2022年中考压轴题中的存在性问题及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C90,AC4cm,BC3cm,（山东青岛） 已知：如图（1）,在 RtACB中,点 P 由 B 动身沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 1cm/s ；点 Q 由 A 动身沿 AC 方向向点 C匀速运动,速度为 2cm/s；连接 PQ如设运动的时间为 t s（ 0 t 2）,解答以下问题：（1）当 t 为何值时, PQBC？（2）设AQP 的面积为 y （cm ）,求 y 与 t 之间的函数关系式；2（3）是否存在某一时刻 t ,使线段 PQ恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？如存在,求出此时 t 的值；如不存在,说明理由；（4）如图（ 2）,连接 PC ,并把PQC沿 QC 翻折,得到四边形PQP C ,那么是否存在某一时刻 t ,使四边形 PQP C 为菱形？如存在,求出此时菱形的边长；如不存在,说明理由P B B P A Q C A Q C 图（ 1）图（ 2）P【思路点拨 】（1）设 BP 为 t ,就 AQ = 2 t ,证 APQ ABC；（2）过点 P 作 PH AC于 H（3）构建方程模型,求t ；（4）过点 P 作 PMAC于,PNBC于 N,如四边形PQP C是菱形,那么构建方程模型后,能找到对应t 的值；（山东青岛） （1）在 Rt ABC中,ABBC2AC25,由题意知： AP = 5 t ,AQ = 2 t ,如 PQ BC,就 APQ ABC,AQAP ,AB2 t55t,t10AC47（2）过点 P 作 PHAC于 H APH ABC,名师归纳总结 PHAP ,ABPH55t ,tPH33t,第 1 页,共 45 页BC35y1AQPH12t333t23t2255（3）如 PQ把 ABC周长平分,就AP+AQ=BP+BC+CQ 5t2 tt342 t,解得：t1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 PQ把 ABC面积平分,就S学习必备欢迎下载即3 t 3t =35APQ1SABC,2 t =1 代入上面方程不成立,不存在这一时刻t ,使线段PQ把 Rt ACB的周长和面积同时平分P B （4）过点 P作 PMAC于,PNBC于 N,如四边形 PQP C是菱形,那么PQPCN PMAC于 M, QM=CMPNBC于 N,易知 PBN ABCPNBP,PNt,A 505图Q M C ACAB45PN4t, QMCM4t,554t4t2t4,解得：t1055964P 当t10时,四边形PQP C 是菱形9此时PM33t7,CM4 t 58,539在 Rt PMC中,PCPM2CM249,9819菱形 PQP C边长为505 9（山东德州） （1） MN BC, AMN =B, ANM C AMN ABC名师归纳总结 AMAN,即xAN第 2 页,共 45 页ABAC43 AN3 x4 S =SMNPSAMN1 3x x32 x （0 x 4）2 48（2）如图（ 2）,设直线 BC 与 O 相切于点 D,连结 AO,OD ,就 AO =OD =1 MN 2在 Rt ABC 中, BC AB2AC2=5A 由（ 1）知 AMN ABCM O N AMMN BC,即xMNB Q D 2）C AB45图（MN5 4x ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A OD 5x 过 M 点作 MQBC 于 Q,就 MQ OD 5x M O N 8 8P 在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中, B 是公共角,B C BMQ BCA图（1）BM QMBC AC5BM 58 x 25 x ,AB BM MA 25 x x 4 x96 3 24 24 49 当 x96 时, O 与直线 BC 相切49（3）随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,就 O 点为 AP 的中点 MN BC, AMN =B, AOM APCA AMO ABPAMAO1 AMMB 2B M 图P O N C ABAP2故以下分两种情形争论：（3） 当 0 x 2时,yS PMN3 x 28 当 x 2 时,y最大32 23.82 当 