2022年二次函数与圆的综合.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数与圆的综合25（ 2022.济南）如图 1,抛物线 y=ax +bx+3 与 x 轴相交于点 A （ 3,0）,B（ 1,0）,与 y 轴相交于点 C, O1 为 ABC 的外接圆,交抛物线于另一点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求 cosCAB 的值和 O1 的半径；（3）如图 2,抛物线的顶点为 P,连接 BP,CP,BD ,M 为弦 BD 中点,如点 N 在坐标平面内,满意 BMN BPC,请直接写出全部符合条件的点 N 的坐标考点 ：二 次函数综合题分析：（ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（ 2）如答图 1 所示,由 AOC 为等腰直角三角形,确定CAB=45 °,从而求出其三角函数值；由圆周角定理,确定 BO1C 为等腰直角三角形,从而求出半径的长度；（ 3）如答图 2 所示,第一利用圆及抛物线的对称性求出点 D 坐标,进而求出点 M 的坐标和线段 BM 的长度；点 B、P、C 的坐标已知,求出线段 BP、 BC、PC 的长度；然后利用 BMN BPC 相像三角形比例线段关系,求出线段 BN 和 MN 的长度；最终利用两点间的距离公式,列出方程组,求出点 N 的坐标解答：解 ：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A （ 3,0）,B（1,0）,解得 a=1,b=4,2抛物线的解析式为：y=x +4x+3 （ 2）由（ 1）知,抛物线解析式为：y=x2+4x+3 ,令 x=0,得 y=3 , C（0,3）, OC=OA=3 ,就 AOC 为等腰直角三角形, CAB=45 °,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - cosCAB=精品资料欢迎下载在 Rt BOC 中,由勾股定理得：BC=如答图 1 所示,连接O1B、O1C,由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90 °, BO1C 为等腰直角三角形, O1 的半径 O1B=BC=x= 2x= 2 对称（ 3）抛物线 y=x2 +4x+3= （x+2）2 1,顶点 P 坐标为（2, 1）,对称轴为又 A（ 3,0）,B（ 1,0）,可知点A 、B 关于对称轴如答图 2 所示,由圆及抛物线的对称性可知：点 D（4, 3）又点 M 为 BD 中点, B（ 1,0）, M （,）,D、点 C（0,3）关于对称轴对称, BM=；在 BPC 中, B（ 1,0）, P（ 2, 1）,C（ 0,3）,由两点间的距离公式得：BP=,BC=,PC= BMN BPC,即,解得： BN=, MN=设 N（x, y）,由两点间的距离公式可得：,解之得,点 N 的坐标为（,）或（,）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载点评：本 题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相像三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要学问点,涉及的考点较多,试题难度较大难点在于第（ 3）问,需要仔细分析题意,确定符合条件的点N 有两个,并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系,最终正确求得点N 的坐标y6（ 2022.遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3 （a0）经过 A（3,0）,B（4,1）两点,且与轴交于点 Cy=ax2+bx+3 （a0）的函数关系式及点C 的坐标；（1）求抛物线（2）如图（ 1）,连接 AB ,在题（ 1）中的抛物线上是否存在点P,使 PAB 是以 AB 为直名师归纳总结 角边的直角三角形？如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由；A、E、O 三第 3 页,共 13 页（3）如图（ 2）,连接 AC ,E 为线段 AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过点的圆交直线AB 于点 F,当 OEF 的面积取得最小值时,求点E 的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载考点 ：二 次函数综合题分析：（ 1）依据 A（3, 0）,B（4,1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（ 2）从当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PAB=90 °与当 PAB 是以 AB为直角边的直角三角形,且PBA=90 °,分别求出符合要求的答案；（ 3）依据当 OE AB 时, FEO 面积最小,得出 OM=ME ,求出即可解答：解 ：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 （a0）经过 A（3,0）,B（4,1）两点,解得：, y=x2x+3 ；点 C 的坐标为：（0,3）；（ 2）假设存在,分两种情形： 