2022年中考数学重难点专题讲座第七讲坐标系中的几何问题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学重难点专题讲座第七讲 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们争论了几何综合题及代数综合题的各种方面,信任许多同学都已经把握了；但是中考中, 最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的,一方面涉及函数, 坐标系,运算量很大, 另一方面也有各种几何图形的性质表达；所以往往这类问题都会在最终两道题显现, 而且基本都是以多个小问构成；此类问题也是失分最高的,往往起到拉开分数档次的关键作用； 作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学,这类问题肯定要重视；此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度动身,去完全攻克此类问题；第一部分 真题精讲【例 1】2022,石景山,一模已知：如图 1,等边 ABC 的边长为 2 3 ,一边在x轴上且 A 1 3 0, AC 交y 轴于点 E ,过点 E 作 EF AB交BC于点F（1）直接写出点 B、C 的坐标；（2）如直线 y kx 1 k 0 将四边形 EABF 的面积两等分,求 k 的值；（3）如图 2,过点 A、 、C 的抛物线与 y 轴交于点 D , M 为线段 OB 上的一个动点,过x轴上一点 G 2,0 作 DM 的垂线,垂足为 H,直线GH交 y 轴于点N,当M点在线段OB 上运动时,现给出两个结论：GNMCDMMGNDCM ,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论正确,并证明yCyCD名师归纳总结 AE1FBxAO图2Bx第 1 页,共 22 页O-1图 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析】 许多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻, 略微看看不太会做就失去了攻克它的信心；在这种时候要渐渐将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来；第一问不难,C 点纵坐标直接用 tg60° 来算,七分中的两分就到手了；其次问看似较难,但是实际上考生需要知道“ 过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这肯定理就轻松解决了,这个定理的证明不难,有爱好同学可以自己证一下加深印象；由于EFAB 仍是一个等腰梯形,所以对角线交点特别好算,四分到手； 最终三分收起来有点麻烦,不过略微认真点画图,不难猜出式成立；抛物线倒是好求,由于要证的是角度相等,所以大家应当想到全等或者相像三角形,过 D 做一条垂线就发觉图中有多个全等关系,下面就遗忘抛物线吧,单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简洁了；至此,一道看起来很难的压轴大题的【解析】解：（1）B13 0, ；C1 3, 7 分就胜利落入囊中了；（2）过点 C 作 CPAB 于 P ,交 EF 于点 Q ,取 PQ 的中点 R EABC 是等边三角形,A13 0EAO60在 Rt EOA 中,EOA90EOAOtan6013333E0,33 EF AB 交 BC于 F ,C1 3, R1,323 （就是四边形对角线的中点,横坐标自然和C 一样,纵坐标就是的纵坐标的一半）名师归纳总结 直线y3kx1将四边形 EABF 的面积两等分第 2 页,共 22 页直线ykx1必过点R1,323k123,k523- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yCEQ FRA O B x-1（3）正确结论： GNM CDM 2证明：可求得过 A、 、C 的抛物线解析式为 y x 2 x 2D 0 2, G 2 0 OG OD 由题意 GON DOM 90又GNO DNHNGO MDONGO MDOGNO DMO , OM ONONM NMO 45过点 D 作 DT CP 于 TDT CT 1CDT DCT 45由题意可知 DT ABTDM DMOTDM 45 DMO 45 GNO 45TDM CDT GNO ONM即：GNM CDM （这一问点多图杂,不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - yCD THGAN OMPBx【例 2】2022,怀柔,一模如图 ,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线y1x24x10与正半轴交于点A,与189轴交于点 B,过点 B 作 x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结 AC现有两动点P、Q 分别从O、C 两点同时动身 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动 ,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 ,点 P停止运动时 ,点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点 D,过 点 D 作 DE OA, 交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t单位 :秒 1求 A,B,C 三点的坐标 ; 2当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形 .