2022年五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算》.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 其次讲不规章图形面积的运算（二）学习必备欢迎下载S阴影=S扇形ACBS 扇形ACDS 正方形ABCD不规章图形的另外一种情形,就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规章图形=4×AB2× 2AB2ABE 半径 AE=6 厘米,扇形组合而成的,这是一类更为复杂的不规章图形,为了运算它的面积,经常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规章图形的和、差关系,同时仍常要和“ 容斥原=4×42× 242理” 合并使用才能解决；例 1：如下图（ 1）,在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个半圆,求阴影部=16× （21） 16×3 .142=9.12（平方厘米）；分的面积；2例 3：如下图,矩形ABCD 中, AB=6 厘米, BC=4 厘米,扇形CBF 的半径 CB=4 厘米；求阴影部分的面积；ADEF 1 2 2）；这时,右图BC解法一：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆,得到图（中阴影部分与不含阴影部分的大小外形完全一样,因此它们的面积相等；所以上图中阴影部分的面3）所解： S 阴景=S 扇形 ABES 扇形 CBFS 矩形 ABCDAB=20 厘米,假如阴影（1）的面积等于正方形面积的一半；=1××6 21××4 26× 4 解法二：将上半个“ 弧边三角形” 从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如图（44示；阴影部分的面积是正方形面积的一半；=1×（3616） 24 4=1324 =15（平方厘米）（取=3）例 4：如下图,直角三角形ABC 中, AB 是圆的直径,且A 3 4 4）所示；阴1解法三：将下面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三角形的两侧,如图（影部分的面积是正方形的一半；4 厘米为半径在正方积比阴影（ 2）的面积大7 平方厘米,求BC 长；B2C例 2：如下图,正方形ABCD 的边长为 4 厘米,分别以B、D 为圆心以形内画圆,求阴影部分面积；分析已知阴影（ 1）比阴影（ 2）的面积大7 平方厘米,就是半圆面积比三角形面积大7 平方厘米；又知半圆直径AB=20 厘米,可以求出圆面积；半圆面积减去7 平方厘米,就可求出三角形 ABC 的面积,进而求出三角形的高BC 的长；解： BC 的长 =3.14 × 20 22÷ 27× 2÷ 20 =1577× 2÷ 20 =15厘米 ；例 5 如下图,两个正方形边长分别是10 厘米和 6 厘米,求阴影部分的面积；解：由容斥原理,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - GF学习必备欢迎下载阴影部分面积是9；FA=AD=DE=1 ,求阴影部分的面积；2例 7 如下图, ABCD 是正方形,且EDMBCWNIA10B6CFAD,E分析阴影部分的面积,等于底为16、高为 6 的直角三角形面积与图中（）的面积之差；而图中（）的面积等于边长为6 的正方形面积减去1的以 6 为半径的圆的面积；解：阴影 M 的面积阴影N 的面积 = BCD 的面积 =1 24解： S阴影=S三角形 ACD （ S正方形 BCDES扇形 EBD）=110666612 6 24=489（3 ）=39（平方厘米） ；例 6 如下图,将直径AB 为 3 的半圆绕 A 逆时针旋转60° ,此时AB 到达 AC 的位置,求阴影部分的面积（取3）；C名师归纳总结 III例 8 如下图,ABC 是等腰直角三角形, D 是半圆周上的中点, BC 是半圆的直径, 且 AB=BC=10 ,第 2 页,共 4 页D求阴影部分面积；ABSDAB解：整个阴影部分被线段CD 分为 I 和 II 两部分,以AB 为直径的半圆被弦AD 分成两部分,EC设其中 AD 右侧的部分面积为S,由于弓形AD 是两个半圆的公共部分,去掉AD 弓形后,两个半圆的剩余部分面积相等；即II=S ,由于：IS=60° 圆心角扇形ABC 面积=3269,解： 三角形 ABC 是等腰直角三角形, 以 AC 为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE,2就 ABCD 为正方形；III=9 2； S阴影=（ S正方形 ABCD S 半圆S ADE）÷ 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =（10× 10×52÷ 21 2×10× 15）÷ 2 学习必备欢迎下载=（10039.2575）÷ 2 =64.25÷ 2=32.125 总结：对于不规章图形面积的运算问题,一般将它转化为如干基本规章图形的组合,分析整体 与部分的和、差关系,问题便得到解决；常用的基本方法有：一,相加法：这种方法是将不规章图形分解转化成几个基本规章图形,分别运算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积；二,相减法：这种方法是将所求的不规章图形的面积看成是如干个基本规章图形的面积之差；三,直角求法：这种方法是依据已知条件,从整体动身直接出求不规章图形面积；四,重新组合法：这种方法是将不规章图形拆开,依据详细情形和运算上的需要,重新组合成 一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可；五,帮助线法：这种方法是依据详细情形在图形中添一条或如干条帮助线,使不规章图形转化 成如干个基本规章图形,然后再采纳相加、相减法解决即可；六,割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分,使之成为基本规 就图形,从而使问题得到解决；七,平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个 新的基本规章图形,便于求出面积；八,旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转肯定角 度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规章的图形,便于求出面积；九,对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规章图形,原先 图形面积就是这个新图形面积的一半；十,重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分,然后运用“ 容 斥原理” 解决；习题二 一,填空题（依据图中所给的数据求阴影部分面积）；二,解答题：1,如下图,大圆的直径为 4 厘米,求阴影部分的面积；2,如下图,大扇形半径是 6 厘米,小扇形半径是 3 厘米,求阴影部分的面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载7,如下图（ a）, ABC 是等腰直角三角形,直角边AB=2 厘米,求阴影部分的面积；3,如下图,三个同心圆的半径分别是2、6、10,求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之8,如下图（ b）,半径 OA=OB=OC=9 厘米, 1=2=15° ,求阴影部分的面积；几？a b 4,如下图,正方形ABCD 边长为 1 厘米,依次以A、 B、C、D 为圆心,以 AD 、BE、CF、DG 为半径画出扇形,求阴影部分的面积；5,如下图（ a）,求阴影部分的面积；6,如下图（ b）,把 OA 分成 6 个等分,以 O 为圆心画出六个扇形,已知最小的扇形面积是10 平方厘米,求阴影部分的面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
