2022年届高三年级数学二轮复习_数列专题与答案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑2022 届高三其次轮复习数列第 1 讲等差、等比考点【高 考 感 悟】从近三年高考看,高考命题热点考向可能为：考什么怎么考题型与难度1.等差 比 数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基题型：三种题型均可显现本量的求解难度：基础题2.等差 比数列的判定与证明主要考查等差、等比数列的定题型：三种题型均可显现义证明难度：基础题或中档题3.等差 比数列的性质主要考查等差、等比数列的性题型：挑选题或填空题质难度：基础题或中档题1必记公式1等差数列通项公式：ana1 n 1d. na1n（n1）d 2 . 2等差数列前n 项和公式： Snn（a1 an）23等比数列通项公式：ana1qn1. 4等比数列前n 项和公式：na1（q1）Sna1（ 1qn）a1 anq（q 1）. 1qS1（ n1）. 1q5等差中项公式：2anan1an1n26等比中项公式：a 2nan1·an1n27数列 an的前 n 项和与通项an 之间的关系： anSn Sn1（n2）2重要性质1通项公式的推广：等差数列中,anamn md；等比数列中,anamq nm. 2增减性：等差数列中,如公差大于零,就数列为递增数列；如公差小于零,就数列为递减数列等比数列中,如a10 且 q1 或 a10 且 0q1,就数列为递增数列；如a10 且 0 q1 或 a10 且 q 1,就数列为递减数列3易错提示1忽视等比数列的条件：判定一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件2漏掉等比中项：正数a,b 的等比中项是 ±ab,简单漏掉ab.专业学问整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑【 真 题 体 验 】12022 ·新课标 高考 已知 an 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 an 的前 n 项和如 S84S4,就 a10 A.17 2 B. 192 C10 D12 22022 ·新课标 高考 已知等比数列 an 满意 a11 4,a3a54a41,就 a2 A 2 B1 C.1 2 D.1 832022 ·浙江高考 已知 an 是等差数列,公差 d 不为零如 a2,a3,a7 成等比数列,且 2a1a21,就 a1_,d_42022 ·全国卷 1已知a n是公差为 3 的等差数列,数列b n满意b 1= 1,b 2=1,a b n1b n1nb n,. 3（I）求a n的通项公式； （II）求nb的前 n 项和 . 【考 点 突 破 】考点一、 等差（比）的基本运算12022 ·湖南高考 设 Sn 为等比数列 an的前 n 项和,如 a11,且 3S1,2S2,S3 成等差数列, 就 an_22022 ·重庆高考 已知等差数列 an满意 a32,前 3 项和 S39 2. 1求 an的通项公式；2设等比数列 bn 满意 b1a1, b4a15,求 bn 的前 n 项和 Tn. 专业学问 整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑考点二、 等差（比）的证明与判定【典例 1】 2022 ·全国 1 记 Sn 为等比数列 a n 的前 n 项和,已知 S2=2,S3=- 6. （1）求 a n 的通项公式；（2）求 Sn,并判定 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列；. 【规律感悟】判定和证明数列是等差比数列的三种方法1定义法：对于n 1 的任意自然数,验证an1an或an1 an为同一常数2通项公式法：如 ana1 n1damnmd 或 anknbnN *,就 an 为等差数列；如 ana1q n1amq nm 或 anpq knbnN*,就 an为等比数列3中项公式法：如 2anan 1an1nN*,n2,就 an为等差数列；如 a2nan1·an1nN *,n2,且 an 0,就 an为等比数列变式： 2022·全国大纲高考 数列 an 满意 a11,a22,an22an 1an2. 1设 bn an1an,证明 bn是等差数列； 2求 an 的通项公式考点三、 等差（比）数列的性质命题角度一与等差 比 数列的项有关的性质 第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - 【典例 2】12022 ·新课标 高考 已知等比数列 an 满意 a13,a1a3a521,就 a3a5a7A21B42C63D84 22022·铜陵模拟 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S1012,就 a5a6 A.12B12 C6 D.655专业学问整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑命题角度二 与等差 比数列的和有关的性质【典例 3】12022 ·全国大纲高考 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.