2022年二元函数的泰勒公式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载§ 10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数zfx,y的两个（一阶）偏导数z , xz仍是 x 与 y 的二元函数 .y如它们存在关于 x 和 y 的偏导数,即zz,zfz,z;zz,zz.2 2 个. 通常xxyxxyyy称它们是二元函数xy的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有将它们表为：2z z 表为 z2 或 f xx x , y .x x x2z z 表为 z 或 f xy x , y .（混合偏导数）y x x y2z z 表为 z 或 f yx x , y .（混合偏导数）x y y x2z z 表为 z 或 2 f yy x , y .y y y一般地,二元函数 z f x , y 的 n 1 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的 nn阶偏导数 . 二元函数的 n 阶偏导数至多有 2 个. 二元函数 z f x , y 的 n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似 . 例如,符号n nk zk 或 f x n n k y k x , y x y表示二元函数 z f x , y 的 n 阶偏导数, 第一对 x求 n k 阶偏导数, 其次接着对y 求 k 阶偏导数 . 二阶与二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 . 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数 . 名师归纳总结 例 1. 求函数zx3y33x2yxy23的二阶偏导数 . 第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：z3x2y36xyy2精品资料z3x欢迎下载3x22xy .3y2xy2z6xy36y .2y .x2z9x2y26x2y.,就2z2zx22z9x2y26xyxxyxyyx2z6x3y2x .a 2yb 2zc 2y21,r例 2. 证明：如ur2u2u2u0 .x2y2z2证明： 由§ 10.3. 例 2,有名师归纳总结 uxr3a,uy3b,uz3c.f xyx,y第 2 页,共 10 页xyrzr2ur3xra 3 r2rrxrax2 x6xr3xa 3 r2xra13xa2.r6r3r5同样,可得2u13yb 2,2u13zc 2.y2r3r5z2r3r5于是,2u2u2u33xa 2yb 2zc2x2y2z2r3r5330 .r3r3定理 1. 如函数fx,y在点Px0y0的邻域 G存在二阶混合偏导数与f yxx,y,并且它们在点Px0y0连续,就fxyx0,y 0fyxx0,y0 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 令Fx,yfx0精品资料0欢迎下载x0x ,y0x,yy f名师归纳总结 fx0,y0yfx0,y0,y0x 上应用拉格朗日中第 3 页,共 10 页令x fx ,y0yfx ,y0. 对x 在x0,x0值定理 , 得Fx,yx01xxxfxx01x ,y0yfxx01x ,f xyx 01x,y02yxy；令yfx0x,yfx0,y. 同样方法可以得到Fx ,yfyxx03x ,y 04xxy. 于是有f xyx01x,y02y f yxx03x,y04x . 令x0 ,y0, 取极限得 1 式. 例 3. 证明：如zfx,y,xcos,ysin,就2f2f2f12f1f.x2y22222fsin2.证明：ffxfyfcosfsin.xyxyffxfyfsinfcos.xyxy2fffffcosfsin2xy2fcos 22fsincos2fsincosx2xyyxy22fffffsinfcos2xy2f2sin22f2sincosfcosx2xyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2f2sincos精品资料2欢迎下载fsin.2fcos 2yxy2y2 2 2 2于是,f2 12 f2 1 f f2 cos 2 sin 2 f2 sin 2 cos 2 x yf cos f sin f cos f sinx y x y2 22 f2 f .x y即 2x f2 2y 2 f 2 f2 12 2 f2 1 f .说明： 定理 1 的结果可推广到 n 元函数的高阶混合偏导数上去 . 例如,三元函数 f x , y , z 关于 x , y , z 的三阶偏导数依据不同的次序共有六个：3 3 3 3 3 3f f f f f f, , , , , .x y z y x z y z x x z y z x y z y x如它们在点 x , y , z 都连续,就它们相等 . 