2023届高考数学专项复习区间单调性定 范围与卡根法含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 2023届高考数学专项复习区间单调性定 2023届高考数学专项复习区间单调性定 范围与卡根法范围与卡根法 区间单调性定 范围区间单调性定 范围知识与方法知识与方法 若题干给出sin()(0)yx 在区间,a b上单调递增（单调递减可类似处理），求的范围.这类题可先根据2222kxk求出()f x的单调递增区间D，再利用,a bD建立不等式组，筛选整数k的值来确定的取值范围.典型例题典型例题1.（）已知函数()sincos(0)f xxx，xR，若函数()f x在区间(,)内单调递增，且函数()f x的图象关于直线x 对称，则的值为 .2.（）已知函数()sin()0,|2f xx，4x 为()f x的零点，4x 为()yf x图象的对称轴，且()f x在5,18 36单调，则的最大值为（）A.11B.9C.7D.5强化训练强化训练1.（）已知0，函数()sin3f xx在,42 上单调递增，则的取值范围为 .2.（）已知0，函数()sin6f xx在,62 上不单调，则的取值范围为 .卡根法卡根法知识与方法知识与方法 若题干给出函数sin()(0)yx 在某区间,a b上有几个零点（或极值点），求的范围，这类题一般先令tx，根据axb求得t的范围，记作区间D，借助sinyt的图象，将区间D的端点卡在图象上的某 2 个零点（或极值点）之间，使其零点个数符合题意，进而建立不等式，求得的范围.典型例题典型例题1.（2022全国甲卷理11）设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则实数的取值范围是（）学科网（北京）股份有限公司 A.5 13,36 B.5 19,36 C.13 8,63 D.13 19,66 2.（）设函数()sin(0)5f xx，已知()f x在0,2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：()f x在(0,2)有且仅有 3 个极大值点；()f x在(0,2)有且仅有 2 个极小值点；()f x在0,10单调递增；的取值范围是12 29,510.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.强化训练强化训练 1.（）已知函数()sin(sincos)f xxxx(0)在(0,)上恰有 2 个最大值点，则的取值范围为（）A.11 19,88 B.11 19,88 C.11 19,44 D.11 19,44 2.（）已知函数()sin()(0,)f xx R在75,126上单调，且73124ff，若()f x在213,36上恰有 5 个零点，则的取值范围为 .3.（多选）已知函数()sin(0)4f xx的图象在(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论正确的是（）A.存在，使2sin42 B.存在，使22sin42 学科网（北京）股份有限公司 C.有且仅有一个0(0,1)x，使0sinx 445 D.存在0(0,1)x，使0sin04x 4.（多选）设函数()sin(0)6f xx，若()f x在0,上有 3 个零点，则（）A.的取值范围为13 19,66 B.在(0,)上存在12,x x，满足1f x22f x C.()f x在(0,)上有且仅有 1 个最大值点 D.()f x在0,2上单调递增 学科网（北京）股份有限公司 区间单调性定区间单调性定范围与卡根法范围与卡根法 区间单调性定区间单调性定范围范围 知识与方法知识与方法 若题干给出sin()(0)yx 在区间,a b上单调递增（单调递减可类似处理），求的范围.这类题可先根据2222kxk求出()f x的单调递增区间D，再利用,a bD建立不等式组，筛选整数k的值来确定的取值范围.典型例题典型例题 1.（）已知函数()sincos(0)f xxx，xR，若函数()f x在区间(,)内单调递增，且函数()f x的图象关于直线x 对称，则的值为 .【解析】【解析】由题意，131()2sin,2222424244f xxkxkkxk，所以()f x的单调递增区间是1312,2()44kkkZ，取0k 可得原点附近的增区间是3,44，因为()f x在区间(,)内单调递增，且x 是()f x的图象的对称轴，所以4，从而2.