2022年初二数学复习讲义——-勾股定理.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学科老师辅导讲义课学员编号： szooo10 年级：初二课 时 数： 6 学员姓名：辅导科目：数学学科老师：题勾股定理教学内容勾股定理 一学问归纳勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角 三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“ 勾三,股四,弦五” 形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角 三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 . 勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变 依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4SS 正方形EFGHS 正方形 ABCD,41ab ba2 2 c ,化简可证2DCHAEFcGBba方法二：名师归纳总结 abcccab第 1 页,共 6 页bcbaa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为SS41abc222abc22大正方形面积为S ab 2a22abb2ABE21ab1c,化简得证所以a2b2c2方法三：S 梯形1 2ab ab,S 梯形2SADE22AaDcbcE aBbC. 勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形. 勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC 中,C90,就ca22 b ,bc22 a ,ac22 b知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题. 勾股定理的逆定理假如三角形三边长 a, b , c 满意 a 2b 2c ,那么这个三角形是直角三角形,其中 c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数转化为形” 来确定三角形的可能外形, 在运用这肯定理时, 可用两小边的平方和 a 2b 与较长边的平方2 2 2c 作比较,如它们相等时,以 a ,b , c 为三边的三角形是直角三角形；如 a b c ,时,以 a ,b, c 为三边的三角形是钝角三角形；如 a 2b 2 c ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a ,b ,c 及 a 2b 2c 只是一种表现形式, 不行认为是唯独的, 如如三角形三边长 2a ,b, c 满意 a 2c 2 b ,那么以 a , b, c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形. 勾股数a2b2c 中, a , b , c 为正整能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即数时,称 a , b , c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2 , n n21（n2,n 为正整数）；2 n1,2n22 ,22 n2 n1（ n 为正整数）2 mn2,22 mn mn （mn m , n 为正整数）勾股定理的应用 勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明 问题在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么, 以便运用勾股定理进行运算, 应设法添加帮助线 （通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角 形,在详细推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常见图形：CA30°CACBBDABDCBDA题型一：直接考查勾股定理名师归纳总结 例 . 在ABC 中,C90第 3 页,共 6 页（1）已知AC6,BC8求 AB的长（2）已知AB17,AC15,求 BC 的长- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题型二：应用勾股定理建立方程例 . 在 ABC 中,ACB 90,AB 5 cm ,BC 3 cm, CD AB于 D , CD 已知直角三角形的两直角边长之比为 3:4 ,斜边长为 15,就这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为 30 cm ,斜边长为 13 cm ,就这个三角形的面积为例 . 如图 ABC 中,C 90,1 2 ,CD 1.5,BD 2.5,求 AC 的长CD1A2EC90B3,BC4, 分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积例 4. 如图 Rt ABC ,ACCA B名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题型三：实际问题中应用勾股定理例 5. 如图有两棵树,一棵高 8 cm ,另一棵高 2 cm ,两树相距 8 cm,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAE DB C题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例 6. 已知三角形的三边长为a, b , c ,判定ABC 是否为 Rt例 7. 三边长为 a , b , c 满意ab10,ab18,c8的三角形是什么外形？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12cm ,求证： ABAC题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8. 已知ABC 中,AB13cm ,BC10cm , BC 边上的中线AD证明：ABDC名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