如二元函数 f x , y 全部的混合高阶偏导数都连续,就偏导数（亦称一阶偏导数） 有二个,二阶偏导数只有三个 f xy f yx ,三阶偏导数只有四个 . 一般情形, n 阶偏导数只有 n 1 个. 二、二元函数的泰勒公式争论二元函数泰勒公式的方法是：作一个帮助函数, 将二元函数化为一元函数. 应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公 式. 名师归纳总结 为 了 将 二 元 函 数fx,y在 点Qath,bk的 函 数 值fah,bk在 点第 4 页,共 10 页P a,b展成泰勒公式,作帮助函数,1tfaht,bkt,0即tfx,y,xaht,ybkt,0t1.明显,t0,0 fa ,b ;t,11 fah,bk.于是,函数fah,bk在点Pa,b 展成的泰勒公式就是一元函数t 在点 0 的泰勒公式（即麦克劳林公式）在t1的值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 2.如函数fx,y精品资料b欢迎下载在点Pa,的邻域 G存在 n+1 阶连续的偏导数,就Qah ,bbkkG,有1hxkyfa ,b11hx,ky2fa ,b ,1fah ,fa ,b.1.21hxkyn11 .hxkynfahbk,0fa,bn .n（4）其中符号xiylfa,b 表示偏导数iilfl在Pa,b 的值,b. xyhxkymfa,bimCihikmii xmmifa ,0my（4）式称为二元函数fx,y在Pa ,b的泰勒公式 . y的麦克劳林公在泰勒公式（ 4）中,令a0 b0,就得到二元函数fx,式（将 h 与 k 分别用 x 与 y 表示）：fx ,y f0 , 0 f1xxnyyxf0 , 0 y11xxyy2f0 , 0 .1.21xxyn,00 1xnfx ,y,01yn .1 .（5）或f在泰勒公式（ 4）中,当na0时,有khfyah,bkk,01. ah ,bkfa,b fxh,bfah,bkfa ,bfxah ,bkhfyah ,bkk,（6）名师归纳总结 （6）式二元函数 中值定理 的另一种形式,这里只有一个h,. kk7 第 5 页,共 10 页在泰勒公式（ 4）中,当n1时,有bfah,bkfa,bfxah,bkhfya1fxxah ,bkh22fxy ah ,bkhk2fyyah ,bk k2,01 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 将函数fx,yexy精品资料欢迎下载展成麦克劳林公式 . 解： 函数fx,yeexy在R 存在任意阶连续偏导数,且 2mlfxy,mlxmylf,00 1,xmylm 与 l 是任意非负整数 . 由公式（ 5）,有exy1nxy 1xey2,1xyn2 .n .1xyn1xy01.1 .三、二元函数的极值1. 极值点的定义定义 设函数 f x y 在点 P a b 的邻域 G 有定义 .如 a h b k G ,有f a h b k a b f a h b k ,a b就称 P a b 是函数 f , x y 的极大点（微小点）.极大点（微小点）的函数值 f a b , 称为函数 f x y 的极大值（微小值） . 极大点与微小点统称为 极值点 .极大值与微小值统称为 极值 . 例 如 , 点 1,2 是 函 数f x y , x212y221的 极 小 点 , 极 小 值 是f1,21. 0事实上, , x y ,有12y2,x于是fx,yf 1 , 22. 极值点的必要条件定理 3. 如函数f x y 在点P a b 存在两个偏导数, 且P a b 是函数f x y的极值点,就名师归纳总结 xfa b0与yfa b. f , x b 的极第 6 页,共 10 页证明：已知P a b 是函数f x y 的极值点,即 xa是一元函数值.依据一元函数极值的必要条件,a 是一元函数f x b 的稳固点,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xf精品资料. 欢迎下载a b同法可证,fx , x y0,yfa b. f x y 的稳固方程组的解（坐标平面上某些点）称为函数fy , x y0,点. 定理 3 指出,可微函数f x y 的极值点肯定是稳固点 .反之,稳固点不肯定是极值点 .例如,函数（双面抛物面）f x y , x22 y . .2的 稳 定 点 . 但 点 0 , 0 并 不 是 函 数fx2 ,fy2显 然 , 点 0 , 0 是 函 数f , x2yf x y , x22 y 的极值点 . 3. 极值点的充分条件定理 4. 设函数f x y 有稳固点P a b ,且在点P a b 的邻域 G 存在二阶连续偏导数 . 