2022年苏教版九年级数学全册知识点汇总3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点第一章 教学内容： 证明（二）重点：直角三角形,线段垂直平分线与角平分线的证明 难点： 证明逆命题的真假,角平分线的证明及其对逆命题的懂得 易错点： 线段的垂直平分线和角平分线的定理及逆定理的判别 其次章 教学内容： 一元一次方程 重点： 用配方法,公式法,分解因式法解一元一次方程 难点： 黄金分割点的懂得,用配方法解方程 易错点： 利用因式分解法和公式法解方程 第三章 教学内容： 证明（三）重点： 特殊的平行四边形的性质与判定,平行四边形的性质与判定 难点： 特殊的平行四边形的证明 易错点： 各定理之间的判别 第四章 教学内容： 视图与投影 重点： 某物体的三视图与投影 难点： 懂得平行投影与中心投影的区分 易错点： 三视图的懂得,中心投影与平行投影的区分 第五章 教学内容： 反比例函数 重点： 反比例函数的表达式,反比例函数的图像的概念与性质 难点： 反比例函数的运用,猜想,证明与拓展 易错点： 主要区分反比例函数与 x 轴和与 y 轴无限靠近 第六章 教学内容： 频率与概率 定义和命题： 频率与概率的概念 难点： 懂得用频率去估量概率 易错点： 频率是样本中才显现的,概率是整体中出项的 苏教版九年级数学上学问点汇总第一章 图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“ 三线合一” ）；等腰三角形的 两底角相等（简称“ 等边对等角” ）；等腰三角形的判定定理：假如一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称“ 等角对等边” ）；1.2 直角三角形全等的判定定理：HL” ）；角平分线的性质：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的判定：30° 的角所对的直角边事斜角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上；直角三角形中,边的一半；名师归纳总结 1.3 平行四边形的性质与判定：第 1 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点定理 2：平行四边定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理 1：平行四边形的对边相等；形的对角相等；定理 3：平行四边形的对角线相互平分；判定从边： 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线：对角线相互平分的四边形是平行四边形；矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形；定理 1：矩形的 4 个角都是直角；定理 2：矩形的对角线相等；定 理 ： 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ；判 定 ： 1 有 三 个 角 是 直 角 的 四 边 形 是 矩形；2 对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；定理 1：菱形的 4 边都相等；定理 2：菱形的对角线相互垂直,并且每一条对角线平分一组对角；判定： 1 四条边都相等的四边形是菱形；2 对角线相互垂直的平行四边形是菱形；正方形的性质与判定：正方形的 4 个角都是直角, 4 条边都相等, 对角线相等且相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角；正方形即是特殊的矩形,又是特殊的菱形,它具有矩形和菱形的全部性质；形是正方形；2 有一组邻边相等的平行四边形是正方形；1.4 等腰梯形的性质与判定判定： 1 有一个角是直角的菱定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；定理 1：等腰梯形同一底上的两底角相等；定理 2：等腰梯形的两条对角线相等；判定：1 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；1.5 中位线 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半；2 对角线相等的梯形是等腰梯形；梯形的中位线平行于两底,并且等于两底的一半；中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形肯定是平行四边形）；原四边形对角线 中点四边形相等 菱形相互垂直 矩形相等且相互垂直 正方形其次章 数据的离散程度2.1 极差：一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差；运算公式：极差 =最大值 - 最小值；极差是刻画数据离散程度的一个统计量,可以反映一组数据的变化范畴；一般说,极差越小,就说明数据的波动幅度越小；2.2 方差各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差,记作 S2；巧用方差公式：1、基本公式： S2=n1X1-X 2+X2-X 2+, +Xn-X 2 2、简化公式： S2=n1X12+X22+, +Xn2-nX 2 也可写成： S2=n1X12+X22+, +Xn2-X 2 名师归纳总结 3、简化： S2=n1X 12+X22+, +Xn2-nX 2 第 2 页,共 20 页也可写成 : S2=n1X12+X22+, +Xn2-X 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 标准差 : 名师总结优秀学问点意义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差, 记作 S；1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情形的特点,常用来比较两组数据的波动大小,我们通常讨论的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情形；波动较小；2、方差较大的波动较大,方差较小的3、方差大,标准差就大,方差小,标准差就小；因此标准差同样反映数据的波动大小；留意：对两组数据来说,极差大的那一组不肯定方差大,反过来,方差大的极差也不肯定大；第三章 