【答案】【答案】2 2.（）已知函数()sin()0,|2f xx，4x 为()f x的零点，4x 为()yf x图象的对称轴，且()f x在5,18 36单调，则的最大值为（）A.11 B.9 C.7 D.5【解析】解法【解析】解法 1：由4x 为()f x的零点，4x 为()yf x图象的对称轴知这两者之间的距离应该是4T的奇数倍 即(21)()444Tnn N，将2T 代入整理得：21n，故为奇数，因为4x 是函数的对称轴，所以此处也是单调性的分界点，从4往前、后各推半个周期，可得到一个完整的单调递增区间和单调递减区间，再加上周期的整数倍，就是全部单调区间，如下图所示（两种都有可能）：学科网（北京）股份有限公司 由图可得()f x的两类不同的单调区间分别为2222,44 4 4kkkkk Z、；上面的两个单调区间分别是增区间和减区间，但至于哪个是增区间、哪个是减区间无法确定，又因为()f x在5,18 36单调，所以5,18 36应是上面两类单调区间中某一类的子区间，所以241825436kk或241825436kk，解得：36(12)187kk或729(21)7kk，先考虑36(12)187kk，这一不等式要有解，首先应满足36(12)187kk，解得：23k ，又0，所以36(12)07k，从而12k，故2132k，结合kZ可得0k，代入36(12)187kk结合0可得：3607，再考虑729(21)7kk，这一不等式要有解，首先应满足729(21)7kk，所以76k ，又0，所以7207k，从而0k，故706k，结合kZ可得1k ，代入729(21)7kk 结合0可得：7297，而满足3607或7297的最大的奇数是 9，所以的最大值为 9.解法解法 2（代答案验证）：（代答案验证）：先取11，则()sin(11)f xx，由4x 为()yf x图象的对称轴知11()42kkZ，所以3(3)4k，结合|2知4，即()sin 114f xx，sin(3)044fx 是()f x的零点，设114tx，则()sinf xt，当51836x时，13233618t，学科网（北京）股份有限公司 显然sinyt在1323,3618上不单调，故()f x在5,18 36上也不单调，所以11不合题意，再取9，则()sin(9)f xx，由4x 为()yf x图象的对称轴知9()42kkZ，所以(2)4k，结合|2知4，即()sin 94f xx，sin(2)044fx 是()f x的零点，设94tx，则()sinf xt，当51836x时，3342t，显然sinyt在33,42上单调递减，所以()f x在5,18 36上也单调递减，故9符合题意，结合选项知的最大值为 9.【答案】【答案】B 强化训练强化训练 1.（）已知0，函数()sin3f xx在,42 上单调递增，则的取值范围为 .【解析】【解析】(125)(121)2223266kkkxkx，所以()f x的增区间是(125)(121),66kk，其中kZ，因为()f x在,42 上单调递增，所以(125)46(121)26kk，解得：241012133kk 因为0，所以0k，当0k 时，不等式（1）即为10133，又0，所以103，当1k 时，241012112110333kkk，所以241012133kk，故不存在满足不等式 综上所述，的取值范围为10,3.【答案】【答案】10,3 2.（）已知0，函数()sin6f xx在,62 上不单调，则的取值范围为 .【解析】解法【解析】解法 1：()f x在,62 上不单调()f x在,62 上有极值，12()623xkxkkZ，所以存在整数k，使得12632k，当0k 时，学科网（北京）股份有限公司 1203k，不存在k满足12632k；当0k 时，考虑命题p：“存在整数(0)k k，使得12632k”的否定p：“对任意的整数12(0),36k kk或1232k”，当k 时，123k，所以1236k不能恒成立，而若1232k恒成立，则1232，所以43，即403，从而当命题p成立时，的取值范围为4,3.解法解法 2：1122222()26233kxkkxkf x的单调递增区间为 1122,233kk，其中kZ，从而()f x的单调递减区间为12122,233kk，若()f x在,62 上单调，则123612232kk或1223612232kk，所以412243kk或1012443kk.