如 S23,S415,就 S6 A31 B32C63 D64 22022 ·衡水中学二调 等差数列 an 中, 3a3a52a7a10a1324,就该数列前 13 项的和是 A13 B26 C52 D156 针对训练 1在等差数列 an 中,如 a3a4a5a6a725,就 a2a8_2在等比数列 an 中, a4· a816,就 a4· a5·a7· a8 的值为 _3如等比数列 an 的各项均为正数, 且 a10a11a9a122e 5,就 ln a1ln a2 ln a20_【巩 固 训 练 】一、挑选题12022 ·新课标 高考 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和如 a1a3a53,就 S5 A5B7C9D11 22022 ·福建高考 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,如 a12,S312,就 a6 等于A8 B10 C12 D14 32022 ·重庆高考 对任意等比数列 an ,以下说法肯定正确选项 Aa1,a3,a9成等比数列 Ca2,a4,a8 成等比数列Ba2,a3,a6 成等比数列 Da3,a6,a9 成等比数列42022 ·天津高考 设 an 是首项为 a1,公差为 1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和如 S1,S2,S4 成等比数列,就 a1 A2 B 2 C.1 2 D1 252022 ·辽宁大连模拟 数列 an 满意 anan1an· an1nNb2 b990,就 b4·b6 *,数列 bn 满意 bn1 an,且 b1A最大值为 99 B为定值 99 C最大值为 100 D最大值为 200 专业学问 整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑二、填空题62022 ·陕西高考 中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,就该数列的首项为 _72022 ·安徽高考 已知数列 an 是递增的等比数列,a1a49, a2a38,就数列 an 的前 n 项和等于_82022 ·江西高考 在等差数列 an 中,a17,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n8 时 Sn 取得最大值,就 d 的取值范畴为 _三、解答题9文2022 ·兰州模拟 在等比数列 an 中,已知 a12,a4 16. 1求数列 an 的通项公式；2如 a3, a5 分别为等差数列 bn 的第 3 项和第 5 项,试求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 10、 2022 ·湖北高考 已知等差数列 an 满意： a12,且 a1,a2, a5 成等比数列1求数列 an的通项公式；2记 Sn为数列 an 的前 n 项和,是否存在正整数n,使得 Sn60n 800？如存在,求n 的最小值；如不存在,说明理由11 2022 ·江苏高考 设 a1,a2,a3,a4 是各项为正数且公差为 1证明： 2a1,2a2,2a3,2a4 依次构成等比数列；dd 0的等差数列2是否存在 a1,d,使得 a1,a 22,a 33, a 44依次构成等比数列？并说明理由专业学问 整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑第 2 讲 数列求和（通项）及其综合应用【高 考 感 悟】从近三年高考看,高考命题热点考向可能为：考什么怎么考题型与难度1.数列的通项考查等差、等比数列的基本量的求解；题型：三种题型均可显现公式考查 an 与 Sn 的关系,递推关系等难度：基础题或中档题2.数列的前 n考查等差、等比数列前n 项和公式；题型： 三种题型均可显现,更多考查用裂项相消法、错位相减法、分解为解答题项和组合法求和 . 难度：中档题3.数列的综合证明数列为等差或者等比；题型：解答题应用考查数列与不等式的综合. 难度：中档题【 真 题 体 验 】12022 ·北京高考 设 an 是等差数列,以下结论中正确选项 A如 a1a20,就 a2a30 B如 a1a30,就 a1a20 C如 0a1a2,就 a2a1a3 D如 a10,就 a2a1a2a30 22022 ·武汉模拟 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a55,S515,就数列 1 anan1 的前100 项和为 A.100 101B. 99 101C. 99 100D.101 10032022 ·福建高考 等差数列 an 中, a24,a4a715. 1求数列 an 的通项公式；2设 bn2an2n,求 b1b2b3 b10的值专业学问 整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑【考 点 突 破 】考点一、数列的通项公式【规律感悟】求通项的常用方法1归纳猜想法：已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采纳归纳猜想法2已知 Sn 与 an 的关系,利用 3累加法：数列递推关系形如anS1,n1,求 an.SnSn1,n2an1anfn,其中数列 fn 前 n 项和可求,这种类型的数列求通项公式an1gnan,其中数列 gn 前 n 项积可求,此数列求通项公式一般采纳累乘时,常用累加法叠加法 4累乘法：数列递推关系如法叠乘法 5构造法： 递推关系形如an1 panqp,q 为常数 可化为 an1q p1p anq p1 p 1的形式,利用anq p1是以 p 为公比的等比数列求解递推关系形如an 1pan anpp 为非零常数 可化为an1 1 an1 p的形式12022 ·新课标高考 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 a1 1,an1SnSn1,就 Sn_22022 ·铜陵模拟 数列 an 满意1 3a11 3 2a2 1 3 nan3n1,n N*,就 an_3如数列 an 满意 a13,an1考点二、 数列的前 n 项和【规律感悟】1.分组求和的常见方法1依据等差、等比数列分组2依据正号、负号分组5an13 3an7,就 a2 015 的值为 _3依据数列的周期性分组（2n 1）（ 2n1） 1 2 2n1 11 2n12裂项后相消的规律常用的拆项公式其中 nN* 11 n1 n 1. 11 k1 n1 nk . n（ n1）n（nk）3错位相减法的关注点 1适用题型：等差数列 an 乘以等比数列 bn对应项 an· bn 型数列求和2步骤：求和时先乘以数列 4倒序求和；bn 的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式命题角度一基本数列求和、分组求和 第 7 页,共 20 页 细心整理归纳 精选学习资料 专业学问整理共享 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑【典例 1】2022·湖北八校联考 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,数列 bn是等比数列,满意a13,b11,b2 S210,a52b2a3. 1求数列 an和 bn的通项公式；2令 cn2 Sn,n为奇数,设数列 cn 的前 n 项和为 Tn,求 T2n. bn,n为偶数,命题角度二 裂项相消法求和【典例 2】2022·安徽高考 已知数列 an 是递增的等比数列,且a1a4 9,a2a38. 1求数列 an 的通项公式；2设 Sn 为数列 an的前 n 项和, bnan1,求数列 bn 的前 n 项和 Tn. SnSn1命题角度三错位相减法求和【典例 3】2022·天津高考 已知 an是各项均为正数的等比数列, bn是等差数列,且a1b11, b2b32a3,a53b27. 1求 an和 bn的通项公式；2设 cnanbn, nN *,求数列 cn 的前 n 项和专业学问 整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑针对训练 12022 ·湖南高考 已知数列 an 的前 n 项和 Snn2n,nN*. n 2n1. 21求数列 an 的通项公式；2设 bn2an1nan,求数列 bn 的前 2n 项和22022 ·山东高考 已知数列 an 是首项为正数的等差数列,数列an·1 an1的前 n 项和为1求数列 an 的通项公式；2设 bnan1 ·2an,求数列 bn的前 n 项和 Tn. .考点三、 数列的综合应用【典例 4】2022·陕西汉中质检 正项数列 an 的前 n 项和 Sn 满意： S 2 n n 2n1Snn 2n 0. 1求数列 an 的通项公式 an；n1 52令 bn（n2）2a n,数列 bn 的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 n N *,都有 Tn64. 变式：2022·辽宁大连模拟 数列 an 满意 an1an,a11. 