请写出 运算过程 ; 3当 0t9 2时, PQF 的面积是否总为定值.如是 ,求出此定值 ,如不是 ,请说明理由 ; 4当 t _时, PQF 为等腰三角形 . 【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特别图形的题目特别流行,所 以大家需要对各种特别图形的判定性质特别熟识；此题一样一步步拆开来做,第一问送分,给出的抛物线表达式很好因式分解；留意平行于X 轴的直线交抛物线的两个点肯定是关于名师归纳总结 对称轴对称的；其次问就在于当四边形PQCA 为平行四边形的时候题中已知条件有何关系；第 4 页,共 22 页在运动中, QC 和 PA 始终是平行的,依据平行四边形的判定性质,只要QC=PA 时候即可；第三问求PQF 是否为定值,由于三角形的一条高就是Q 到 X 轴的距离,而运动中这个距- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离是固定的,所以只需看PF 是否为定值即可；依据相像三角形建立比例关系发觉OP=AF ,得解；第四问由于已经知道 PF 为一个定值,所以只需 PQ=PF=18 即可, P 点（ 4t,0）Q 8-t,-10,F18+4t,0 两点间距离公式分类争论即可 .本道题是 09 年黄冈原题 ,第四问原本是作为解答题来出的原来是 3 分,但是此题作为 1 分的填空 ,考生只要大致猜出应当是 FP=FQ 就可以；实际考试中假如遇到这么麻烦的,假如没时间的话笔者个人建议舍弃这一分去检查其他的.究竟得到这一分的时间都可以把挑选填空认真过一遍了 . 【解析】解： 1 y18 1 x 2 8 x 180,令 y 0 得 x 28 x 180 0,x 18 x 10 0x 18 或 x 10A 18,0；在 y 1x 2 4x 10 中,令 x 0 得 y 10 即 B 0, 10；18 9由于 BC OA ,故点 C 的纵坐标为 10,由 10 1x 2 4x 10 得 x 8 或 x 018 9即 C 8, 10于是,A 18,0, B 0, 10, C 8, 10（2）如四边形 PQCA 为平行四边形,由于 QC PA.故只要 QC=PA 即可PA 18 4 , t CQ t 18 4t t 得 t 185（3）设点 P 运动 t 秒,就 OP 4 , t CQ t , 0 t 4.5,说明 P 在线段 OA 上,且不与点 O、A 重合,名师归纳总结 由于 QC OP 知 QDC PDO ,故QD DPtQCt14.5；构造直角三角形后第 5 页,共 22 页OP4 t4AF4 tOPPFPAAFPAOP18又点 Q 到直线 PF 的距离d10SPQF1PF d118 109022, 10, 0t PQF 的面积总为90 （4）由上知,P4 ,0,F184 ,0,Q8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 易得PQ24t8t21025 t821004.5,FO2184t8t21025 t102100如 FP=PQ,即1825t82100,故25t22224, 2t26.5t22244 14t4 142255或5如 QP=QF,即5 t821005 t102100,无 0 4.5的 t 满意条件； 12如 PQ=PF,即5 t82100182,得5 t2 8224,t84 145t84 140都不满意 0 4.5,故无 0 4.5的 t 满意方程；5综上所述：当t4 142时, PQR 是等腰三角形；5【例 3】2022,延庆 ,一模如图,已知抛物线C ：yax225的顶点为 P ,与x 轴相交于A、B两点（点A 在点 B 的左边）,点B 的横坐标是 1（1）求 P 点坐标及 a 的值；（2）如图（ 1）,抛物线 C 与抛物线 C 关于 x 轴对称,将抛物线 C 向右平移,平移后的抛物线记为 C ,C 的顶点为 M ,当点 P 、M 关于点 B 成中心对称时, 求 C 的解析式；（3）如图（2）,点 Q 是x轴正半轴上一点,将抛物线C 绕点 Q 旋转 180 后得到抛物名师归纳总结 线C 抛物线C 的顶点为 N ,与 x 轴相交于 E 、 F 两点（点 E 在点 F 的左边） ,当以点 P 、第 6 页,共 22 页N 、 F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C1 y M C1 y N A P O B C3 x A P O B Q E F x C2 C4 图 1 图 2 【思路分析】出题人比较慈爱,上来就直接给出抛物线顶点式,再将 B（1,0）代入,第一问轻松拿分；其次问直接求出 M 坐标,然后设顶点式,连续代入点 B 即可；第三问就需要设出 N,然后分别将NP,PF,NF 三个线段的距离表示出来,然后切记分情形争论直角的可能性；运算量比较大,务必细心；【解析】解：由抛物线C ：ya x225得x轴于 G顶点 P 的为 2,5C 上点B 1,0在抛物线0a1225x 轴于 H ,作 MG解得,a59连接 PM ,作 PH点 P 、 M 关于点 B 成中心对称名师归纳总结 PM 过点 B ,且 PBMBM 到 B 的横纵坐第 7 页,共 22 页PBHMBGMGPH5,BGBH3顶点 M 的坐标为 4,5（标准答案如此,其实没这么麻烦,点标之差都等于B 到 P 的,直接可以得出（4,5）抛物线C 