2 x 4 时,设 PM ,PN 分别交 BC 于 E, F 四边形 AMPN 是矩形,M O A N PN AM,PNAM x又 MN BC, 四边形 MBFN 是平行四边形B E P F C FN BM4x图（ 4）PFx4x2x4又 PEF ACB名师归纳总结 PF2SPEFSPEFx3x226x6第 3 页,共 45 页ABS2ABCySMNPSPEF32 x3229x2828- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 2 x 4 时,y9x26 x学习必备欢迎下载82269 8x83 当 x 8 时,满意 2 x 4,y最大 23综上所述,当 x 8 时, y 值最大,最大值是 23【学力训练 】1、（山东威海）如图,在梯形 ABCD中,AB CD,AB7,CD1,ADBC5点M,N分别在边 AD,BC上运动,并保持MN AB,MEAB,NFAB,垂足分别为 E,F（1）求梯形 ABCD的面积；M D C N （2）求四边形 MEFN面积的最大值（3）试判定四边形MEFN能否为正方形,如能,求出正方形 MEFN的面积；如不能,请说明理由A E F B 1、（山东威海） （1）分别过 D,C 两点作 DGAB 于点 G,CH AB 于点 H AB CD, DGCH, DG CH 四边形 DGHC 为矩形, GH CD 1 DGCH, ADBC, AGD BHC 90°,A D C N B AGD BHC （HL ）M F AGBHAB2GH7213E G H 在 Rt AGD 中, AG3,AD5, DG4S梯形ABCD17416M D C N 2（2） MN AB,MEAB,NFAB, MENF, ME NF 四边形 MEFN 为矩形 AB CD,ADBC,A E G H F B A B MENF, MEA NFB 90°, MEA NFB（AAS ） AE BF名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载设 AE x,就 EF72x A A, MEA DGA90°, MEA DGA AEME ME 4x8x724949 6AGDG3S 矩形MEFNMEEF4x72x3346当 x7 时, ME 47 4,四边形 3MEFN 面积的最大值为（3）能名师归纳总结 由（ 2）可知,设AEx,就 EF72x,ME4x8, D,E分别是C 第 5 页,共 45 页3如四边形 MEFN 为正方形,就ME EF即4x72x解,得x21310 EF72x7221144105 四边形 MEFN能为正方形,其面积为S正方形MEFN1421965252、（浙江温州市）如图,在 RtABC中,A90,AB6,AC边 AB,AC的中点, 点 P 从点 D 动身沿 DE 方向运动, 过点 P 作 PQBC 于 Q,过点 Q作 QRBA交 AC 于 R ,当点 Q 与点 C 重合时,点P 停止运动设BQx , QRy （ 1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；A （ 2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范畴）；D P R E （ 3）是否存在点P ,使PQR为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意要求的x 的值；如不存在,请说明理由B H Q （浙江温州市） （1）ARt,AB6,AC8,BC10点 D 为 AB 中点,BD1AB32DHBA90,BB BHDBAC,DHBD,DHBDAC3812ACBCBC105（2）QRAB,QRCA90- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CC ,RQC学习必备欢迎下载ABC,RQQC,y10x,3x6ABBC610即 y 关于 x 的函数关系式为：y5（3）存在,分三种情形：当 PQPR 时,过点 P 作 PMQR于 M ,就 QMRM A 1290 ,C290,D P R E C C C 31C 84,QM4,B 1 M 2 cos 1cos CH Q 105QP513 5x64,x18D A P E R 21255当 PQ5RQ 时,3x612,B H Q 55x6A 当 PRQR时,就 R 为 PQ中垂线上的点,D E P R 于是点 R 为 EC 的中点,B H Q CR1CE1AC224tan CQRBA,CRCA3x66,x155282综上所述,当x 