2022年完整word版,西安交通大学线性代数期末考试试题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 西 安 交 通 大 学 考 试 题课程线性代数与空间解析几何（A）卷成学院考 试 日 期绩专业班号2022 年 1 月 15 日姓名学号期末题 号一二三四五六七八得分一、单项挑选题 每道题 5 分,共 15 分 1.设 A 为三阶方阵 ,将 A 的第 2 行加到第 1 行得矩阵 B,再将 B 的第 1 列的110CT PAP . 【】1倍加到第 2 列得矩阵 C,记矩阵P010, 就001A CP1AP . B CPAP1. C CT P AP. D 2. 设有线性方程组 I : AXO , II:T A AXO ,就A II 的解是 I的解, I的解也是 II 的解 ; B II 的解是 I的解,但 I 的解不是 II 的解; C I的解不是 II 的解, II 的解也不是 I的解 ; D I 的解是 II 的解,但 II 的解不是 I 的解;. 【】3 如 n 阶方阵 A 相像于对角阵,就【】A A 有 n 个不同的特点值 ; B A 为实对称阵 ; C A 有 n 个线性无关的特点向量 ; D r An. 二、填空题 每道题 5 分,共 15 分 名师归纳总结 1. 设. 2 是可逆矩阵A 的一个特点值,就矩阵12 A1的一个特点值第 1 页,共 6 页3为2. 矩阵B20,就二次型f x T x Bx 的矩阵为.10共 4 页第 1 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13. 已 知1,2,3是 四 元 方 程 组AXb 的 三 个 解 , 其 中r A3且234, 4,4, 4T ,就方程组 AXb 的通解为2T 1,2,3, 4 ,三、12 分 证明两直线l1:xyz4,l2:xyz 异面；求两直线间的距离；并求与l l 都垂直且相交的直线方程；四、12 分线性方程组11x 13.并在有无穷多解时 , 11x 2211x 32争论取何值时,该方程组有唯独解、无解、有无穷多解求出该方程组的结构式通解. 共 4 页第 2 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、12 分. 已知二次曲面方程x2ay22 z2bxy2xz2yz4可经过正交变换xx'化为柱面方程y2 '4 '24,求a b 的值及正交矩阵 P. yP y'101zz'六、12 分 设A020,矩阵 X 满意AXI2 AX ,其中 I 为三阶单位矩阵,求矩阵X.101共 4 页第 3 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 七、12 分 留意 :学习过第 8 章“ 线性变换” 者做第 2题,其余同学做第 1题 1123b bF4,方程组Ax =b有解1 矩阵A1301,线性空间V01111432T 1,0, 1 ,30,1,1 T 下的矩求 V 的基与维数 . 2 设TL R , T 在R 的基 31T 1,1,1 ,21012T 0,1,0 ,30,0,1T 下的阵为A110,求 T 在基1T 1,0,0 ,121矩阵 .八、10 分设1,2,L,n是 n 维列向量组,矩阵试证明1,2,L,nT1T2LTb111nAT1T2LT222nMMOMT1T2LTnnnn线性无关的充要条件是对任意n维列向量 b ,方程组 AX均有解；西安交通高校本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：线性代数与几何（A） 课时： 48 考试时间： 2022 年 1 月 15 日共 4 页 第 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一.单项题（ 5 分3=15 分） 1.B 2. A 3. C 名师归纳总结 - - - - - - -二.填空题（ 5 分3=15 分） 1. 32.2121403. k3,2,1,0TT 2, 2,2,2 ,k为任意常数2三.（12 分）a 11,1,1 T,a 21,1,1 T取点P 10 ,0 ,4 l1,点P 200,0,l2,P 1P 2 0 0, ,4 混合积a 1,a 2,P 1P 2a v180,故 l l 异面uuuura v2 PP 2 |2 2 8 2 21l 与2l 的距离d|a v2a v1公垂线 l 的方向向量l/0,1,1含l,l1的平面方程为2x01y01z40含,l l 的平面方程为2x01y01z00故公垂线 l 的方程为 : 2 xyz402 xyz0.113112四.（12 分）A1120110112002 131当2 且1时,rArA3方程组有唯独解当2 时,rA2 ,rA3方程组无解 1112当1 时,A0000, r AA13方程组有无穷多解,取一个0000特解20,0,T,易得导出组的一个基础解系为:1T 1,1,0 ,2T 1,0,1 , 故结构式通解为xc 11c 22,c 1c2为任意常数1b10五.记Aba1,D1,有P1APPTAPD,10,2,134. 1114014|1|a121,故a3 b1014Ab对10,解0IA x0,得属于1的特点向量 0,1,1 T；对21,解 1IA x0,得属于2的特点向量 ,11,1T；共 4 页第 5 页第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对34,解4IA x0,得属于3的特点向量1,1,1 T. 将上述 3 个特点向量再正交化,单位化,得正交矩阵1 1 12 3 61 2P 03 61 1 12 3 6六、（12 分）由题知 A I X A 2I A I A I ,0 0 1A I 0 1 0 可逆 1 0 02 0 11故 X A I A I A I A I 0 3 01 0 2七、（12 分） 1. W 的基与维数为 A 的列向量组的极大无关组和秩 . 记 A 1 2 3 4 ,可运算出 A的极大无关组为 1 , 2 , 3,故 W 的基为 1 , 2 , 3,维数为 3 2. 基 1 , 2 , 3 到 1 , 2 , 3 的过渡矩阵记为 P1 0 0 1 1 0即 0 1 0 1 0 1 P 0 0 1 1 1 11 1 21就 T 在 1 , 2 , 3 下的矩阵为 PAP 2 2 0 3 0 2八.（10 分） 记 D 1 , 2 , L n 由 1 , n 线性无关知 | D | 0 而 A | D D T| | D | 20,即 A 可逆, 故对任意 n1维列向量 b ,方程组 AX b 均有解 X A b ； 分别取 b 1 , 2 , L n , 由方程组 AX b 均有解知,1 , 2 , L n 与 A 的列向量组等价 ,故 n ,从而 A | D D T| | D | 20 ,得 | D | 0 故 1 , n 线性无关共 4 页 第 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
