,BDND,BDENDE.DEDE（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题） BDE NDE （SAS）,BENE（全等三角形对应边相等）同理可证：CFNF,在 EFN 中, ENFN EF（三角形两边之和大于第三边）, 第 2 页,共 14 页 BECF>EF细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载证法二：延长 ED 至 M,使 DM ED,连结 CM、MF ,在 BDE 和 CDM 中,BDCD,BDE.CDM,DEDM（从另一个角度作帮助线） BDE NDE （SAS）,CMBE（全等三角形对应边相等）,又BDE=ADE, ADF CDF ,而 BDE ADE ADF CDF 180° ,ADE+ADF 90° ,即 EDF 90° ,FDM EDF90° ,在 EDF 和 MDF 中,EDMD,EDFMDF,DFDF. EDF MDF （SAS）,EFMF （全等三角形对应边相等）在 CMF 中,CFCM >EF,BECF >EF注 此题综合考察角平分线、中线的意义,关键是如何使题中的分散的条件集中例 4 已知,如下图, P、Q 是 ABC 边 BC 上的两点,且 BPPQQCAPAQ求：BAC 的度数解：APPQAQ（已知）,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载60° ）,APQ AQP PAQ60° （等边三角形三个角都是APBP（已知）,（留意观看图形和条件）PBA PAB（等边对等角） ,APQ PBA PAB60°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）,PBA PAB30° ,同理 QAC 30° ,BAC BAP PAQ QAC30° 60° 30° 120° 注 此题考察等腰三角形、等边三角形的性质,关键是把握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角； （2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程例 5 已知,如下图,在ABC 中, ABAC,E 是 AB 的中点,以点E 为圆心, EB 为半径画弧,交 BC 于点 D,连结 ED,并延长 ED 到点 F,使 DF DE,连结 FC求证： F A证明：ABAC,B ACB（等边对等角） ,EBED,B EDB,ACB EDB（等量代换） ,ED AC（同位角相等,两直线平行）在 BDE 和 AED 中, BEAE=ED ,连结 AD 可得, EAD EDA, EBD EDB,EDA EDB90° ,即 ADBC,EDA EDB 90° ,即 ADBC,（用什么定理判定三角形全等的？）D 为 BC 的中点,AEF AFE BDE CDF ,BED F,而 BED A,F A例 6 已知,如下图,ABC 中, ABAC, E 在 CA 的延长线上,求证： EFBC证法一：作BC 边上的高 AD, D 为垂足, 第 4 页,共 14 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ABAC,ADBC,优秀学习资料欢迎下载BAD CAD（等腰三角形三线合一） ,又BAC E AFE, AEF AFE,CAD E,AD EF,ADBC,EFBC证法二：过 A 作 AGEF 于 G,AEF AFE,AGAG, AGE AGF 90° , AGE AGF（ASA ）,ABAC,B C,又 EAF B C,（请对比多种证法的优劣）EAG GAF B C,H, 第 5 页,共 14 页 EAG C,AG BC,AGEF,EFBC证法三：过E 作 EH BC 交 BA 的延长线于细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ABAC,B C,优秀学习资料欢迎下载H B C AEH,AEF AFE, H AFE FEH180° ,H AEH AEF AFE180° ,AEF AEH 90° ,即 FEH 90° ,EFEH,又 EH BC,EFBC证法四：延长 EF 交 BC 于 K,ABAC,B C,1B 2（180° BAC）,AEF AFE,1AFE 2（180° EAF）,BFK AFE,1BFK 2（ 180° EAF）,（180° EAF）11B BFK 2（180° BAC） 21 2 360° （EAF BAC） ,EAF BAC180° ,B BFK 90° ,即FKB90° ,EFBC注 此题考察等腰三角形性质的应用,解题的关键是通过添加帮助线,建立 EF 与 BC 的联系,认真体会以上各种不同的添加帮助线的方法例 7 如下图, AB AC,DBDC, P 是 AD 上一点求证： ABP