对于412243kk，因为0，所以0k，当0k 时，423，故403，当1k 时，显然412243kk，故不存在满足412243kk；对于1012443kk，由0知0k，此时1012443kk，故不存在0满足1012443kk.综上所述，当()f x在,62 上单调时，的取值范围是40,3，而本题()f x在,62 上不单调，所以43.【答案】【答案】4,3 卡根法卡根法 知识与方法知识与方法 若题干给出函数sin()(0)yx 在某区间,a b上有几个零点（或极值点），求的范围，这类题一般先令tx，根据axb求得t的范围，记作区间D，借助sinyt的图象，将区间D的端点卡在图象上的某 2 个零点（或极值点）之间，使其零点个数符合题意，进而建立不等式，求得的范围.典型例题典型例题 1.（2022全国甲卷理11）设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则实数的取值范围是（）学科网（北京）股份有限公司 A.5 13,36 B.5 19,36 C.13 8,63 D.13 19,66【解析】【解析】显然0不合题意；当0时，设3tx，则()sinf xt，当(0,)x时，,33t，函数()f x在(0,)恰有三个极值点、两个零点sinyt在,33恰有三个极值点、两个零点，如图1，由图可知应有5323，解得：13863；当0时，,3 3t，如图 2，由图可知sinyt在,3 3 上不可能有三个极值点、两个零点，不合题意；所以实数的取值范围是13 8,63.【答案】【答案】C 2.（）设函数()sin(0)5f xx，已知()f x在0,2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：()f x在(0,2)有且仅有 3 个极大值点；()f x在(0,2)有且仅有 2 个极小值点；()f x在0,10单调递增；的取值范围是12 29,510.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.【解析】解法【解析】解法 1：函数sinyx在y轴右侧第一个极大值点为2x，()sinsin55f xxx，故将sinyx向左平移5即可得到函数()yf x的图象，由52知y轴右侧的第一个极值为极大值，据此可作出函数()yf x的大致图象如示：由55Ax 解得：245Ax；由65Bx 解得：295Bx，学科网（北京）股份有限公司 因为()f x在0,2 有且仅有 5 个零点，所以2429255，解得：1229510，项，由图可知()f x在(0,2)有且仅有 3 个极大值点，故项正确，项，由图可知()f x在(0,2)有 2 个或 3 个极小值点，故项错误，项，由52Cx 知310Cx，因为1229510，所以3329108，而32910，即()f x在0,10单调递增，故项正确，项，1229510，故（4）项正确，故正确答案为D.解法解法 2：设5tx，则()sinf xt，当0,2 x时，,2,()55tf x在0,2 内有 5 个零点等价于函数sinyt在,255内有 5 个零点，如图，应有5265，解得：1229510，项，由图知sinyt在,255有 3 个极大值点，所以()f x在(0,2)有 3 个极大值点，故项正确，项，由图知sinyt在,255有 2 个或 3 个极小值点，所以()f x在(0,2)有 2 个或 3 个极小值点，故项错误，项，当0,10 x时，,()5 105tf x在0,10单调递增等价于sinyt在,5 105单调递增，因为1229510，所以114925105100，故1052，从而sinyt在,5 105上单调递增，即()f x在0,10单调递增，故项正确，项，因为1229510，所以项正确.解法解法 3：由()0f x 得：5xk，解得：1()5xkkZ，学科网（北京）股份有限公司 显然当0k 时，1055k，即零点不在0,2 上，故15,()kf x在0,2 的 5 个零点为49141924555 5 5 、，且当6k 时，12955k，所以24252925，解得：1229510，项，由()1f x 得：252xk，解得：132()10 xkkZ，由1302210k解得：332020k，因为1229510，所以93114204，即k可取 0、1、2，所以()f x在(0,2)有且仅有 3 个极大值点，故项正确，项，由()1f x 得：252xk，解得：172()10 xkkZ，由1702210k解得：772020k，因为1229510，所以117134204，从而k必定可取 1、2，可能可取 3，即()f x在(0,2)有 2 个或 3 个极小值点，故项错误，项，由知y轴右侧第 1 个极大值点为310 x，因为1229510，所以3329108，由知y轴右侧第 1 个极小值点为1331010 x，即y轴右侧的第一个极值为极大值，而32910，即()f x在0,10单调递增，故项正确，项，1229510，故项正确，故正确答案为D.