由C 关于 x 轴对称得到,抛物线C 由C 平移得到- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线C 的表达式为y5x4259抛物线C 由C 绕点x轴上的点 Q 旋转 180 得到顶点 N 、 P 关于点 Q 成中心对称由得点 N 的纵坐标为 5设点 N 坐标为 m,5作 PH x轴于 H ,作 NG x轴于 G作 PK NG 于 K旋转中心 Q 在x轴上 C1 y N EF AB 2 BH 6FG 3,点 F 坐标为 m 3,0 A H O B Q E G F x H 坐标为2,0, K 坐标为 m,5,K P C4 依据勾股定理得图2 2 2 2 2PN NK PK m 4 m 1042 2 2 2PF PH HF m 10 m 502 2 2NF 5 3 34当 PNF 90 时,PN 2NF 2PF,解得 2m 443,Q 点坐标为 193,0当 PFN 90 时,PF 2NF 2PN ,解得 2m 10,Q 点坐标为 2,03 3PN NK 10 NF ,NPF 90综上所得,当 Q 点坐标为 19,0 或2,0 时,以点 P 、 N 、 F 为顶点3 3的三角形是直角三角形【例 4】2022,房山,一模如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1：y 3 x 6 3 交x轴、y轴于 A 、 B 两点,点 M m n 是线段 AB 上一动点,点 C 是线段 OA的三等分点（1）求点 C 的坐标；名师归纳总结 （2）连接 CM ,将ACM绕点 M 旋转 180 ,得到A C MA CAC 分成面第 8 页,共 22 页当BM1AM 时,连结A C 、AC ,如过原点 O 的直线2l将四边形2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 积相等的两个四边形,确定此直线的解析式；过点A作A Hx 轴于 H ,当点 M 的坐标为何值时,由点A、H、C、M构成的四边形为梯形？BMO A【思路分析】此题运算方面不是很繁琐,但是对图形的构造才能提出了要求,也是一 道比较典型的动点移动导致特别图形显现的题目；第一问自不必说, 其次问第一小问和前面 例题是一样的, 也是要把握过四边形对角线交点的直线肯定平分该四边形面积这肯定理；求 出交点就意味着知道了直线 .其次小问较为麻烦 ,由于 C 点有两种可能 ,H 在 C 点的左右又是 两种可能 ,所以需要分类争论去求解 .只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了 . 【解析】（1）依据题意：A6, 0,B0, 6 3 C 是线段 OA的三等分点名师归纳总结 C2, 0或C4, 0-2分第 9 页,共 22 页（2）如图,过点M作 MNy 轴于点 N ,就BMNBAOBM1AM 2BM1BA3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BN1BO3N 0, 4 3点 M 在直线 y 3 x 6 3 上M 2, 4 3- A C M 是由ACM 绕点 M 旋转 180 得到的A C 'AC无论是 C 、C 点,四边形 A CAC 是平行四边形且 M 为对称中心所求的直线 2l必过点 M 2, 4 3直线 2l的解析式为 : y 2 3 xyC2A' C1'BNC1MC2AxO 当C 1 2, 0时,名师归纳总结 第一种情形：H在C点左侧第 10 页,共 22 页如四边形A HC M 是梯形 A M 与HC 不平行 A H MC1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时M2, 4 3其次种情形：H 在 C 点右侧如四边形 A C HM 是梯形A M 与 C H 不平行A C 1HM M 是线段 AA的中点 H 是线段 AC 的中点H 4, 0由 OA 6,OB 6 3OAB 60点 M 的横坐标为 5名师归纳总结 M5,3M4, 2 3- 5,3,M4, 2 3或M11,3第 11 页,共 22 页当C24, 0时,同理可得第一种情形：H 在C 点左侧时,其次种情形：H在C 点右侧时,M11,3- 22综上所述, 所求 M 点的坐标为：M2, 43,M22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yC2'A' C1'BNC1MC2AxO【例 5】通州, 2022,一模在平面直角坐标系中,抛物线yx22x3与 x 轴交于 A 、B 两点,（点A 在点 B左侧） .与 y 轴交于点 C,顶点为 D,直线 CD 与 x 轴交于点 E. （1）请你画出此抛物线,并求A、B、C、D 四点的坐标 . （2）将直线 CD 向左平移两个单位,与抛物线交于点 F（不与 A、 B 两点重合）,请你求出 F 点坐标 . （3）在点 B、点 F 之间的抛物线上有一点P,使 PBF 的面积最大,求此时P 点坐标及 PBF 的最大面积 . （4）如平行于x 轴的直线与抛物线交于G、 H 两点,以 GH 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径 . 