为18 5或 6 或15 2时,PQR为等腰三角形1与y3x【例 1】（山西太原） 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线yx4交于点 A ,分别交 x 轴于点 B 和点 C ,点 D 是直线 AC 上的一个动点（ 1）求点 A, ,C的坐标（ 2）当CBD为等腰三角形时,求点D 的坐标（ 3）在直线 AB 上是否存在点E ,使得以点E,D,O,A为顶点的四边形是平行四边y 名师归纳总结 BA DCx 第 6 页,共 45 页O- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 形？假如存在,直接写出BE学习必备欢迎下载的值；假如不存在,请说明理由CD【思路点拨】 （1）留意直线方程的解与坐标关系；（2）当CBD 为等腰三角形时,分三种情形争论,（3）以点 E,D,O,A 为顶点的四边形是平行四边形三种情形；【例 1】（山西太原） （ 1）在yx1中,当y0时,x10,y 4,x1,点 B 的坐标为 1 0, 在y3x3中,当y0时,3x30,x44点 C 的坐标为（ 4,0）由题意,得yx31,解得 3x8 7,yxy15 74点 A的坐标为8 15,7 7（2）当CBD为等腰三角形时, 有以下三种情形, 如图（1）设动点 D 的坐标为 x,D 2 y y M 2 D3 A D1 M 4 x D 2 AE2 x BE1 D 1 OM 1 CBOCD4 名师归纳总结 图（ 1）图（ 2）M ,就BM1M C1 2BC 第 7 页,共 45 页由（ 1）,得B 1 0,C4 0, ,BC5当BD 1D C 时,过点D 作D M1x 轴,垂足为点BM15,OM1513,x32222M2,就DM22MB2 DB 22y33315,点D 的坐标为3 15,2 8428当BCBD 时,过点D 作D M2x 轴,垂足为点M Bx1,D M23x3,D B5,4x2 13x322 54- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解,得x 112,x 24学习必备欢迎下载312324（舍去）此时,y5455D 3D 1点D 的坐标为12 24,5 5当CD3BC ,或CD4BC 时,同理可得0 3,D 48,3由此可得点D 的坐标分别为3 15,2 8,D212 24,5 5,D30 3,D48,3（3）存在以点 E,D,O,A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形,如图（2）当四边形AE OD 为平行四边形时,BE 13 2CD 120当四边形AD E O 为平行四边形时,BE 12CD 210当四边形AOD E 为平行四边形时,BE 227 2CD 120【例 2】（浙江湖州） 已知：在矩形AOBC 中,OB4,OA3分别以 OB,OA所在直线为 x 轴和 y 轴,建立如下列图的平面直角坐标系F 是边 BC 上的一个动点（不与B,C 重合）,过 F 点的反比例函数 y k k 0 的图x象与 AC 边交于点 E （1）求证：AOE 与BOF 的面积相等；（2）记 S SOEF SECF,求当 k 为何值时, S 有最大值,最大值为多少？（3）请探究： 是否存在这样的点 F ,使得将CEF 沿EF 对折后, C 点恰好落在 OB 上？如存在,求出点 F的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 【思路点拨】（1）用 k 的代数式表示AOE与FOB的面积； （2）写出 E,F两第 8 页,共 45 页点坐标（含 k 的代数式表示） ,利用三角形面积公式解之； （3）设存在这样的点F ,将CEF沿 EF 对折后,C 点恰好落在OB 边上的 M 点,过点E 作 ENOB ,垂足为N 证ENMMBF【例 2】（浙江湖州） （ 1）证明：设E x 1,y 1,F x2,y2,AOE与FOB的面积分别为S ,S ,由题意得y 1k,y2kx 1x 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S 11x y 11k ,S 21x y 2学习必备欢迎下载1 2k 222名师归纳总结 S 1S ,即AOE与FOB的面积相等第 9 页,共 45 页（2）由题意知：E,F两点坐标分别为Ek, ,F4,k4,3SECF1EC CF141k31k,2234SEOFS 