ACP细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明：连结BC,优秀学习资料欢迎下载ABAC（已知）,ABC ACB（等边对等角） ,又点 A、D 在线段 BC 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）AD 就是线段 BC 的垂直平分线,而两点确定一条直线,PBPC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）,PBC PCB（等边对等角） ,（线段垂直平分线的性质）ABCPBC ACB PCB（等式性质） ,即 ABP ACP注此题如用三角形全等,至少需要证两次,现用线段垂直平分线的判定和性质,就显得比较简洁例 8 如下图, AB AC,DE 垂直平分 AB 交 AB 于 D,交 AC 于 E,如 ABC 的周长为 28,BC8,求BCE 的周长解：等腰 ABC 的周长 28, BC8,2ACBC28,AC10,（理由是什么？）DE 垂直平分 AB,AEBE, BCE 的周长 BEECBCAEEC BCACBC 10818注此题考察线段垂直平分线的性质定理的运用,关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系例 9 已知,如下图,ABC 中, ABAC, BAC120° , EF 为 AB 的垂直平分线,EF 第 7 页,共 14 页 交 BC 于 F,交 AB 于 E,求证：BF1FC2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证法一：连结AF,就 AFBF,优秀学习资料欢迎下载B FAB（等边对等角） ,ABAC,B C（等边对等角） ,BAC120° ,B C1802BAC30（三角形内角和定理） ,FAB30° ,FAC BAC FAB 120° 30° 90° ,又C30° ,（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）AF1FC（直角三角形中30° 角所对的直角边等于斜边的一半）2BF1FC2证法二：连结AF,过 A 作 AG EF 交 FC 于 G,EF 为 AB 的垂直平分线,AFBF,又B30° ,AFG60° ,BAG 90° ,AGB60° , AFG 为等边三角形,又C30° ,GAC30° ,AGGC,（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）1FCBFFGGC2例 10 已知,如下图, ABBC,CD BC, AMB75° , DMC 45° , AM MD 求证： ABBC细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载思路分析从结论分析,要证ABBC,可连结 AC,使 BC 与 AB 能落在一个三角形内,再看BAC 与BCA 能否相等？证明：连结 AC,交 DM 于 H,AMB75° , DMC 45° （已知）, AMD 60° （平角定义）又AMMD , AMD 为等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）,AMAD（等边三角形三边相等） ,CDBC,DCM 90° ,DMC 45° ,MDC 45° （三角形内角和定理） ,CDCM（等角对等边） ,AC 是 DM 的垂直平分线（和线段两端点等距离的点,在线段的垂直平分线上）,MHC 90° ,HCM 45° ,B 90° ,BAC45° ,ABBC（等角对等边） 【典型热点考题】例 1 如图 715,等腰 ABC的对称轴与底边1AD 是哪个角的平分线；2AD 是哪条线段的垂直平分线；3 有哪几条相等的边；4 有哪几对相等的角点悟：此题主要考查等腰三角形的全部特点来解答问题BC相交于点 D,请回答以下问题：所以应当依据等腰三角形是轴对称图形的性质解：等腰三角形是轴对称图形,直线 AD是它的对称轴1AD 是顶角BAC的平分线细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载2AD 是线段 BC的垂直平分线3AB AC, BDDC4 BADCAD,ABCACB,ADBADC例 2 如图 716,已知 PBAB,PCAC,且 PBPC,D是 AP上一点求证： BDPCDP点悟： 利用三角形全等证明两个角相等最直观,但由于图形具有明显的轴对称性,可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以,证明： PB AB,PCAC,且 PB PC, PABPAC到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 