【思路分析】此题看似错综复杂,特别最终第四问的图像画出来又乱又挤,略微没画名师归纳总结 好就会让人头大无比；但是不用慌,一步步来渐渐做；抛物线表达式很好分解,第一问轻松第 12 页,共 22 页写出四个点；其次问向左平移,C 到对称轴的距离刚好是1,所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上,所以F 直接写出为（ -2,-3）第三问看似麻烦,但是只要将PBF拆解成以Y 轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了；将P 点设出来然后列方程求解即可；最终一问要分GH 在 X 轴上方和下方两种情形,分类争论；不过做到最终一步信任同学们的图已经画的乱七八糟了,由于和前面的问题没有太大关系,所以建议大家画两- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个图分开来看；【解析】解：（1）A3 0, ,B1 0, ,C0,3,D1,4. F2,3（2）（3）过点 P 作y轴的平行线与BF交于点M,与 x 轴交于点H名师归纳总结 易得F2,3,直线 BF 解析式为yx1270,就HR1,R,第 13 页,共 22 页设P x x22x3,就Mx x1,PMx2x2PM 的最大值是9. 4当 PM 取最大值时PBF 的面积最大SPBFSPFMSPBM193248PFB 的面积的最大值为27. R R8（4）如图,当直线GH 在x轴上方时,设圆的半径为代入抛物线的表达式,解得R1227. 当直线 GH 在x轴下方时,设圆的半径为r r0,就Hr1,r,代入抛物线的表达式,解得r1217圆的半径为1217或1217 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yG1AO1OB H2H1xG2MO2F CPD【总结】通过以上五道一模真题,我们发觉这类问题虽然看起来特别复杂,但是只要一问一问争论渐渐分析,总能拿到不错的分数；将几何图形添进坐标系大多情形下是和抛物线有关,所以第一需要同学们对抛物线的各种性质娴熟把握,特别是借助抛物线的对称性,有的时候解题会特别便利；无论题目中的图形是三角形,梯形以及平行四边形或者圆,只要认清各种图形的一般性质如何在题中表达就可以了；例如等腰/边三角形大多和相像以及线段长度有关, 梯形要抓住平行,平行四边形要看平行且相等,圆形就要看半径和题目中的条件有何关系；仍需要把握平分三角形/四边形 /圆形面积的直线分别都肯定过哪些点；总之,再难的问题都是由一个个小问题组成的,就算最终一两问没有时间摸索拿不了全分,至少要将前面简洁的分数拿到手,这部分分数其实仍不少；像例 2 最终一问那种情形,该舍弃时候坚决舍弃,不要为 1 分的题失去了大量检查的时间；其次部分 发散摸索【摸索 1】 2022,北京. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,ABC 三个顶点的坐标分别为A6,0,B6,0,C0, 4 3,延长 AC 到点 D,使 CD=1 2AC ,过点 D 作DE AB 交 BC 的延长线于点E. （1）求 D 点的坐标；名师归纳总结 （2）作 C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结 DF、EF,第 14 页,共 22 页如过 B 点的直线ykxb 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四边形,确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点, 点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点动身, 先沿 y 轴到达 G点,再沿 GA 到达 A 点,如 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的位置,使 P 点依据上述要求到达 A 点所用的时间最短；（要求：简述确定 G点位置的方法,但不要求证明）【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等,但是这道去年中考原题就是分周长相等；周长是由许多个线段组成的,所以分周长相等只需要争论哪些线段之和相等就可以了；所以自然想到去证明全等三角形；第三问虽然不要求证明,但是只需设出速度 ,利用相像三角形去建立关系 ,仍是不难证明的 ,有余力的同学可以试试 . 【摸索 2】 2022,西城,一模已知：如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y3x6与 x 轴、 y 轴的交点分4别为 A 、B,将 OBA 对折,使点O 的对应点H 落在直线AB 上,折痕交x 轴于点C. （1）直接写出点 C 的坐标,并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）如抛物线的顶点为 D,在直线 BC 上是否存在点 P,使得四边形 ODAP 为平行四边形？如存在,求出点P 的坐标；如不存在,说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T,Q 为线段 BT 上一点,直接写出QA QO 的取值范畴 . 【思路分析】其次问有两个思路,第一个是看已知四边形的线段是否平行且相等,角 是否符合平行四边形的条件；另一个是看假如有平行四边形,那么构成平行四边形的点 P 是否在 BC 上；从这两个思路动身,列出方程等式即可求解；第三问依据抛物线的对称性来 看三点共线,继而看出最大值和最小值分别是多少；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【摸索 3】 2022,朝阳,一模抛物线与 x 轴交于 A（ 1, 0）、 B 两点,与 y 轴交于点 C（0, 3）,抛物线顶点为 M ,连接 AC 并延长 AC 交抛物线对称轴于点 Q,且点 Q 到 x 轴的距离为 6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点 D,使得 DC 与 AC 垂直,求出点 D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点 P,使得 S PAM=3S ACM ,如存在,求出 P 点坐标；如不存在,请说明理由 . 