矩形AOBCSAOESBOFSECF121k1kSECF12kSECF22SSOEFSECF12k2SECF12k2141k31k234S1k2k 12当k2116时, S 有最大值12S最大值413112（3）解：设存在这样的点F ,将CEF沿 EF 对折后, C 点恰好落在 OB 边上的 M 点,过点 E 作 ENOB ,垂足为 N 由题意得：ENAO3,EMEC41k ,MFCF31k ,34EMNFMBFMBMFB90,EMNMFB 又ENMMBF90,ENMMBFENEM,341k4 11k,123 1MBMFMB3k3 11k412MB94MB2BF2MF2,92k231k2,解得k214448- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BFk21学习必备欢迎下载432存在符合条件的点F ,它的坐标为4,2132点 A 在 x 轴【学力训练 】1、07 台州市 如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,上,点 C 在 y 轴上,将边BC 折叠,使点 B 落在边 OA 的点 D 处已知折叠CE5 5,B E 且tanEDA34OCD与ADE是否相像？请说明理由；y （ 1）判定（ 2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；C （ 3）是否存在过点D 的直线 l ,使直线 l 、直线 CE 与 x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相像？假如存在, 请直接写出其解析式并画出相应的直线；O D Ax 假如不存在,请说明理由【学力训练 】名师归纳总结 1. 07 台州市 （1）OCD与ADE相像第 10 页,共 45 页理由如下：由折叠知,CDEB90° ,1290° ,1390,23.又CODDAE90° ,OCDADE（2）tanEDAAE3,设AE3 t ,AD4就AD4 t 由勾股定理得DE5t OCABAEEBAEDE3 t5t8t由（ 1）OCDADE,得OC ADCD,DE8 tCD,4 t5 tCD10t在DCE中,CD2DE2CE2,10 25 25 52,解得t1OC8,AE3,点 C 的坐标为 0 8, ,点 E 的坐标为 103, ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设直线 CE 的解析式为 ykxb ,学习必备欢迎下载10kb3,解得k1,y2x122b8,b8,y1x8,就点 P 的坐标为 16 0, 2（3）满意条件的直线l有 2 条：y2 x12画出两条直线（图略） 3、（ 江苏盐城） 如图,在平面直角坐标系中,已知AOB 是等边三角形 ,点 A的坐标是（ 0,4）,点 B 在第一象限,点P 是 x 轴上的一个动点,连结AP,并把AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转,使边AO 与 AB 重合,得到ABD.（1）求直线 AB 的解析式；（2）当点 P 运动到点（3 ,0 ）时,求此时DP 的长及点 D 的坐标；P 的坐标；如x （3）是否存在点P, 使 OPD 的面积等于3,如存在,恳求出符合条件的点4不存在,请说明理由. y y B A D A B O P x O 图 1 图 2 3、（江苏盐城） （1）如图,过点B 作 BE y 轴于点 E,作 BFx 轴于点 F.由已知得名师归纳总结 BF=OE=2, OF= 422 2 = 2 343P D x 点 B 的坐标是 2 3,2 设直线 AB 的解析式是y=kx+b ,就有4bb解得k322 3 kb直线 AB 的解析式是y= 3x+4 y 3A 2 如图,ABD 由 AOP 旋转得到, ABD AOP , AP=AD , DAB= PAO, DAP= BAO=60 0,E B G ADP 是等边三角形,DP=AP=42 3219. （ 2 分）O F H 如图,过点D 作 DH x 轴于点 H,延长 EB 交 DH 于点 G, 第 11 页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 BGDH. 名师归纳总结 方法（一）P 3 4. P D x x 第 12 页,共 45 页在 Rt BDG 中, BGD=900, DBG=600. BG=BD .cos600=3 ×1 2=3. 