2an1细心整理归纳 精选学习资料 专业学问整理共享 第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑1证明：数列 1 an 是等差数列； 2求数列 1 an 的前 n 项和 Sn,并证明S1 1 S2 1 Snn n1. 【巩 固 训 练 】一、挑选题12022 ·浙江高考 已知 an 是等差数列, 公差 d 不为零, 前 n 项和是 Sn.如 a3,a4,a8 成等比数列, 就 A a1d0,dS40 Ba1d0, dS40 Ca1d0,dS40 Da1d0,dS40 22022 ·保定调研 在数列 an 中,已知 a1 1,an12an1,就其通项公式为an A 2 n1 B2n11 C2n1 D 2n1 3猜测题 已知数列 an 满意 an11 2ana2n,且 a11 2,就该数列的前2 015 项的和等于 A.3 023B3 023 C1 512 D3 024 242022 ·长春质检 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1a2 1, nSnn 2an 为等差数列,就anA. n 2 n1B. n1 2 n11C.2n1 2 n1D.n1 252022 ·云南第一次统一检测在数列 an中, an 0,a11 2,假如 an1 是 1 与2anan11 4a 2n 的等比中项,那么a122 a3 32 a4 42 a100 1002的值是 A.100 99B.101 100C.100 101D. 99 100二、填空题细心整理归纳 精选学习资料 专业学问整理共享 第 10 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑62022 ·全国新课标 高考 数列 an满意 an11 1an, a82,就 a1_27如数列 nn4 3 n 中的最大项是第 k 项,就 k_182022 ·江苏高考 设数列 an 满意 a11,且 an1ann1nN *,就数列 an前 10 项的和为 _92022 ·福建高考 如 a,b 是函数 fx x 2 pxqp0,q0的两个不同的零点,且 a,b, 2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,就三、解答题pq 的值等于 _10 2022 ·湖北高考 设等差数列 an的公差为d,前 n 项和为 Sn,等比数列 bn 的公比为q.已知 b1 a1,b22,qd, S10100. 1 求数列 an , bn 的通项公式；2 当 d>1 时,记 cnan bn,求数列 cn的前 n 项和 Tn. 11 2022 ·山东高考 已知等差数列 an 的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列1求数列 an 的通项公式；2令 bn 1 n1 an an1,求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 4n专业学问 整理共享细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑2022 届高三其次轮复习数列答案【 真 题 体 验 】 （第 1 讲等差、等比考点）1【解析】设等差数列 an 的首项为 a1,公差为 d.由题设知 d1,S8 4S4,所以 8a12844a16,解得 a11 2,所以 a101 2 919 2 .应选 B. 2【解析】设等比数列 an的公比为 q,a11 4, a3a54a41,由题可知 q 1,就 a1q2× a1q 44a1q31 ,1 16× q641 4× q31,q616q3 640,q3820, q38, q2,a212.应选 C.33【解析】由 a2,a3,a7 成等比数列,得 a 23a2a7,就 2d 2 3a1d,即 d2a1.又 2a1a21,所以 a12 3,d 1.【答案】23 1 3 14【解】1an 3n1 2 b n2 2 3 n 1考点一、 等差（比）的基本运算1【解析】此题考查等比数列和等差数列等,结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比,进而求解等比数列的通项公式由 3S1,2S2,S3 成等差数列,得 4S23S1S3,即 3S23S1S3S2,就 3a2a3,得公比 q 3,所以 ana1q n13n1.【答案】3 n12【解】此题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前 n 项和公式,考查考生的运算求解才能1将已知条件中的 a3, S3 用首项 a1 与公差 d 表示,求得 a1, d,即可求得数列 an的通项公式； 2结合1 利用条件 b1a1,b4a15 求得公比,然后利用等比数列的前1设 an的公差为 d,就由已知条件得3× 2 9a12d2,3a12 d2,3即 a12d2,a1d2,1解得 a11,d2,n1 n1故通项公式为 an12,即 an2 .1512由1 得 b11,b4a1528.