二次根式 3.1 二次根式 定义：一般地,式子（a 0）叫做二次根式,a 叫做被开方数；a 0 时,有意义；当 a0 时,无意义；有意义条件：当 性质：1、 0（ a0）2、（） 2=a（a0）3、 2= a = a（ a0）=（ a 0,b 0）= （ a0,b a（a0）3.2 二次根式的乘除法法就： a· b=aba 0,b 0 化简： ab=a· ba 0,b 0 =（ a 0,b 0）0）第四章 一元二次方程 4.1 概念：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程；一般形式是 aX2+bX+c=0a、b、 c 是常数, a 0 ,其中 aX2 称为二次项, a 称为二次项系数,bX 称为一次 项, b 称为一次项系数,c 称为常数项；解法：4.2 1、直接开平方2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h） 2=k 的形式（其中h,k 都是常数）,假如k0,再通过直接开平方法求出方程的解 3、公式法（求根公式）：一元二次方程 aX2+bX+c=0 （a 0）,当 b2-4ac 0 时,它的根是（0）4、因式分解法 根的判别式 b2-4ac 来判定,因此 b2-4ac 叫做一元二次方程根的 一元二次方程 aX2+bX+c=0 （a 0）的根的情形可由 判别式；当 b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根 当 b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根 X1=X2= 当 b2-4ac 0 时,方程没有实数根；反之,也成立；一元二次方程应用题步骤：“ 设、找、列、解、验、答”第五章 中心对称图形（二）5.1 圆定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合；其中,定点叫做圆心,定长叫做半径；与圆有关的概念：1、连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点半圆；大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧；3、定点在圆上的角叫做圆心角；4、圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够相互重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中,能够 相互重合的弧叫做等弧；点与圆的位置关系：在平面内,点与圆有 3 中位置关系：点在圆内,点在圆上,点在圆外；假如设O的半径为 r ,点 P 到圆心 O的距离为 d,那么“ 点 P 在圆内 dr; 点 P 在圆上 d=r ；点 P在圆外 d r ”5.2 圆的对称性 圆是中心对称图形,圆心是对称中心；圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分 别相等；5.3 圆周角 概念：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；定理：同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；（圆心与圆周角的位置关系分为三种情形：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）周角是直角；2、90° 的圆周角对的弦是直径；5.4 确定圆的条件 条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆；推论： 1、直径（或半圆）所对的圆外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点,这个点叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形5.5 直线与圆的位置关系1、直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交；（dr ）2、直线与圆有唯独的公共点,叫做直线与圆相切, 这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点； （ d=r ） 3、直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离；（dr ）直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分,它们的结果是一样的；切线的性质与判定：判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线；性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）1、经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点；2、 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 3、 切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径；内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心,它是三角形的三条角平分线的交点；形；5.6 圆与圆的位置关系 性质与判定：这个三角形叫做圆的外切三角假如两圆的半径分别为 R和 r ,圆心距为 d,那么 两圆外离 d R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r d R+r（R r ）两圆内切 d=R-rR r 两圆内含 0 dR-r （Rr ）连心线的性质：名师归纳总结 圆是轴对称图形,从上表中可以看出它们都是轴对称图形；沿O1、O2所在直线（连心线）对折,发觉：两第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点圆相切,直线 O1O2必过切点；两圆相交,连心线垂直平分它们的公共弦；5.7 正多边形与圆正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；性质：正多边形都是对称图形,一个正n 边形共有 n 