2DG=BD .sin600=3 3 ×2, DH=72=3 2. OH=EG=5 23点 D 的坐标为 5 23, 7 2 3假设存在点P, 在它的运动过程中,使 OPD 的面积等于设点 P 为（ t,0）,下面分三种情形争论: y 当 t0 时,如图, BD=OP=t, DG=3t, 2A DH=2+3t. OPD 的面积等于3,E B G 241t23t3,224O F H 解得t 12132 3, t22132 3 舍去 . 点 P1 的坐标为2132 3, 0 当4 3t0 时,如图, BD=OP= t, BG= 3t, 32y y B x DH=GF=2 （3t） =2+3t. 22A OPD 的面积等于3,E 4D G 1t23t3,P O 224H F 解得t13, t23. 3点 P2 的坐标为 3, 0,点 P3的坐标为 3 , 0. 3当 t4 3时,如图, BD=OP= t, DG= 3t, G B 32DH= 3t 2. A 2E O H D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OPD 的面积等于3,学习必备欢迎下载41 2t23t3,2 33, 0、P3 3, 0 、24解得t 12132 3舍去 , t2213点 P4 的坐标为 212 3, 0 , 0、P2 3综上所述 ,点 P 的坐标分别为P1 21 2 333P4 21 2 3, 0 3【例 1】 浙江杭州 在直角坐标系xOy 中,设点 A （0,t）,点 Q（t,b）；平移二次函数 y tx 2 的图象,得到的抛物线 F满意两个条件： 顶 点 为 Q ； 与 x 轴 相 交 于 B , C 两 点（ OB < OC ）,连结 A ,B；（1）是否存在这样的抛物线F,F OA2OBOC？请你作出判定,并说明理由；（ 2）假如 AQ BC,且 tanABO=3,求抛物线2对应的二次函数的解析式；名师归纳总结 【思路点拨 】（ 1）由关系式OA2OBOC来构建关于2t 、b 的方程； 2 争论第 13 页,共 45 页F的顶点为Q, t 的取值范畴,来求抛物线F 对应的二次函数的解析式；【例 1】 浙江杭州 （1）平移ytx2的图象得到的抛物线 抛物线F对应的解析式为:ytxt2b. 抛物线与x 轴有两个交点,tb0. 令y0, 得OBtb,OCtb, tt, |OB|OC|tb tb| t2b|t2OAtt|tOB|OC|.- 2 分即t2b tt2, 所以当b2t3时, 存在抛物线F使得|OA|2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 AQ /BC, tb, 得F: 学习必备x欢迎下载t, ytt2名师归纳总结 解得x 1t,1x2t1. 第 14 页,共 45 页在RtAOB中, 1 当t0时,由|OB|OC|, 得Bt,10, 当t10时, 由tanABO3|OA|tt1, 解得t3, 2|OB|此时 , 二次函数解析式为y3 x218x24; 当t10时, 由tanABO3|OA|tt1, 解得t3, 2|OB|5此时,二次函数解析式为y3x2+18 x 25+48. 51252 当t0时, 由|OB|OC|, 将t代 , 可得 tt3, t3, 5（也可由x代x,y代y得到）所以二次函数解析式为y3x2+18 x 2548或y3x218x24. 5125【例 3】（浙江丽水） 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A 坐标为（2,4）,直线x2与 x 轴相交于点 B ,连结 OA ,抛物线yx2从点 O 沿 OA 方向平移, 与直线x2交于点P ,顶点 M 到 A 点时停止移动（ 1）求线段 OA 所在直线的函数解析式；y（ 2）设抛物线顶点M 的横坐标为 m , A 用 m 的代数式表示点P 的坐标；Q,使M P 当 m 为何值时,线段PB 最短；（3）当线段 PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点 QMA 的面积与PMA的面积相等,如存在,恳求出点Q 的坐标；如不存在,请说明理由O xB x【思路点拨 】（2）构建关于 PB 的二次函数, 求此函数的2最小值；（3）分当点 Q 落在直线 OA 的下方时、当点Q 落在直线 OA 的上方时争论；y【例3】（浙江丽水） （1）设 OA 所在直线的函数解析式A 为ykx, A （2,4）,M P B O x2x（第 24 题）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -