2022年二次函数与幂函数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数与幂函数学习必备欢迎下载2,4,图像与x例 1 设二次函数的图像的顶点坐标为1、二次函数解析式的三种形式1一般式： fxax 2bx ca 0；2顶点式： fxaxh 2ka 0；轴的两个交点间的距离为 8,求二次函数的解析式解析 设二次函数的解析式为 y ax2 24a 0,其图像与 x 轴的两交点坐标为 x 1,0,x2,0,就 x1、 x2 是方程 ax2 2 40 的两根3两根式： fxaxx1xx2a 0在求二次函数解析式时,应依据已知条件挑选适当的解析形式, 切不行都设为一般式,增加不必要的运算；2、二次函数的图像特点a<0 且 x1,2 2±2,|x1x2|48,a aa1 4.故所求函数的解析式为y1 4x22 4. 变式已知二次函数的图像经过原点和点A1,8,对称轴为直线 x3 2,求这个二次函数的解析式解析 设解析式为y a x32 ka 0,由题意得29 4ak0,解得a2, y2 x3 229 2.k9 2.25 4 ak8,例 2 设 abc0,二次函数 fxax2bxc 的图象可能二次函数 对称轴是fxax 2bx ca 0的图像是一条抛物线,2xb 2a,顶点坐标是b 2a,4acb,是1当a0时,抛物线开口向上,解析如 a 0,就 bc0,依据选项C、D,c0,此时2当a0时,抛物线开口向下只有 b0,二次函数的对称轴方程xb 2a0,选项 D有可能；如a0,依据选项A,c0,此时只能b0,二次函数的对称轴方程xb 2a0,与选项 A 不符合；依据选项B,c 0,此时只能b0,此时二次函数的对称轴方程 xb 2a0,与选项 B 不符合 D 变式已知二次函数yax2bx c 满意 a>b>c,且 abc0,那么它的图像是图中的 如两个二次函数的二次项系数相等,就这两个二次函数的图像外形完全相同,只是在直角坐标系中的位置 不同；A a>b>c 且 a bc0,a>0,c<0, b 24ac>0,图像开口向上,与 y 轴的截距为负,且过 1,0点3、二次函数的单调性b 2a, ,单例 3 已知二次函数yx22ax1在区间2,3 上是单二次函数fxax2bx ca 0调函数,就实数a 的取值范畴是1当a0时, fx的单调增区间是变式1已知函数 fxx 22ax 4 在区间 ,1上是递减的,求实数a 的取值范畴 ; 调减区间是 ,b 2a,fxmin4acb2；2已知函数 fxx 22ax4 的减区间是4 a, 1,求实数 a 的值解：1函数 fxx 22ax 4 的对称轴是xa,函数 fx2当a0时, fx的单调增区间是,b 2a,单x22ax4 在区间 , 1上是递减的,就,1. ,a,所以 a1. 调减区间是b 2a, ,fxmax4acab2；2由题意知, 函数 fxx22ax4 的对称轴是x 1,所以 a 1. 4第 1 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、二次函数在区间上的值域与最值学习必备欢迎下载例 4 已知二次函数fxx2 2x2. 1如 fx的定义域为 3,3,试求 fx的值域 ; 先确定二次函数抛物线的开口方向、对称轴,然后判2如 xt,t1t R,试求 fx的最小值gt断对称轴与所给区间的位置关系,如不能确定,就必【解】 1函数 fx的值域为 1,17 须分对称轴在区间内、区间外进行争论,最终确定二t 21,t0,次函数在该区间的单调性从而求出最值；2综上可知 gt1,0<t1,t 22t2,t>1.变式已知函数 fxx22ax2,x1,1,求函数 fx的最小值5、二次函数的对称性2bxca 0的图像关于直线x3 2aa>1,解：fx min2 2a1a1,32aa<1.例 5 已知函数 yfx3x26x1. 1已知 f110,不运算函数值,求f3；1二次函数 fxax2不直接运算函数值,试比较f1 2与 f3 2的大小b 2a对称；解:1 顶点坐标为 1, 2；对称轴方程为x1. 2如二次函数 yfx对定义域内全部 x,都有 fx1fx2,那么函数 yfx的图象的对称轴是 xx1 x22；3如二次函数 yfx对定义域内全部 x,都有 faxfax成立的,那么函数 yfx的图象的对称轴是 xaa 为常数 6、二次函数的平移变换f110,又 |1 1| 2,|31|2,由二次函数的对称性可知,f3f 1 10. 2fx3x1 22 的图像开口向上, 且对称轴为 x1,离对称轴越近,函数值越小又 |21|>|3 21|,f1 2>f 32变式 二次函数 fx满意 f2xf2x,又 fx在0,2上是增函数, 且 fa f0,那么实数 a 的取值范畴是 A 0, B , 0 C0,4 D,0 4, 2x2x解析 此函数图像的对称轴为 x22,在0,2 上递增,如下列图,正确答案为 C. 例 6 将二次函数 yx 2bxc 的图像向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,便得到函数 yx 22x1 的图像,1yfx向左平移h 个单位yfxh；h代求 b 与 c. 解： b 6,c 6. 