当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PAB=90 °,如图 1,过点 B 作 BM x 轴于点 M , A（ 3,0）,B（ 4,1）, AM=BM=1 , BAM=45 °, DAO=45 °, AO=DO , A 点坐标为（ 3,0）, D 点的坐标为： （0,3）,直线 AD 解析式为： y=kx+b ,将 A,D 分别代入得： 0=3k+b,b=3, k= 1, y= x+3, y=x2x+3= x+3, x 2 3x=0,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解得： x=0 或 3, y=3, y=0（不合题意舍去） , P 点坐标为（ 0,3）,点 P、C、D 重合, 当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PBA=90 °,如图 2,过点 B 作 BFy 轴于点 F,由（ 1）得, FB=4, FBA=45 °, DBF=45 °, DF=4, D 点坐标为：（0,5）,B 点坐标为：（4,1）,直线 BD 解析式为： y=kx+b ,将 B,D 分别代入得： 1=4k+b,b=5, k= 1, y= x+5, y=x2x+3= x+5, x2 3x 4=0,解得： x1= 1,x2=4（舍）, y=6, P 点坐标为（1,6）,点 P 的坐标为：（ 1,6）,（0,3）；（ 3）如图 3：作 EM AO 于 M ,直线 AB 的解析式为： y=x 3, tanOAC=1 , OAC=45 °, OAC= OAF=45 °, ACAF , S FEO= OE×OF,OE 最小时 S FEO最小, OEAC 时 OE 最小, ACAF OE AF EOM=45 °, MO=EM , E 在直线 CA 上, E 点坐标为（ x, x+3 ）, x= x+3,名师归纳总结 解得： x=,）第 5 页,共 13 页 E 点坐标为（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载点评：此 题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式,二次函数的综合应用是中学阶段的重点题型特殊留意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点把握7（ 2022.襄阳）如图,在平面直角坐标系xoy 中,AB 在 x 轴上, AB=10 ,以 AB 为直径的O'与 y 轴正半轴交于点 C,连接 BC,AC CD 是 O'的切线,AD 丄 CD 于点 D,tan CAD=,抛物线 y=ax2+bx+c 过 A, B,C 三点（1）求证： CAD= CAB ；（2） 求抛物线的解析式； 判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形？如存在,直接写出点 P 的坐标（不写求解过程） ；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载考点 ：二 次函数综合题分析：（ 1）连接 OC,由 CD 是 O 的切线,可得OCCD,就可证得OC AD ,又由OA=O C,就可证得 CAD= CAB ；（ 2） 第一证得 CAO BCO ,依据相像三角形的对应边成比例,可得OC2=OA .OB ,又由 tanCAO=tan CAD=,就可求得CO,AO , BO 的长,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； 第一证得 FOC FAD,由相像三角形的对应边成比例,即可得到 F 的坐标,求得直线 DC 的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（ 3）依据题意分别从 PA BC 与 PB AC 去分析求解即可求得答案,当心不要漏解解答：（ 1）证明：连接 OC, CD 是 O 的切线, OC CD, AD CD, OC AD , OCA= CAD , OA=O C, CAB= OCA , CAD= CAB ；（ 2）解： AB 是 O的直径, ACB=90 °, OCAB , CAB= OCB, CAO BCO,即 OC2 =OA .OB, tanCAO=tan CAD= AO=2CO ,又 AB=10 , OC2=2CO （10 2CO）, CO0,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 CO=4,AO=8 , BO=2, A（8, 0）,B（2,0）,C（ 0,4）,抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A,B,C 三点, c=4,由题意得：,解得：抛物线的解析式为：y=x2x+4 ； 设直线 DC 交 x 轴于点 F, AOC ADC , AD=AO=8 , OC AD , FOC FAD, 8（BF+5 ）=5（BF+10 ）, BF=, F（,0）；设直线 DC 的解析式为 y=kx+m ,就,解得：,直线 DC 的解析式为y=x+4 ,3,）,由 y=x2x+4= （x+3）2+得顶点 E 的坐标为（将 E（ 3,）代入直线DC 的解析式 y=x+4 中,右边 =×（ 3）+4=左边,抛物线顶点E 在直线 CD 上；（ 3）存在, P1（ 10, 6）,P2（10,36） A（ 