2022年一元二次方程专题复习.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一元二次方程学问盘点1方程中只含有个未知数, 并且整理后未知数的最高次数是,这样的方程叫做一元二次方程；通常可写成如下的一般形式 a、b、c、为常数, a ；2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的 时,可以依据 的意义,通过开平方 平方,而另一边是一个 法求出这个方程的解；（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax2bxcoa0的一般步骤是：化二次项系数为,即方程两边同时除以二次项系数；移项,使方程左边为项和b2项,右边为项；配方,即方程两边都加上n 的形式,的平方；化原方程为xm 2假如 n 是非负数,即n0,就可以用法求出方程的解；假如 n0,就原方程；4ac_ 0时, x = _ （3）公式法 : 方程ax2bxc0a0,当（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：将方程的右边化为；方程；的实数根 , 将方程的左边化成两个的乘积；令每个因式都等于,得到两个解这两个方程,它们的解就是原方程的解；3.一元二次方程的根的判别式. （1）b24ac>0一元二次方程ax2bxc0a0有两个即x 1,x 2x 1x2, （2）b24ac=0一元二次方程有两个的实数根,即（3）b24ac<0一元二次方程ax2bxc0a0实数根；4. 一元二次方程根与系数的关系假如一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x x ,就x 1x2,x x 2提示 ：在应用一元二次方程根与系数的关系时,肯定要保证元二次方程有实数根；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样,即审、找、设、列、解、答六步；考点出现考点一 一元二次方程的基本概念及解法例 1、（2022 山东济宁）已知关于 ab 的值为x 的方程 x 2bxa0 有一个根是 aa 0,就AB0 C1 D2 a 方程,【分析】：依据方程根的定义,把已知根代入原方程从而获得一个关利用因式分解法即可求得a 的值【解答】：把 x= -a 代入原方程得：a2aba0ab1a ab1 0a 0, a-b+1=0 【点评】：此题是一元二次方程根的定义,解法,及整体思想的综合应用；中考题对基础学问的考查都具有肯定的综合性,基础扎实才可敏捷应用；例 2、（2022安徽）一元二次方程x（x2）=2x 的根是（）A1 B2 C1 和 2 D 1 和 2 【分析】：移项后,用因式分解法解方程；【解答】： x（x2）+x2=0 （x2）x+1=0 x2=0 或 x+1=0 x1=2 x2= -1 答案 D 【点评】：解一元一次方程时, 要留意依据方程的特点, 挑选适当的方法求解；一般地,如方程左边是一个非负数或完全平方式,就采纳直接开平方法；如能分解因式就用因式分解法；当两种方法都行不通时,可采纳公式法或配方法；考点二一元二次方程根的判别式x22 kxk10的根的情形描述正确选项例 3、（2022 山东潍坊）关于 x 的方程 Ak 为任何实数方程都没有实数根 B,k 为任何实数方程都有两个不相等的实数根 Ck 为任何实数方程都有两个相等的实数根 D依据 k 的取值不同方程根的情形分为没有实数根、有两个不相等的实 数根和有两个相等的实数根三种【分析】此题需先求出方程的根的判别式的值,通过配方,将结果与 0 作比较,从而得出答案细心整理归纳 精选学习资料 【解答】关于 x 的方程x22kxk10中 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载=（2k）2-4 ×（k-1）=4k 2-4k+4 =（2k-1）2+30 k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根 应选 B【点评】此题主要考查了根的判别式、配方法,在解题时要能对根的判别式进 行整理变形是此题的关键例 4、（2022重庆江津区）已知关于 x 的一元二次方程（ a l）x2 2x+l0 有两个 不相等的实数根,就 a 的取值范畴是（）B、a2 C、a2 且 a l D、a 2 A、a2 【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式,解不等式确定 a 的取值范畴【解答】： 4 4（a 1）8 4a0 a2又 a 1 0a2 且 a 1应选 C【点评】：只有一元二次方程才具有根的判别式,因此在逆用判别式时,肯定要保证二次项系数不等于 0；对于根的判别式的考查一般有两个命题角度：判别一元二次方程根的情形；求一元二次方程字母系数的取值范畴；考点三 一元二次方程根与系数的关系例 5、（2022 四川南充）关于的一元二次方程 x 2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2；（1）求 k 的取值范畴；（2）假如 x1+x2x1x2 1 且 k 为整数,求 k 的值；【分析】 1一元二次方程有两个实根的条件是 0,二次项系数不等于零x1x2 2,x 1x2k1. 2依据一元二次方程根与系数的关系,得【解答】：1方程有实数根,2 24k1 0,k0,所以 k 的取值范畴是 k0.2依据一元二次方程根与系数的关系,得 x1x2 2,x1x2k1. x1x2x1x2 2k1由已知,得 2k1 1,解得 k2. 又由 1得 k0,2k0.k 为整数,k 的值为 1 和 0. 【点评】：此题是对根与系数的关系、根的判别式、一元一次不等式等基础学问的综合考查,一元二次方程根与系数的关系常用于求有关两根的代数 式的值和求方程中未知系数的值,表达了整体、转化等数学思想,用根与系数的关系求字母的值时,不要忽视 0 的前提条件；细心整理归纳 精选学习资料 【对应训练】（2022四川乐山）已知关于x的方程x2a2a1xa27a40的 第 3 页,共 10 页 两根为1x、x ,且满意x x23x 13x 220.求144a2的值；2a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点四学习必备欢迎下载列一元二次方程解应用题例 6（2022.