条对称轴,没条对称轴都通过正n 边形的中心；一个正多边形假如有偶数条边,那么它既是轴对称图形,又是中心对称图形；假如一个正多边形是中心对称图形,那么它的中心就是对称中心；1、边数相同的正多边形相像；2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆；友情提示：（ 1）边数相同的正多边形相像,这是解与正多边形有关问题常用到的学问；（ 2）任何三角形都有外接圆和内切圆,过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆；但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆；作正多边形：作半径为 R的正 n 边形的关键是 n 等分圆；这就要学习两种方法：（1）用量角器等分圆, 可以作任意正多边形,这是近似作法； 详细地说先运算出顶点在圆心的角的度数,即正 n 边形的圆心角为,然后依次用量角器将圆等分,顺次连接各分点,就作出正 n 边形；（2）用尺规等分圆,作正方形和正六边形；详细地说：先作出两条相互垂直的直径,将圆四等分,顺次连接各分点,就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦,将圆六等分,顺次连接各等分点,就作出正六边形；友情提示：在作正多边形时,要从圆周上某一点开头连续截取等弧,否就,易产生误差；5.8 弧长及扇形的面积圆的周长公式 C=2 R,其中 是圆的周长与直径的比值, 称为圆周率；弧长公式： l= ,其中,表示 1° 的圆心角的倍数,它不带单位,R为圆的半径, l 为 n° 的圆心角所对的弧长；扇形面积公式：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形；圆心角为 n° 的扇形面积的运算公式为 S 扇形=；弧长为 l 的扇形面积的运算公式为 S 扇形=lR ；公式中的 n 应懂得为 1° 的圆心角的倍数,不带单位,同时要留意与弧长：l= 公式进行比较,防止混淆；公式与三角形面积公式相类似,在 S=lR 中,把扇形看成一个曲边三角形,把弧长 l 看作底, R看作高,这样对比,有助于懂得与记忆公式；5.9 圆锥侧面积和全面积圆锥的侧面绽开：圆锥的侧面绽开图是扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 l=2 r ；名师归纳总结 这个扇形的半径等于圆锥的母线长l 母线 = 第 5 页,共 20 页这个扇形的圆心角S 侧面积=·360°这个扇形的面积等于圆锥的侧面积=S 扇形=·2 r ·l= r ·l - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点圆锥与圆柱的比较名师归纳总结 圆柱：由一个矩形旋转得到,如矩形ADDG绕直线 AB旋转一周第 6 页,共 20 页 S侧=2 rh Rt SOA绕直线 SO旋转一周 S全= S 侧+2S底=2 rh+2 r2 V= r2h 圆锥：由一个直角三角形旋转得到,如 S侧= r S全= S 侧+S底= r + r2 V= r2h - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点九年级数学全册学问点总结上册 第一章、图形与证明（二）（一）、学问框架等腰三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定1. 等腰三角形 二 学问详解线段的垂直平分线的性质和判定的两个底角相等（等边对等角）21、等腰三角形的判定、性质及推论 角的平分线的性质和判定性质： 等腰三角形判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的；2 2、等边三角形的性质及判定定理 2. 直角三角形全等的判定：HL高相互重合 （即“ 三线合一”）性质定理：等边三 个角都等于 60 度；角形的三个角都相等,并且每平行四边形的性质和判定：4 个判定定理等边三角形的三条边都满意“ 三线合一”的性质； 等边三角形是轴对称图形,有 3 条对称 3. 平行四边形判定定理： 有一个轴；矩形的性质和判定角是 60 度的等腰三角形是等边三角形；或者三个角都相等的三角形是 3 个判定定理等边三角正方形的性质和判定：2 个判定定理 平分线23、线段的垂直形；（1）线段垂直平分线的性质及判定性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等；判定： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直 平分线上；（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等；（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B 为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、 N；作直线 MN,就直线 MN就是线段 AB的垂直平分线；2 4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；4. 等腰梯形的性质和判定 判定：在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在 这个角的平分线上；（2）三角形三条角平分线的性质定理 留意：（ 1）解决梯形问题的基本思路: 通过 分割 和拼接 转化成 三角形 和平行四边形 进行解决；名师归纳总结 性质：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三 即需要把握 常作的帮助线；条边的距离相等；第 7 页,共 20 页（3）如何用尺规作图法作出角平分线 2 5、直角三角形（ 2）梯形的面积公式：S1abhlh（ l - 中位线长）2（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的中位线三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；5. 中位线假如三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形；（2）直角梯形的中位线 三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2.6 、几种特殊四边形的性质边 角 对角线平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线相互平分矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线相互平分且相等菱形 对边平行, 四条边 对角相等 对角线相互垂直平分,每一条对角都相等 线平分一组对角正方形 对边平行, 四条边 四个角都是直角 对角线相互垂直平分且相等,每一都相等 条对角线平分一组对角等腰梯形 两条底边平行,两 同一底上的两个 对角线相等腰相等 角相等 2.7. 几种特殊四边形的判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）一组对边平行且相等（4）两条对角线相互平分（5）两组对角分别相等矩形（1）有三个角是直角（2）是平行四边形,并且有一个角是直角（平行四边形,并且两条对角线相等菱形（1）四条边都相等（2）是平行四边形,并且有一组邻边相等（行四边形,并且两条对角线相互垂直正方形 （1）是矩形,并且有一组邻边相等（2）是菱形,并且有一个角是直角等腰梯形（1）是梯形,并且两条腰相等（2）是梯形,并且同一底上的两个角相等（3）是梯形,并且对角线相等2.8 、三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线A区分三角形的中位线与三角形的中线；三角形中位线的性质BDECF三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半2.9 、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；留意：中位线是两腰中点的连线,而不是两底中点的连线；梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半；其次章、数据的离散程度（一）学问点复习1、极差：一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差；运算公式：极差 =最大值 - 最小值；极差是刻画数据离散程度的一个统计量,可以反映一组数据的变化范畴；一般说,极差越小,就说明数据的波动幅度越小；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2、 方差 各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差,记作 S 2；巧用方差公式：1、基本公式： S 2=1 X n2+X2-X2+ +Xn-X2 1-X2、简化公式： S 2=1 X n1 2+X2 2+ +Xn 2-nX2 也可写成： S 2=1 X 1 2+X2n2+ +Xn2-X23、简化： S 2=1 X n1 2+X22+ +Xn 2-nX 2 也可写成 : S2=1 X n12+X2 2+ +Xn 2-X2 3、标准差 : 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差, 记作 S；S=1x1x2.xnx2n意义 ：1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情形的特点,常用来比较两组数据的波动大小,我们通 常讨论的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情形；2、方差较大的波动较大,方差较小的波动较小；3、方差大,标准差就大,方差小,标准差就小；因此标准差同样反映数据的波动大小；留意：对两组数据来说,极差大的那一组不肯定方差大,反过来,方差大的极差也不肯定大；第三章、二次根式（一）、学问框架名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点a a0定义：形如：概念 最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开尽方的因数或因式二性质a2a a00a2a a 为实数）abab a0,b次根aa a b0,b0b加减法： 先将二次根式化成最简的二次根式,再将被开方数相同的二次根式进 行合并；运算乘法：abab a0,b0混 合 运 算除法：aa a b0,b0b第四章、一元二次方程（一）学问框架一元二次方程的概念一 元 二 次一元二次方2 axbxc0a0bb24 ac直接配方法x因式分解法2a程的解法配方法方 程公式法一元二次方一 元 二方程2 ax ax2bx bxcc0 0 a a0, 0,的0 , 方程有两个不b a, 次方程两根为 相等的实根 ; =0 时, x 1 x 2方程有两个相等的实x x 根 ; 2 c 0 时 , 方程无实根 . a的根的程的探究情形一 元 二名师归纳总结 次 方 程第 10 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（二）、学问详解1、一元二次方程定义含有一个未知数,并且未知数的最高次数是（二） 、一元二次方程的一般形式2 的整式方程叫做一元二次方程；ax2bxc0a0 ,它的特点是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项, a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项, b 叫做一次项系数；c 叫做常数项；2、一元二次方程的解法1、直接开平方法x直 接 开平 方法 适用 于 解形 如xa2b的 一 元二 次方 程； 当b0时 ,xab,ab；当 b<0 时,方程没有实数根；2、配方法一般步骤：（ 1）方程 ax 2bx c 0 a 0 两边同时除以 a, 将二次项系数化为 1. （ 2）将所得方程的常数项移到方程的右边；（ 3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（ 4）配方,化成 x a 2 b（5）开方；当 b 0 时,x a b；当 b<0 时,方程没有实数根；3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法；名师归纳总结 一元二次方程ax2bxc20a0的求根公式：第 11 页,共 20 页xb0b24acb4ac2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点4、因式分解法 一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法；3：一元二次方程根的判别式 根的判别式1 、 定 义 ： 一 元 二 次 方 程ax2bxc0a0 中 ,b24ac叫 做 一 元 二 次 方 程4ac 0 时,方程有两个相等ax2bxc0a0的根的判别式；2、性质：当b24ac 0 时,方程有两个不相等的实数根；当b2的实数根；当b24ac 0 时,方程没有实数根；4：一元二次方程根与系数的关系假如方程ax2bxc0a0的两个实数根是x ,x 2,那么x 1x2b,x 1x2c；aa应将每千克小型西瓜的售价降低多少元. 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元依据题意,得：32x200x402420001.解得：1x 0.2 ,x 0.3 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2 或 0.3 元；第五章、中心对称图形二（圆的有关学问）（一）、学问框架与 圆 有 关 的 位 置 关 系圆的定义 ,弧、弦等概念垂径定理及其推论圆的对称性基本性质弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论圆周角定理及其推论不共线的三点确定一个圆 确定圆的条件 三角形的外接圆名师归纳总结 圆点和圆的位置关系点在圆上rdr判切 线 长 定 理第 12 页,共 20 页点在圆外dr点在圆内dr相交d定三- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 正多边形和圆名师总结优秀学问点圆内接正多边形正多边形的有关运算正多边形的半径、边心距、正多边形的内角、中心角、（二）学问点详解一、圆的概念 正 多 集合形式的概念：边 圆 内 接 正 多 边 形1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；形 与 作法 -等份圆2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合外角、正多边形的周长、正三、六、十二边形正四、八边形轨迹形式的概念：l n R1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；180（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 扇形的弧长、面积 23、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；S 扇形 n R 1 lR360 24、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；其中 l 为弧长, R为半径二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；侧面积点 B 在圆上；全面积圆锥 点 A 在圆外；AS 侧S 绽开的扇形dO2、点在圆上drd3、点在圆外drS 全S 底rS侧三、直线与圆的位置关系轴截面BC名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、直线与圆相离dr名师总结优秀学问点无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdrdd=r四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr；rr ；dr外切（图 2）有一个交点dRr ；相交（图 3）有两个交点RrdR内切（图 4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr ；drdRR图1图 2ddRrRRr图 4图 5图 3五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理： 此定理中共 5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BDB 弧 AC弧 ADD中任意 2 个条件推出其他3 个结论；DA推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中, AB CDCO弧 AC弧 BDCO六、圆心角定理AE圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等；此定理也称 1 推 3 定理,即上述四B个结论中,E只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,FO D名师归纳总结 ACB第 14 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结即： AOB DOE；AB DE ； OC OF； 弧BA 弧 BD优秀学问点七、圆周角定理 C1、圆周角定理 ：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角BDOCAAAOB2ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 O 中,C、D都是所对的圆周角CDBCOCA推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径；即：在 O 中, AB 是直径或C90C90 AB 是直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形；即：在 ABC 中, OCOAOBBO ABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中, 四边形 ABCD 是内接四边形CBAD180BD180DAECBCODA九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即： MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线OBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；MAN十、切线长定理切线长定理：B从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线