设bn 的公比为 q,就 q 3b4 b18,从而 q2,故bn 的前 n 项和Tnb1（1q1q n）1× （1212 n）2n1考点二、 等差（比）的证明与判定【典例 1】 解：（ 1）设 an的公比为 q ,由题设可得n 项和公式进行运算a 11q 2,6.解得q2,a 12故 an的通项公式为an 2n 第 12 页,共 20 页 a 21qq2细心整理归纳 精选学习资料 专业学问整理共享 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑（2）由（ 1）可得S na 11qn2n 12n12n 12n12S , 故S n1,S n,S n2成等差数列1q33由于S n2S n14 1nn 233n 222333变式 【解】1证明：由 an 22an 1an2 得an2an 1an1an2,即 bn1bn2.又 b1a2a11,所以 bn 是首项为 1,公差为 2 的等差数列2由1 得 bn12n1,即 an1an2n1.于是,所以 an1a1n 2,即 an1n 2a1.又 a11,所以 an的通项公式为 an n 22n2. 考点三、 等差（比）数列的性质命题角度一 与等差 比 数列的项有关的性质【解析】1此题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质,意在考查考生的运算求解才能由于 a11q2q421,a13,所以 q4q26 0,所以 q22q2 3 舍去 ,a3a5a7q 2a1a3 a52× 2142.应选 B.2此题主要考查等差数列的性质 am anap aq.由 S10 12 得 a1a102× 1012,12 12所以 a1a105,所以 a5a65 .应选 A.命题角度二 与等差 比数列的和有关的性质【解析】（1）在等比数列 an中, S2, S4S2,S6S4 也成等比数列,故 S4 S2 2S2S6S4,就 153 23 S615解得 S663.应选 C.2 3a3 a5 2a7 a10 a13 24 , 6a4 6a10 24 , a4 a10 4 , S13 13（ a1a13）213（ a4a10）13× 426.应选 B.2 2针对训练 1【解析】由 a3a4a5a6a725 得 5a525,所以 a55,故 a2a82a510.a11 10·ln e550. 2【解析】a4a5a7a8a4a8· a5a7a4a82 256.【答案】256 3【解析】a10a11a9a12 2e 5,a10·a11e 5,ln a1 ln a2 ln a2010lna10·【巩 固 训 练 】一、挑选题1【解析】数列 an 为等差数列, a1a3a53a3 3,a3 1,S55（a1a5）5× 2a3 25.【答案】2A 由题知 3a13× 2 2 d12, a12,解得 d2,又 a6a15d,a6 12.应选 C. a11 2.故2【解析】3【解析】由等比数列的性质得,a3·a9a26 0,因此 a3,a6,a9 肯定成等比数列应选D. 由题意知S 22S1·S4, 2a12× 1d2a14a14× 3 2 d,把 d 1 代入整理得4【解析】2细心整理归纳 精选学习资料 专业学问整理共享 第 13 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WORD 格式 .可编辑选 D. 5【解析】将 anaa1anan1 两边同时除以anan1 可得an1 11 an 1,即 bn1bn1,所以 bn 是公差为d1 的等差数列,其前9 项和为9（b1b9）90,所以 b1b920,将 b9b1 8db18,代入得b126,所以 b49,b6 11,所以 b4b6 99.应选 B.二、填空题6【解析】设等差数列的首项为a1,依据等差数列的性质可得,a12 0152× 1 010,解得 a15.【答案】5 a1a49,a1a49,7【解析】就 a1, a4 可以看作一元二次方程 x 29x8 0 的两根,故a2a38,a1a48,a11 a18,a1 1,或数列 an 是递增的等比数列,可得公比 q2,前 n 项和 Sn2 n1.a48 a41. a4 8.8【解析】等差数列的前 n 项和为 Sn,就 Snna1n（ n1）2 dd 2n2a1d 2nd 2n27d 2n,对称轴为d d27d,对称轴介于 7.5 与 8.5 之间,即 7.527d 8.5,解得 1d 7 8.【答案】1,7 8三、解答题9.【解】1设数列 an 的公比为 q, an 为等比数列,a4 a1q38, q 2, an 2× 2 n12n.2设数列 bn 的公差为 d,b3a32 3 8,b5a52532,且 bn 为等差数列,n（n 1）b5b3242d, d12, b1b32d 16, Sn 16n2× 126n222n.