日照）为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋 ”,某市加快了廉租房的建设力度2022 年市政府共投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米,估量到 2022 年底三年共累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租房,如在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）如这两年内的建设成本不变,求到 2022 年底共建设了多少万平方米廉租房【分析】：（1）设每年市政府投资的增长率为 x依据到 2022 年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房,列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数,再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果【解答】：解：（1）设每年市政府投资的增长率为 x,依据题意,得： 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5,整理,得： x 2+3x 1.75=0,解之,得：x 3 9 4 1 . 752x1=0.5,x2= 3.5（舍去）答：每年市政府投资的增长率为 50% （2）到 2022 年底共建廉租房面积 =9.5÷（万平方米）【点评】：增（降）率问题应用题是列一元二次方程解应用题中的最基此题型,此类问题关键是把握增（降）率问题中的一般形式为 a（1+x）n=b,其中 n 为增降次数, x 是增（降）率 a为基础量, b 为增降后的目标量；列一元二次方程解决实际问题时,要仔细审题,依据题中信息, 找出等量关系；特殊需要留意的是求出方程两根后,肯定要检验是否符合题意；【对应训练】（2022·广安）广安市某楼盘预备以每平方米6000 元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加 快资金周转,对价格经过两次下调后,打算以每平方米 4860 元的均价开盘销售1求平均每次下调的百分率；2某人预备以开盘价均价购买一套 优惠方案以供挑选：打 9.8 折销售；100 平方米的住房,开发商赐予以下两种不打折,一次性送装修费每平方米 试问哪种方案更优惠？80 元,误区点拨一、忽视等式的基本性质,造成失根例1、解方程： 2 x x1x3x1. x3,x1.5 第 4 页,共 10 页 1错解：两边同除以,得2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载剖析：方程两边同除以一个式子时忽视了式子可能为 0. 正解：移项,得 2 x x113x10,10,所以 2x3x. 所以x 11.5,x2二、忽视二次项系数 a 0,导致字母系数取值范畴扩大例2、假如关于 x的一元二次方程 m22 x3 x2 m420有一个解是 0,求m的值错解：将 x0代入方程中,得m2 023 0m40,m24,m2. m20,剖析：由一元二次方程的定义知：而上述解题过程恰恰忽视了这一点,正解 : 将 x 0 代入方程中,得2 2 m 2 0 3 0 m 4 0, m 22m 4, m 2 . 又由于 m 2 0,所以 m 2 . 三、忽视一元二次方程有实根的条件 0,导致错解例3、已知：1x、x 是方程 x 2 k 2 x k 23 k 5 0 的两实根,2 2求 x 1 x 2 的最大值 . 错解：由根与系数的关系得：x 1 x 2 k 2,2x x 2 k 3 k 5,2 2 2x 1 x 2 x 1 x 2 2 x x 22 2 k 2 2 k 3 k 52k 10 k 62 k 5 192 2所以当 k 5 时,x 1 x 2 有最大值 19. 剖析：当 k 5 时,原方程变为 x 27 x 15 0,此时 0,方程无实根！错因是忽视了 0这一重要前提,由于方程有两实根,故 0,正解：由根与系数的关系得：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x 1x2k2,x x2学习必备5欢迎下载k23k,x 1 2x 22x 1x 2 22 x x 2k2 22k23 k5k210k6k5 219又由于方程有实数根, 0,所以 k224k223 k250解得4k4 3. x 1x2有最大值 18. 所以当k4时,四、忽视挖掘题目中的隐含条件导致错解例4、如 x 2y 21 x 2y 23 5 ,就 x 2 y =_. 22 2 2 2 2 x y 2 x y 8 0错解：2 2 2 2 x y 4 x y 2 0解得 x 2y =4或 2x 2y =2 2剖析：忽视了 x 2y 的非负性,所以应舍去 2x 2y =-2 2正解：x 2y =4. 2五、忽视 “方程有实根 ”的含义,导致字母系数取值范畴缩小例5、.已知关于 x的方程 kx 22 k 1 x k 1 0,当 k为何值时,方程有实数根？错解：由于方程有实数根,所以 02即 2 k 1 4 k k 1 0,1解得 k,3又由于 k 0,1所以 k 且 k 0 . 3剖析：“方程有实根 ”在此题中应懂得为：方程有一个实数根或有两个实数根,故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情形争论 : （1）当 k0时,原方程变为一元一次方程-2x=1,其实根为 x=-1/2,故k可取 0. （2）当 k 0时,原方程为一元二次方程,须满意 0,即k1且k0, 第 6 页,共 10 页 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1综合（ 1）、（ 2）知：k . 3六、忽视实际问题中对方程的根的检验,造成错解例6.有一块长 80cm,宽60cm的薄铁片,在四个角截去四个相同的小正方形,然后做成一个底面积为 1500cm2的没有盖子的长方体盒子,求截去的小正方形的边长；错解：设截去的小正方形的边长为 xcm,由题意,得 80 2 60 2 1500整理,得 x 270 x 825 0解得 x 1 55, x 2 15所以截去的小正方形的边长为 55cm或15cm. 剖析：忽视了所截小正方形的边长和长方形盒子的长、宽都应为正数的实际限制条件,即x 080 2 x 060 2 x 0解得 0 x 30 . 