APBPAB90° ,APCPAC90° , APBAPC在PDB和PDC中,PBPCAPC PDBPDCSAS APBPDPD BDPCDP例 3 如图 717,先找出以下各图形中的轴对称图形,再画出它们的对称轴 有几条,画几 条 点悟：先确定是否是轴对称图形,假如是轴对称图形,就将它们的对称轴全部画出来解： 1 是,它有 3 条对称轴2 是,它有 2 条对称轴3 是,它有 2 条对称轴4 是,它只有一条对称轴细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载5 它不是轴对称图形,故没有对称轴6 它是轴对称图形,有一条对称轴图均略例 4 如图 718,ABC中, ABAC,D在 BC上,且 BD AD,DCAC,将图中的等腰三角形全部写出来,并求出 B 的度数点悟：图中共有三个等腰三角形,要将它们一一写出来,不能遗漏在运算B 的度数时,要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和解：图中共有三个等腰三角形,它们分别是：ABC,ABD,CAD设Bx,就CxBAD,ADCDAC 2x BCBACBCBADDAC xxx 2x5x180°180B x 365例 5 如图 719,在金水河的同一侧居住两个村庄 A、 B要从河边同一点修两条水渠到 A、B两村浇灌蔬菜,问抽水站应修在金水河 MN何处两条水渠最短 . 点悟： 先将详细问题抽象成数学模型河流为直线 MN,在直线 MN的同一侧有 A、B 两点 在直线 MN上找一点 P,使 P 点到 A、B 两点的距离之和为最小这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决解：如图 719 所示作 B点关于直线 即为所求MN的对称点 B ,连结 AB ,与 MN相交于 P,就 P 点事实上,假如不是P点而是 P 点时,PB, 第 11 页,共 14 页 就连结A P、PB和PB由轴对称性知道,PBPB,PBPB所以 P 到 A、B 的距离之和,A PPBA P而 P 到 A、B 的距离之和APPBAPP BA B细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在ABP'优秀学习资料AP欢迎下载AB中,三角形两边之和大于第三边,PB所以 P 点即为所求的点例 6 如图 720,已知, AD为 ABC的中线,且 于 F求证： BECFEFDE平分BDA交 AB于 E,DF平分ADC交 AC点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题证法一：在 DA上截取 DNDB连结 NE、NF就 DNDC在BDE和NDE中,BDND,NDE, BDENDEBDE,DEDE BE NE同理可得, CFNF在EFN中, ENFNEF三角形两边之和大于第三边 BE CFEF证法二：如图 721,延长 DE至 M,使 DMED,连结 CM、MF在BDE和CDM中,BDCD,CDM,BDEDEDM BDECDMSAS CM BE全等三角形对应边相等 又BDEADE,ADFCDF,而BDEADEADFCDF180°细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载 ADEADF90° ,即EDF90° FDMEDF90° 在EDF和MDF中,ED MD ,EDF MDF ,DF DF ,EDFMDFSAS EF MF全等三角形对应边相等 在CMF中, CFCMMF, BE CFEF点拨： 此题综合考查角平分线,中线的意义, 三角形全等及线段之间的等量关系,关键是要把题目中的已知条件集中奇妙应用【易错例题分析】例已知如图 722,在四边形ABCD中, BCBA,AD CD,BD平分ABC求证：AC 180° 证法一：如图722,过 D作 DEAB交 BA的延长线于E, DFBC于 F BD 平分ABC, DE DF 在 RtEAD和 RtFCD中, AD DC,DEDF, Rt EADRt FCDHL CEAD, EADBAD180° , AC180° 723,在 BC上截 BEAB,连结 DE,证明 ABDEBD可得证法二：如图证法三：延长 BA到 E,使 BEBC,连结 ED,以下同证法二,如图 724细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -警示： 此题直接加以证明就不行能,优秀学习资料欢迎下载不会添加帮助线或添加需要奇妙的添加适当的帮助线,不适当的帮助线就是最常见的误区此题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等,添加帮助线的方法有多种情形,应当很好感悟尽快把握细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 14 页 - - - - - - - - -