2yfx向右平移h 个单位yfxh；变式二次函数y1 2x23x5 2的图像是由函数y1 2x 23 yfx向上平移 k个单位yfxk；的图像先向_左,右 平移 _ 个单位,再向4 yfx向下平移 k个单位yfxk；_上、下 平移 _个单位得到口决：左加右减,上加下减解析 y1 2x 23x5 2 1 2x322,留意：在进行左右平移时,必需用 x h或x入 yfx的 x 中,表达的是“ 替换” 的思想；将 y1 2x 2 向左平移3 个单位,再向下平移2 个单位即上述口决对全部函数的平移变换都适用；可得到 y1 2x 23x5 2的图像名师归纳总结 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、二次函数与二次方程的关系学习必备欢迎下载22m1xm1例 7 已知 fxm6x1二次函数 fx ax 2bx ca 0的图像与 x 轴的交点的横坐标是二次方程 ax 2 bxc=0 a 0的根；2如判别式 b 24ac,就 0 fx的图像与 x 轴有两个交点； 0 fx的图像与 x 轴仅有一个交点； 0 fx的图像与 x 轴没有交点；3韦达定理 根与系数的关系 已知方程 ax 2bxc=0 的两个根分别是 x x ,就：x 1 x 2 b；x x 2 ca a1 如 fx图像与 x 轴总有交点,求实数 m 的取值范畴；2当函数图像与 x 轴有两个交点且两交点的横坐标的倒数之和等于 4 时,求 m 的值；3当函数图像恒在 x 轴上方时,求 m 的范畴 . 【解】 1当 m5 9时,此函数的图像与 x 轴有交点 . 1m 的值是 3 3要使函数图像恒在 x 轴上方, 就方程 y0 无实根且 m6>0, <0,m>59,m>5m6>0,9m>6,变式 如抛物线 yx 2bx 8 的顶点在 x 轴的负半轴上,求 b 的值解： 顶点在 x 轴的负半轴上,即方程 x 2bx80 只有一个负根 b 2320,b±4 2,b42. xb 2<0,b>0,8、幂函数例 8 给定一组函数解析式：y3； 2；x4yx31幂函数的定义：32113y；yyx2；yx3；yx ；x3x3一般地,形如yx R的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量, 为常数及如下列图的一组函数图像；请把图像对应的解析式号2幂函数的图象：在同一平面直角码填在图像下方的括号内坐标系下,幂函 数 yx,yx 2,y 1 x 3, yx 2,yx 1 的 图 象 分别如右图由图 可知,第一全部幂函数的图像都 不 经 过 第 四 象 限；应重点关注幂函数图像在第答案 xm 2m3是幂函数,且当x一象限的三种形式；变式函数 fxm2m13 幂函数的性质：当 0 时； 图象都通过点 0,0,1,1；在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在0, 上是增函数当 0 时； 图象都通过点 1,1；在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小, 即在 0,上是减函数 在第一象限内, 图象向上与 y 轴无限地接近, 向右与 x 轴无限地接近0,时,fx是增函数, 就 fx的解析式为 _解析 依据幂函数定义,得 m 2m11,解得 m 2 或 m 1. 当 m2 时, fxx 3 在 0, 上是增函数；3 在0, 上是减函数,不合题 当 m 1 时, fxx 意故 fxx 3. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载过关练习题1、已知函数 fxx 2 2x2 的定义域和值域均为 1,b,就 b 等于 A 3 B2 或 3 C2 D1 或 2 解析 函数 fxx 22x2 在1,b上递增, 由已知条f1 1,b 2 3b2 0,件 fbb,即 得 b2.答案 C b>1.b>1,2、如 fx3x 22a1xb 在区间 ,1上是减函数,就 a 的取值范畴是 A , 2 B2, C , 2 D2, 解析 对称轴 x1a 3,又开口向上,在 ,1a1 上是减函数 31,a2. 答案 A 3、设 b>0,二次函数 yax 2bxa 21a 0的图像为如下列图的四个图像之一 ,就 a 的值为 A 1 B 1 C.125由于D. 152【解析】b>0,所以二次函数图像的对称轴不为 x0,所以图像 可以排除 又图像 过原点,即 a 210,所以 a±1.又 b>0,如 a 1,就有对称轴 xb 2a<0,与图像 冲突,所以 a 1,且该函数的图像为 . 4、二次函数 fxax 2bx ca 0图像如下列图,有以下结论：abc<0；abc>0；abc>0；b2a. 其中正确结论个数是 D A 1 B 2 C 3 D4 5、如函数 fxxabx2a常数 a、bR是偶函数,且它的值域为 ,4,就该函数的解析式 fx_. 解析 fxbx 2ab 2ax2a 2,由已知条件 ab2a0,又 fx的值域为 ,4 ,a 0,就 b 2,因此 fx 2x 24. 答案2x 2 4 2a 2 4.6、已知二次函数 yx 2 2x3 在区间 0,m上有最大值 3 和最小值 2,就 m 的取值范畴是 . 【解析】 1,2. 7、已知函数 y 3xm 2 2m 2,当 x2,3 时,y 有最大值 8,求 m 的值解：已知抛物线的对称轴为 xm,相对于区间 2,3 有三种情形：当 2m3时, ymax2m 28,解得 m ±2,2m3, m 2 舍去, m2. 当 m<2 时, ymaxf2 32 m2 2m28,即 m 212m200,m2,或 m10,而 m<2,无解当 m>3 时, ymaxf3 33 m 2 2m 28,即 m 218m350,m9±46. m>3, m946舍去 m946,综上所述, m2,或 m946. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页