【答案】【答案】D 强化训练强化训练 1.（）已知函数()sin(sincos)f xxxx(0)在(0,)上恰有 2 个最大值点，则的取值范围为（）A.11 19,88 B.11 19,88 C.11 19,44 D.11 19,44【解析】【解析】21cos2121()sinsincossin2sin 222242xf xxxxxx，令24tx，则21()sin22f xt，当(0,)x时，,244t，()f x在(0,)上恰有 2 个最大值点等价于sinyt在,244上恰有 2 个最大值点，如图，应有592242，解得：111988.学科网（北京）股份有限公司 【反思】【反思】整体角换元是解决sin()yAxB的图象性质问题的基本操作，换元后函数图象更好画，分析更简便.【答案】【答案】A 2.（）已知函数()sin()(0,)f xx R在75,126上单调，且73124ff，若()f x在213,36上恰有 5 个零点，则的取值范围为 .【解析】【解析】()f x在75,126上单调57046122T，又73124ff，所以203f，且如图，56不能在23右边的第一个极值点的右侧，否则不满足()f x在75,126上单调，所以52634T，故23T，从而03，因为()f x在213,36上恰有 5 个零点，如图，由图可知，13252632TT，从而3354T，故32354，解得：81033，综上所述，的取值范围为8,33.【答案】【答案】8,33 3.（多选）已知函数()sin(0)4f xx的图象在(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论正确的是（）A.存在，使2sin42 B.存在，使22sin42 C.有且仅有一个0(0,1)x，使0sinx 445 D.存在0(0,1)x，使0sin04x【解析】【解析】设4tx，则()sinf xt，当(0,1)x时，,44t，作出sinyt的部分图象如图1,()f x 学科网（北京）股份有限公司 在(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心等价于sinyt在,44上恰有一条对称轴和一个对称中心，由图可知342，所以3544，A 项，当3544时，7916416，在这个范围内，比如取42，则2sin142，所以存在，使2sin42，故 A 项正确，B 项，当3544时，527848，取2322,sin4442，故 B 项正确，C 项，如图 2，因为4252，所以水平直线45y 与sinyt位于,44的图象有两个交点，所以有且仅有两个0(0,1)x，使04sin45x，故 C 项错误，D 项，由图 2 可知存在0(0,1)x，使0sin04x，故 D 项正确.【答案】【答案】ABD 4（多选）设函数()sin(0)6f xx，若()f x在0,上有 3 个零点，则（）A.的取值范围为13 19,66 B.在(0,)上存在12,x x，满足1f x22f x C.()f x在(0,)上有且仅有 1 个最大值点 D.()f x在0,2上单调递增【解析】【解析】A 项，设6tx，则当0,x时，,66t，且()sinf xt，从而()f x在0,上有3 个零点等价于函数sinyt在,66上有 3 个零点，如图，应有236，解得：131966，故 A 项正确，B项，在(0,)上存在12,x x，满足122f xf x等价于sinyt在,66上既有最大值，又有最小值，由图可知该结论成立，故 B 项正确，学科网（北京）股份有限公司 C项，由图可知sinyt在,66上可能有 1 个或 2 个最大值点，故()f x在(0,)上也可能有 1 个或2 个最大值点，故C项错误，D项，当0,2x时，,6 26t ，由于131966，所以112612，而sinyt在11,612上不单调，所以()f x在0,2上也不单调，故 D 项错误.【答案】AB