正解：设截去的小正方形的边长为 xcm . 由题意,得 80 2 60 2 1500 . 整理,得 x 270 x 825 0解得 x 1 55, x 2 15 . 当 x 55 时, 80 2 x 0,60 2 x 0,不符合题意,应舍去；当 x 15 时,80 2 x 0,60 2 x 0,符合题意,所以 x 15；所以截去的小正方形的边长为 15cm. 通过以上几例错解剖析,提示同学们在把握一元二次方程有关基本学问、基本技能和基本解题思路的同时,要留意挖掘题目中的隐含条件,并对所解答案进行分析,并判定其合理性,学会数学反思,同时要留意分类争论、整体、转化、等数学思想在解题中的合理运用；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载中 考 体 验一、挑选题1以下方程中是关于 x的一元二次方程的是A2 x10Bax2bxc003 m20有一根为 0,就m的x2Cx1x21D3x22xy5y22. 如关于 x的一元二次方程m1x25xm2值等于（）D0 中,c0,该方程的解的情形是 : A1 B2 C1或2 3. 关于 x 的一元二次方程x24xc0A没有实数根B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D不能确定 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 4. 已知 3是关于 x的方程 x 25xc0的一个根, 就这个方程的另一个根是 （）A.2 B. 2 C. 5 D. 6 5.用配方法解方程3x26x10,就方程可变形为（）Ax321B3x2 11336.设 a,b是方程x2x20220的两个实数根,就a22ab 的值为（）A2006 B2007 C2022 D2022 7. 方程x29x180的两根分别是是等腰三角形的底和腰, 就这个三角形的周长为（）A12 B12或15 C15 D不能确定8已知关于 x 的一元二次方程 a1x 22x+1=0有两个不相等的实数根 ,就a的取值范畴是 A.a<2 B,a>2 C.a<2且a 1 D.a<2 9.某商品原售价 289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,就下面所列方程中正确选项 A. 289 1x2256B. 256 1x2289C. 2891-2x=256 D.2561-2x=289 10. 已知一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的两个实数根 x1,x 2满意 x1+x2=4和x1.x 2=3,那么二次函数 ax 2+bx+c（a0）的图象有可能是（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A、学习必备欢迎下载B、C、D、二、填空11.如 1x ,x 是方程 x 2x 1 0 的两个根,就 x 1 2x 2 2=_12.已知O 1 和O 2 的半径分别是一元二次方程 x 1 x 2 0 的两根,且O O 2 2,就O 1 和O 2 的位置关系是13.已知 a、b是一元二次方程 x 22x1=0的两个实数根,就代数式（ab）（ab2） ab的值等于 _. 2 214. 设关于 x 的方程 x 2 k 1 x k 3 0 的两根 x1、x2 满意2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 4,就 k 的值是 . . 15 .如右图,已知线段 AB的长为 a,以 AB为边在 AB 的下方作正方形 ACDB 取 AB边上一点 E,以 AE为边在 AB的上方作正方形 AENM 过E作EF丄CD,垂足为 F点如正方形 AENM 与四边形 EFDB的面积相等,就AE的长为三、解答题16. 解方程（1）x 24x1=0 （2）3x423x4 第 9 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载17、已知关于 x的方程 x 22（k1）x+k2=0有两个实数根 x1,x2.（1）求 k的取值范畴；（2）如x 1x 2yx x 21,求 k的值 . 相交于点 A（x ,y ）和点 B（x ,y ）,18.已知双曲线3 和直线 xykx2且 x 1 2 x 2 2 10 ,求 k 的值 . 19. 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速进展,汽车已越来越多的进入一般家庭,成为居民消费新的增长点；据某市交通部门统计,2022年底全市汽车 拥有量为 15万辆,而截止到 2022年底,全市的汽车拥有量已达 21.6万辆；求2022年底至 2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了爱护环境,缓解汽车拥堵状况,从 汽车总量, 要求到 2022年底全市汽车拥有量不超过2022年起,该市交通部门拟掌握 23.196万辆；另据估量, 该市从2022年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%；假定在这种情形下每年新增汽车数量相同, 请你运算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆；20.某商场试销一种成本为每件 60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发觉,销售量 y （件）与销售单价 x （元）符合一次函数ykxb ,且x65时,y55；x75时,y45（1）求一次函数 ykxb 的表达式；（2）如该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价x之间的关系式； 销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元？ 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - （3）如该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x 的范畴细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -