2022年初中数学证明题常见辅助线作法规律.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学证明题常见帮助线作法规律中学数学证明题常见帮助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编； 人们从来就是用自己的聪慧才智制造条件解决问题的,；中学几何常见帮助线作法歌诀；人说几何很困难,难点就在帮助线；帮助线,如何添？把握定理和概念；仍要刻苦加 钻研,找出规律凭体会；三角形；图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图 对折看,对称以后关系现； 角平分线平行线, 等腰三角形来添； 角平分线加垂线,三线合一试试中学数学证明题常见帮助线作法记忆歌诀及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪慧才智制造条件解决问题的,当问题的条件不够 时,添加帮助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知 的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略；中学几何常见帮助线作法歌诀人说几何很困难,难点就在帮助线；帮助线,如何添？把握定理和概念；仍要刻苦加钻研,找出规律凭体会；三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；线段垂直平分线,常向两端把线连；要证线段倍与半,延长缩短可试验；三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中线；四边形平行四边形显现,对称中心等分点；梯形里面作高线,平移一腰试试看；平行移动对角线,补成三角形常见；证相像,比线段,添线平行成习惯；等积式子比例换,查找线段很关键；直接证明有困难,等量代换少麻烦；斜边上面作高线,比例中项一大片；圆名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载半径与弦长运算,弦心距来中间站；圆上如有一切线,切点圆心半径连；切线长度的运算,勾股定理最便利；要想证明是切线,半径垂线认真辨；是直径,成半圆,想成直角径连弦；弧有中点圆心连,垂径定理要记全；圆周角边两条弦,直径和弦端点连；弦切角边切线弦,同弧对角等找完；要想作个外接圆,各边作出中垂线；仍要作个内接圆,内角平分线梦圆；假如遇到相交圆,不要忘作公共弦；内外相切的两圆,经过切点公切线；如是添上连心线,切点确定在上面；要作等角添个圆,证明题目少困难；帮助线,是虚线,画图留意勿转变；假如图形较分散,对称旋转去试验；基本作图很关键,平常把握要娴熟；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解题仍要多心眼,常常总结方法显；切勿盲目乱添线,方法敏捷应多变；分析综合方法选,困难再多也会减；虚心勤学加苦练,成果上升成直线；二 由角平分线想到的帮助线口诀： 图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等；对于有角平分线的帮助线的作法,一般有两种；从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线,构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）；通常情形下, 显现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线； 其它情形下考虑构造对称图形；至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件；与角有关的帮助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在肯定的规律基本之上的,期望同学们能名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载把握相关的几何规律, 在解决几何问题中大胆地去猜想,按肯定的规律去尝试；（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线, 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交, 就截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点, 该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质；线的线段,就延长该线段与角的另一边相交）；（假如题目中有垂直于角平分 四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时, 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰 三角形；或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形；三 由线段和差想到的帮助线口诀：线段和差及倍半,延长缩短可试验；线段和差不等式,移到同一三角去；遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等 于另一条；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段；对于证明有关线段和差的不等式, 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想方法放在一个三角形中证明；一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形, 使结论中显现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边, 构造三角形, 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：三、 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,留意：当证题有角平分线时, 常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素；四、 截长补短法作帮助线；四 由中点想到的帮助线口诀：三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中线；在三角形中, 假如已知一点是三角形某一边上的中点,那么第一应当联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等 腰三角形底边中线性质）,然后通过探究,找到解决问题的方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形（二）、由中点应想到利用三角形的中位线（三）、由中线应想到延长中线（四）、直角三角形斜边中线的性质（五）、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线（六）中线延长口诀：三角形中有中线,延长中线等中线；题目中假如显现了三角形的中线,得到全等三角形；常延长加倍此线段, 再将端点连结, 便可当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段, 构造全等三角形,使题中分散的条件集中；五 全等三角形帮助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论动身,看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可 能全等的三角形中；（2）可以从已知条件动身,看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）如上述方 法均不行,可考虑添加帮助线,构造全等三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三角形中常见帮助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折, 构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形；常见帮助线的作法有以下几种：1 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“ 三线合一” 的性质解题,思维模式是全等变换中的“ 对折” 2 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“ 旋转” 3 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折”,所考学问点常常是角平分线的性质定理或逆定理4 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“ 平移” 或“ 翻转折叠”5 截长法与补短法,详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时,点的线段连接起来,利用三角形面积的学问解答（一）、倍长中线（线段）造全等（二）、截长补短（三）、平移变换常把某点到原三角形各顶名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（四）、借助角平分线造全等（五）、旋转六 梯形的帮助线口诀：梯形问题巧转换,变为 和 ；平移腰,移对角,两腰延长作出高；假如出现腰中点,细心连上中位线；上述方法不奏效,过腰中点全等造；通常情形下,通过做帮助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,是解梯形问题的基本思路； 至于选取哪种方法, 要结合题目图形和已知条件；常见的几种帮助线的作法如下：（一）、平移1、平移一腰：（二）、延长即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形；（三）、作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形；（四）、作梯形的高1、作一条高（五）、作中位线名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、已知梯形一腰中点,作梯形的中位线；2、已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延 长与底边相交,使问题转化为三角形中位线；3、在梯形中显现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解 题的目的；1圆中作帮助线的常用方法：（1）作弦心距,以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理；（2）如题目中有“ 弦的中点” 和“ 弧的中点” 条件时,一般连接中点和圆 心,利用垂径定理的推论得出结果；（3）如题目中有“ 直径” 这一条件,可适当选取圆周上的点,连结此点与 直径端点得到 90 度的角或直角三角形；（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角,以得到等角；（5）如题中有与半径（或直径）垂直的线段,（6）如题目中有“ 切线” 条件时,一般是：对切线引过切点的半径,（7）如题目中有“ 两圆相切”（内切或外切）,往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系；（8）如题目中有“ 两圆相交” 的条件,常常作两圆的公共弦,使之得到同名师归纳总结 弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决,有时仍引两连心线以得到结果；（9）第 10 页,共 24 页有些问题可以先证明四点共圆,借助于帮助圆中角之间的等量关系去证明；（1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载0）对于圆的内接正多边形的问题,往往添作边心距,抓住一个直角三角形去解决；一、造直角三角形法 1. 构成 Rt , 常连接半径2. 遇有直径 , 常作直径上的圆周角3. 遇有切线 , 常作过切点的半径4. 遇有公切线 , 常构造 Rt 斜边长为圆心距 , 始终角边为两半径的差 , 另一直角边为公切线长 三、转换割线与弦相交的角,常构成圆的内接四边形一、见中点引中位线,见中线延长一倍；假如给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中；作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个；三、对于梯形问题,常用的添加帮助线的方法有1、过； 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一； 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的 延长线相； 6、作梯形的中位线 7 延长两腰使之相交添帮助线有二；如证明二直 线垂直可延长使一、见中点引中位线,见中线延长一倍名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载假如给出中点或中线, 可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题；二、在比例线段证明中,常作平行线；作平行线时往往是保留结论中的一个比,一个比联系起来；然后通过一个中间比与结论中的另三、对于梯形问题,常用的添加帮助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线 7 延长两腰使之相交添帮助线有二种情形：（1）按定义添帮助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90° ,证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍,证角的倍半关系也可类似添帮助线（2）按基本图形添帮助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形, 添帮助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“ 添线”应当叫做“ 补图” ！这样可防止乱添线,添帮助线也有规律可循,举例如下：平行线是个基本图形：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当几何中显现平行线时添帮助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线等腰三角形是个简洁的基本图形：当几何问题中显现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形；显现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；显现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形；直角三角形斜边上中线基本图形显现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线显现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边就要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形；三角形中位线基本图形几何问题中显现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时就添中位线,当有中位线三角形不完整时就需补完整三角形当显现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点就可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当显现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,就可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形；全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载假如显现两条相等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转；当几何问题中显现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,端点添平行线相像三角形：添加方法是将四个端点两两连结或过二相像三角形有平行线型（带平行线的相像三角形）,相交线型,旋转型当显现相比线段重叠在始终线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相像三角形；如平行线过端点添就可以分点或另一端点的线段为平行方 向,这类题目中往往有多种浅线方法；特别角直角三角形当显现 30,45,60,135,150 度特别角时可添加特别角直角三角形,利用45 角直角三角形三边比为1：1：2； 30 度角直角三角形三边比为1：2：3进行证明半圆上的圆周角显现直径与半圆上的点, 添 90 度的圆周角显现 90 度的圆周角就添它所对弦- 直径人说几何很困难,难点就在帮助线；帮助线,如何添？把握定理和概念；仍 要刻苦加钻研,找出规律凭体会；图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图 对折看,对称以后关系现； 角平分线平行线, 等腰三角形来添； 角平分线加垂线,三线合一试试看；线段垂直平分线,常向两端把线连；要证线段倍与半,延长缩短可试验；三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中 线；平行四边形显现,对称中心等分点；梯形里面作高线,平移一腰试试看；平名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载行移动对角线,补成三角形常见；证相像,比线段,添线平行成习惯；等积式子 比例换,查找线段很关键； 直接证明有困难, 等量代换少麻烦； 斜边上面作高线,比例中项一大片；半径与弦长运算,弦心距来中间站；圆上如有一切线,切点圆心半径连；切线长度的运算,勾股定理最便利；要 想证明是切线,半径垂线认真辨；是直径,成半圆,想成直角径连弦；弧有中点 圆心连,垂径定理要记全； 圆周角边两条弦, 直径和弦端点连； 弦切角边切线弦,同弧对角等找完；要想作个外接圆,各边作出中垂线；仍要作个内接圆,内角平 分线梦圆；假如遇到相交圆,不要忘作公共弦；内外相切的两圆,经过切点公切 线；如是添上连心线,切点确定在上面；要作等角添个圆,证明题目少困难；辅 助线,是虚线,画图留意勿转变；假如图形较分散,对称旋转去试验；基本作图 很关键,平常把握要娴熟； 解题仍要多心眼, 常常总结方法显； 切勿盲目乱添线,方法敏捷应多变；中学数学帮助线的添加浅谈； 人们从来就是用自己的聪慧才智制造条件解决问题的,；一添帮助线有二种情形：；1 按定义添帮助线：；如证明二直线垂直可延长使它们 , 相交后证交角为 90；2 按基本图形添帮助线：；每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫；（1）平行线是个基本图形：；当几何中显现平行线时添帮助线的关键是添与二条平行；第三条直线；（2）等腰三角形是个简洁名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学帮助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪慧才智制造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加帮助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略；一添帮助线有二种情形：1 按定义添帮助线：如证明二直线垂直可延长使它们, 相交后证交角为 90° ；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添帮助线；2 按基本图形添帮助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“ 添线” 应当叫做“ 补图” ！这样可防止乱添线, 添帮助线也有规律可循； 举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中显现平行线时添帮助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简洁的基本图形：名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当几何问题中显现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形；（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：显现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；显现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形；（4）直角三角形斜边上中线基本图形显现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线；显现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边就要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上 中线基本图形；（5）三角形中位线基本图形几何问题中显现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有 中点没有中位线时就添中位线,当有中位线三角形不完整时就需补完整三角形；当显现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点就可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当显现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点, 就可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线 基本图形；（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形, 中心对称形, 旋转形与平移形等； 假如显现两条相 等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴, 或将三角形沿对称轴翻转； 当几何问题中显现一组或两组相等线段名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相像三角形：相像三角形有平行线型（带平行线的相像三角形）,相交线型,旋转型；当显现相比线段重叠在始终线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相像三角形； 如平行线过端点添就可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类 题目中往往有多种浅线方法；（8）特别角直角三角形当显现 30,45,60,135,150 度特别角时可添加特别角直角三角形,利用45 角直角三角形三边比为1：1：2； 30 度角直角三角形三边比为1：2：3进行证明（9）半圆上的圆周角显现直径与半圆上的点, 添 90 度的圆周角； 显现 90 度的圆周角就添它所对 弦- 直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样；二基本图形的帮助线的画法1. 三角形问题添加帮助线方法方法 1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍；含有中点的题目,常常利用三角形的中位线, 通过这种方法, 把要证的结论恰当的转移, 很简洁地解决了 问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载方法 2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质 和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的学问解决问题；方法 3：结论是两线段相等的题目常画帮助线构成全等三角形,或利用关于 平分线段的一些定理；方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采 用截长法或补短法, 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分 等于第一条线段,而另一部分等于其次条线段；2. 平行四边形中常用帮助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有 某些相同性质,所以在添帮助线方法上也有共同之处, 目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相像,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方 形等问题处理,其常用方法有以下几种,举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造 线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相像或等 积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等 . 3. 梯形中常用帮助线的添法名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载梯形是一种特别的四边形； 它是平行四边形、 三角形学问的综合, 通过添加适当的帮助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决；帮助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的帮助线有：（1）在梯形内部平移一腰；（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点；（8）过一腰的中点作另一腰的平行线；（9）作中位线当然在梯形的有关证明和运算中,添加的帮助线并不肯定是固定不变的、单一的；通过帮助线这座桥梁, 将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键；4. 圆中常用帮助线的添法在平面几何中, 解决与圆有关的问题时, 常常需要添加适当的帮助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,敏捷名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载把握作帮助线的一般规律和常见方法,力是大有帮忙的；（1）见弦作弦心距对提高同学分析问题和解决问题的能有关弦的问题,常作其弦心距（有时仍须作出相应的半径）,通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系；（2）见直径作圆周角在题目中如已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用 " 直径所对的圆周角是直角 " 这一特点来证明问题；（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用 " 切线与半径垂直 " 这一性质来证明问题；（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题, 一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系；（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题, 通常是作出公共弦, 通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来；作帮助线的方法名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一：中点、中位线,延线,平行线；如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线；另一种帮助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的；二：垂线、分角线,翻转全等连；如遇条件中, 有垂线或角的平分线, 可以把图形按轴对称的方法, 并借助其他条件,而旋转 180 度,得到全等形,这时帮助线的做法就会应运而生；其对称轴往往是垂线或角的平分线；三：边边如相等,旋转做试验；如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角相互协作, 然后把图形旋转肯定的角度, 就可以得到全等形, 这时帮助线的做法仍会应运而生；其对称中心,因题而异,有时没有中心；故可分“ 有心” 和“ 无心” 旋转两种；四: 造角、平、相像,和、差、积、商见；如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商, 往往与相像形有关；在制造两个三角形相像时,一般地,有两种方法：第一,造一个帮助角等于已知角； 其次,是把三角形中的某一线段进行平移；故作歌诀：“ 造角、平、相像,和差积商见；”托列米定理和梅叶劳定理的证明帮助线分别是造角和平移的代表）五：两圆如相交,连心公共弦；假如条件中显现两圆相交,那么帮助线往往是连心线或公共弦；名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载六：两圆相切、离,连心,公切线；如条件中显现两圆相切（外切,内切）,或相离（内含、外离）,那么,辅 助线往往是连心线或内外公切线；七：切线连直径,直角与半圆；假如条件中显现圆的切线,那么帮助线是过切点的直径或半径使显现直角；相反,条件中是圆的直径,半径,那么帮助线是过直径（或半径）端点的切线；即切线与直径互为帮助线；假如条件中有直角三角形, 那么作帮助线往往是斜边为直径作帮助圆,或半 圆；相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角直角为帮助线；即直角与 半圆互为帮助线；八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦；如遇弧,就弧上的弦是帮助线；如遇弦,就弦心距为帮助线；如遇平行线,就平行线间的距离相等,距离为帮助线；反之,亦成立；如遇平行弦, 就平行线间的距离相等, 所夹的弦亦相等, 距离和所夹的弦都 可视为帮助线,反之,亦成立；有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系相互联想 作帮助线；九：面积找底高,多边变三边；如遇求面积,（在条件和结论中显现线段的平方、乘积,仍可视为求面积） ,往往作底或高为帮助线,而两三角形的等底或等高是摸索的关键；名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如遇多边形,想法割补成三角形；反之,亦成立；另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其帮助线的做法,即“ 割补”有二百多种,大多数为“ 面积找底高,多边变三边” ；名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 24 页