【思路分析】第一问要算的比较多,设直线以后求解析式,看出抛物线对称轴为 x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可 .其次问利用三角形相像求出点 N 坐标 ,然后联立抛物线与直线 CN 即可求出点 D.第三问考查对图形的懂得 ,假如能奇妙的将ACM 的面积看成是四边形 ACEM 减去 AME, 那么就会发觉四边形 ACEM 刚好也是AOC 和梯形 OCEM 之和 ,于是可以求出 PM 的距离 ,然后分类争论 PM 的位置即可求解 . 【摸索 4】 2022,崇文,一模OB如 图 , 抛 物 线yax2bx3 与x 轴交于A ,B两点, 与y 轴 交 于 点C, 且OC3 OA（I）求抛物线的解析式；名师归纳总结 （II ）探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形？第 16 页,共 22 页如存在,求出P点坐标,如不存在,请说明理由；（III ）直线y1 x 31交y 轴于D点,E为抛物线顶点如DBC,CBE,求的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析】 此题虽然没有明确给出坐标,但是表达式中暗含了X=0 时 Y=-3 ,于是 C点得出, 然后利用给定的等式关系写出 A,B 去求解析式；其次问中,由于 AC 是固定的,所以构成的直角三角形依据 P 的不同有三种类型；留意分类争论；第三问就是少见的运算角度问题, 但是实际上也是用线段去看角度的相等；最便利就是利用正切值构建比例关系,发现 CBE= DBO ,于是所求角度差就变成了求OBC ；第三部分 摸索题解析【摸索 1 解析】解：（ 1）A 6 0, ,C0 4 3,OA6,OC4 3设 DE 与y轴交于点 M 由 DEAB可得DMCAOCA E y F D B x 又CD1AC ,2MDCMCD1OACOCA2CM2 3,MD3同理可得EM3OM6 3 D 点的坐标为 3 6 3（2）由（ 1）可得点 M 的坐标为 0 6 3由 DEAB,EMMD,T 可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线M 点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在y轴上C S ED 与 CF 相互垂直平分1 H G CDDFFEEC 1 四边形 CDFE 为菱形,且点 M 为其对称中心O 作直线 BM 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 BM 与 CD、EF分别交于点 S 、点 T 可证FTMCSM FTCSSTSDDFFTTS FECD, TESD ECDF , TEECCS直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形由点B6 0, ,点M0 6 3在直线 ykxb 上,于点 H 就 AH 与y轴的交点为可得直线 BM 的解析式为y3x6 3（3）确定 G 点位置的方法：过A点作AHBM所求的 G 点由 OB 6,OM 6 3,可得 OBM 60°,BAH 30° 在 RtOAG 中,OG AO tan BAH 2 3 G 点的坐标为 0 2 3（或 G 点的位置为线段 OC的中点）【摸索 2 解析】解：（ 1）点 C 的坐标为 3,0 . 点 A 、B 的坐标分别为A8,0,B0,6,1ya x3x8. x 可设过 A 、 B、C 三点的抛物线的解析式为将x0,y6代入抛物线的解析式,得a. 412 x11x6. 过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为y4y4（2）可得抛物线的对称轴为x11,顶点 D 的坐标为2B11,25,设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G. 216PGA直线 BC 的解析式为y2x6.- 11MCO设点 P 的坐标为 , 2x6. D图 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法一：如图 8,作 OP AD 交直线 BC 于点 P,连结 AP,作 PM x 轴于点 M. OP AD, POM= GAD ,tanPOM=tan GAD. 25,PMDG GA,即2x6816 11. OMx2解得x16. 经检验x16是原方程的解 . 77此时点 P 的坐标为16 10 ,7 7. 但此时OM16,GA5,OM GA. 72OPOM,ADcosGA,POMGADcosPOMGAD OPAD ,即四边形的对边OP 与 AD 平行但不相等, 直线 BC 上不存在符合条件的点 P. 解法二：如图 9,取 OA 的中点 E,作点 D 关于点 E 的对称点 P,作 PNx 轴于点 N. 就 PEO=DEA ,PE=DE. 可得 PEN DEG 由OEOA4,可得 E 点的坐标为4,0. . 2NE=EG=3 2, ON=OE NE=5 2,NP=DG=25 16 点 P