名师归纳总结 令Af x x a b ,Bx y fa b ,Cy yfa b第 7 页,共 10 页B2A C1）如0,就P a b 是函数f x y 的极值点：（）A0或 C>0,P a b 是函数f x y 的微小点 . （）A0或 C<0,P a b 是函数f x y 的极大点 . 2）如0,就P a b 不是函数f x y 的极值点 . 注：当判别式0 时,稳固点P a b 可能是函数f , x y 的极值点,也可能不是函数f x y 的极值点 .例如,函数f 1 , x2y22 ,f2 , x2y22 ,f3 , x y2 x y.不难验证,P0,0是每个函数唯独的稳固点, 且在稳固点P0,0每个函数的判别式B2AC0.明显,稳固点P0,0是函数f 1 , x yx2y22的微小点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是函数f2 , x2y22精品资料欢迎下载f3 , x y2 x y 的极值点 . 的极大点；却不是函数求可微函数 fx,y的极值点的步骤：1）求偏导数,解方程组fx , 0,求稳固点 .设其中一个稳固点是P a b . fy , 0,2）求二阶偏导数,写出fx y x y2f x xx,y y y fx y.0 不定3）将稳固点P a b 的坐标代入上式,得判别式fx y a b 2f x xa by y fa b.再由的符号,依据下表判定P a b 是否是极值点：B2AC+ A（或 C）+ P a b , 是微小点是极大点不是极值点例 6. 求函数zx3y33xy 的极值 . 解： 解方程组fxx,y2 3 x2y0 ,fyx,y 2 3 y3x0 .解得两个稳固点（ 0,0）与（ 1,1）.求二阶偏导数fx x x y6x,x y fx,y3 ,y y fx yy在点 0,0, 在点 1,1,fx yx y2 f x xx y y y f x y93 6 x y.90,0,0 不是函数的极值点 . 270, 且A60,1,1是函数的微小点,微小值是x3y33xy 1,11. 4. 二元函数 f（x,y）在实际问题中的最大、最小值一般来说,求函数f x y 在 D 的边界上的最大（小）值是很困难的.但是,在许多实际问题, 依据问题的实际意义, 函数f x y 的最大（小）值必在区域 D名师归纳总结 （D 可以是无界区域）内某点P 取得,又函数f x y 在 D 内只有一个稳固点P,第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载那么函数 f x y 必在这个稳固点 P 取得最大（小）值 . 例 7. 用钢板制造容积为 高才最省钢板 . V 的无盖长方形水箱,问怎样挑选水箱的长、宽、解： 设水箱长、宽、高分别是x y z.已知 xyzV ,从而高zV.水箱表面xy的面积S 的定义域DSxyV2x2 xyy2 V1. 1,xyxy , 0x,0这个问题就是求函数 解方程组S 在区域 D 内的最小值 . 名师归纳总结 Sy2 V1y2 V0,32 V,32 V第 9 页,共 10 页xx22 xSx2 V1x2 V0.yy2y2在区域 D 内解得唯独稳固点32 ,32 V.求二阶偏导数2S4 V,2S1,2S4 V. x2x3x yy2y32S22 S2 S116 V2. 3x yx2y23 x y在稳固点32 ,32 V,30,且A20,从而,稳固点32 V 时,是 S 的微小点 .因此,函数 S 在点32 V,32 取最小值 .当x32 V,yz3V2 V32 V,2 V32. 即无盖长方形水箱xy32 V z32 V,所需钢板最省 . 2例 8. 在已知周长为 2 p 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形解： 设三角形的三个边长分别是x y z.面积是.由海伦公式,有p px py p. z （8）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知xyz2p 或z2px精品资料欢迎下载y,将它代入（ 8）式之中,有p p x p y x y . p由于三角形的每边是正数而且小于半周长 p ,所以 的定义域D x y 0 x p , 0 y p x y . p2已知 的稳固点与 的稳固点相同 .为运算便利,求p2ppx py xyp 的稳固点 .解方程组名师归纳总结 xx y py xyp px py第 10 页,共 10 页py 2 p2 xy0 .yx y px xyp_px py px 2 p2 yx0 .在区域 D 内有唯独稳固点2p,2p.求二阶偏导数33x x x,y2 py ,x yx y ,x 2 ypyyx y2 xx y x,y2 x xx y ,y yx y,42 x4x y42 y8p x8p y2 5p .在稳固点2p,2p,p20,A2p0.从而,稳固点2p,2p是函333333数,即的极大点 .由题意,在稳固点2p,2p必取到最大值 .当x2p,333y2p时,z2pxy2p,即三角形三边长的和为定数时,等边三角形的33面积最大 . - - - - - - -