8,0）,C（0,4）,名师归纳总结 过 A、C 两点的直线解析式为y=x+4 ,第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载设过点 B 且与直线 AC 平行的直线解析式为：y= x+b,把 B（2,0）代入得 b= 1,直线 PB 的解析式为y=x 1,（舍去）,解得 P1（ 10, 6） 求 P2的方法应为过点 A 作与 BC 平行的直线,可求出 BC 解析式,进而求出与之平行的直线的解析式,与求 P1 同法,可求出x1= 8,y1=0（舍去）；x2=10,y2= 36 P2 的坐标（ 10, 36）点评：此 题考查了待定系数法求函数的解析式,相像三角形的判定与性质,点与函数的关系,直角梯形等学问此题综合性很强,难度较大,解题的关键是留意数形结合与方程思想的应用8（ 2022.潍坊）如图, y 关于 x 的二次函数 y=（x+m）（x 3m）图象的顶点为 M ,图象交 x 轴于 A 、B 两点,交 y 轴正半轴于 D 点以 AB 为直径作圆,圆心为 C定点 E的坐标为（3,0）,连接 ED（m0）（1）写出 A 、B、 D 三点的坐标；（2）当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当 m 变化时,用m 表示 AED 的面积 S,并在给出的直角坐标系中画出S 关于 m 的函数图象的示意图名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载考点 ：二 次函数综合题专题 ：压 轴题；分类争论分析：（ 1）依据 x 轴, y 轴上点的坐标特点代入即可求出A、B、D 三点的坐标；（ 2）待定系数法先求出直线 ED 的解析式,再依据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（ 3）分当 0m3 时,当 m3 时两种情形争论求得关于 m 的函数解答：解：（1）令 y=0,就（x+m）（ x 3m）=0,解得 x1= m, x2=3m；令 x=0 ,就 y= （ 0+m）（0 3m）= m故 A（ m,0）,B（3m,0）,D（0,m）（ 2）设直线 ED 的解析式为 y=kx+b ,将 E（ 3,0）,D（0,m）代入得：解得, k=,b= m直线 ED 的解析式为y=mx+my=mx+（ x m）2+m将 y=（x+m）（x 3m）化为顶点式：顶点 M 的坐标为（ m,m）代入 y=m 得： m2=m m 0, m=1所以,当 m=1 时, M 点在直线 DE 上连接 CD ,C 为 AB 中点, C 点坐标为 C（m,0） OD=,OC=1 ,2+OE2=12, CD=2,D 点在圆上又 OE=3,DE2=OD2 2 EC =16,CD =4, CD 2 +DE 2 =EC 2 EDC=90 °直线 ED 与 C 相切（ 3）当 0 m 3 时, S AED = AE.OD= m（3 m）S=m 2+ m当 m3 时, S AED= AE .OD= m（m 3）2_ 即 S= m mS 关于 m 的函数图象的示意图如右：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载点评：本 题是二次函数的综合题型,其中涉及的学问点有x 轴, y 轴上点的坐标特点,抛物线解析式的确定,抛物线的顶点公式和三角形的面积求法留意分析题意分情形争论 结果9（2022.邵阳） 如下列图, 在平面直角坐标系Oxy 中,已知点 A（,0）,点 C（0,3）,C点 B 是 x 轴上一点（位于点A 的右侧）,以 AB 为直径的圆恰好经过点（1）求 ACB 的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3 经过 A、B 两点,求抛物线的解析式；（3）线段 BC 上是否存在点D,使 BOD 为等腰三角形？如存在,就求出全部符合条件的点 D 的坐标；如不存在,请说明理由考点 ：二 次函数综合题专题 ：综 合题分析：（ 1）依据直径所对的圆周角是直角可以得到ACB 的度数（ 2）利用三角形相像求出点 B 的坐标,然后把 A,B 两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式（ 3）分别以 OB 为底边和腰求出等腰三角形中点 D 的坐标解答：解 ：（1）以 AB 为直径的圆恰好经过 点 C, ACB=90 °（ 2） AOC COB , OC2=AO .OB,名师归纳总结 A（,0）,点 C（ 0,3）,第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,OC=3 ,精品资料欢迎下载又 CO2=AO .OB, OB=4, B（4,0）把 A 、B、 C 三点坐标代入得（ 3） OD=DB ,如图：D 在 OB 的中垂线上,过DH=, D BD=BO ,如图：D 作 DH OB,垂足是 H,就 H 是 OB 中点过 D 作 DG OB ,垂足是 G,=, OB=4,CB=5, CD=BC BD=BC OB=5 4=1,名师归纳总结 =,第 12 页,共 13 页=,= OG=,DG=, D（,）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载点评：本 题考查的是二次函数的综合题,（1）依据圆周角的性质求出角的度数（ 2）用待定名师归纳总结 系数法求出抛物线的解析式（3）依据等腰三角形的性质确定点D 的坐标第 13 页,共 13 页- - - - - - -