2022年基本不等式及其应用导学案一轮复习高中数学.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - §7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式abab21基本不等式成立的条件：a>0,b>0. 2等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 . 2.几个重要的不等式1a 2 b22aba,bR. 2 aa b2a,b 同号 . ab 3ab2 2 a,b R. 4 a 2 b2 2ab 2 2 a,b R. 3.算术平均数与几何平均数设 a>0,b>0,就 a,b 的算术平均数为ab 2,几何平均数为ab,基本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0, y>0,就1假如积 xy 是定值 p,那么当且仅当xy 时, x y 有最小值是2p.简记：积定和最小 2假如和 xy 是定值 p,那么当且仅当xy 时, xy 有最大值是p2 4 .简记：和定积最大 1.判定下面结论是否正确请在括号中打“ ” 或“ × ” 名师归纳总结 1函数 yx1 x的最小值是2. × 第 1 页,共 16 页ab 2ab 2 2成立的条件是ab>0. × - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3函数 fxcos xcos x,x0, 2的最小值等于4. × 4x>0 且 y>0 是yy x2 的充要条件 . 2 × 5如 a>0,就 a31 a2的最小值为2a. × 6a 2 b2c2abbccaa,b,cR. 2.当 x>1 时,关于函数fxx1,以下表达正确选项x 1A.函数 fx有最小值 2 B.函数 fx有最大值C.函数 fx有最小值 3 D.函数 fx有最大值3 答案C 3.如 a,bR,且 ab>0,就以下不等式中,恒成立的是A.a2b2>2abB.ab2 abC. a1 b>2D.aa b2 ab答案D 解析a2b 22abab 20,A 错误 . 对于 B、C,当 a<0,b<0 时,明显错误 . 名师归纳总结 对于 D,ab>0,b aa b2 b a·a b2. 第 2 页,共 16 页4.设 x,y R, a>1, b>1,如 axby3,ab23,就1 x1 y的最大值为 A.2 B.3C.1 D.122答案C 解析由 axby3,得：xlog a3,ylog b3,由 a>1,b>1 知 x>0,y>0,x1 ylog3alog 3blog 3ab log3ab 221,当且仅当ab3时“ ” 成立,就1 x1 y的最大值为1. 5.2022·天津 设 ab 2,b>0,就当 a_时,2|a|a| b取得最小值 . 答案2 解析由于 ab2,所以1 2|a|a| bab4|a|a| b a 4|a| b 4|a| |a| b,由于 b>0,|a|>0,所以 b 4|a|a| b2 b 4|a|·b1,因此当 a>0 时, 1 2|a|a| b的最小值是 1 415 4；当 a<0 时, 1 2|a|a| b的 |a|最- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 小值是1 4 13 4.故2|a|a| b的最小值为 3 4,此时4|a|a| b,即 a 2. a<0,题型一 利用基本不等式求最值例 1 1 已知 x>0,y>0,且 2xy1,就1 x1 y的最小值为 _；2x2当 x>0 时,就 fxx2 1的最大值为 _. 思维启发 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换 .如第 1问把1 x1 y中的 “ 1”代换为 “ 2xy” ,绽开后利用基本不等式；第 2问把函数式中分子分母同除“ x” ,再利用基本不等式 . 答案132 221 “ 一正、二定、三相等,和定积最大,解析1x>0,y>0,且 2x y1,1 x1 y2xy2xyxy3y x2x y322.当且仅当y x2x y时,取等号 . 2x>0,fx2xx1 2x2 21,x21当且仅当 x1 x,即 x 1 时取等号 . 思维升华1利用基本不等式求函数最值时,留意积定和最小 ” .2在求最值过程中如不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平名师归纳总结 方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式. 第 3 页,共 16 页1已知正实数x,y 满意 xy1,就 x yy ·y x x的最小值为 _. 2已知 x,yR,且满意 x 3y 41,就 xy 的最大值为 _. 答案1423 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析2 21依题意知, x yyy xx1 y xx y122 y x× x 2y4,当且仅当 2xy1x y时取等号,故 yy · xx的最小值为 4. x y xy x y2x>0, y>0 且 1342 12, xy3.当且仅当 34时取等号 . 题型二 不等式与函数的综合问题例 2 1 已知 fx32xk13x2,当 xR 时, fx恒为正值,就 k 的取值范畴是 A. , 1 B. , 2 21 C.1,2 21 D. 2 21,2 21 x2ax112已知函数 fxx1 aR,如对于任意 x N *,fx 3 恒成立,就 a 的取值范畴是_. 思维启发对不等式恒成立问题可第一考虑分别题中的常数,然后通过求最值得参数范畴. 答案1B2 8 3, 解析1由 fx>0 得 32xk1 ·3 x2>0,解得 k1<3x2 3 x,而 3x2 3 x22当且仅当 3x2 3 x,即 xlog 3 2时,等号成立 ,k1<22,即 k<221. ax8 x3. 2对任意 xN*,fx3 恒成立,即x 2 ax113 恒成立,即知x1设 gx x8 x,xN*,就 g2 6,g317 3 . g2>g3,gxmin17 3 .x8 x38 3,a8 3,故 a 的取值范畴是 8 3, . 思维升华1a>fx恒成立 . a>fx max,a<fx恒成立 . a< fx min；名师归纳总结 2求最值时要留意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性 . 第 4 页,共 16 页如不等式 x2ax1 0 对于一切 x0,1 2成立,就a 的最小值是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.0 B.2 C.5D.3 2答案 C 解析 方法一 设 fxx2ax 1,a就对称轴为 x2. 当a 21 2,即 a1 时,fx在0,1 2上是减函数,应有 f1 20. a5 2,5 2a1. 当20,即 a0 时, fx在0,1 2上是增函数,应有 f0 1>0 恒成立,故 a0. 当 0<a 2<1 2,即 1<a<0 时,a a2 a2 a2应有 f2421 14 0 恒成立,故 1<a<0. 综上, a5 2,应选 C. 20方法二当 x0,1 2时,不等式x2ax10 恒成立转化为ax1 x恒成立 . 又 xx1 x在0,1 2上是减函数,xmin 1 25 2,x1 x max5 2,a5 2. 题型三基本不等式的实际应用例 3某单位打算投资3 200 元建一仓库 长方体状 ,高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40 元,两侧墙砌砖,每米长造价45 元,顶部每平方米造价元,求：仓库面积S 的最大答应值是多少？为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长？名师归纳总结 思维启发把铁栅长、砖墙长设为未知数,由投资3 200 元列等式,利用基本不等式即可第 5 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求解 . 解 设铁栅长为 x 米,一侧砖墙长为 y 米,就顶部面积 S xy,依题设,得 40x2× 45y20xy3 200,由基本不等式得 3 2002 40x· 90y20xy120 xy20xy120 S20S,就S6 S1600,即 S 10 S160,故 0< S 10,从而 0<S100,所以 S的最大答应值是 100 平方米,取得此最大值的条件是 40x90y 且 xy100,解得 x15,即铁栅的长应设计为 15 米. 思维升华 对实际问题,在审题和建模时肯定不行忽视对目标函数定义域的精确挖掘,一般地,每个表示实际意义的代数式必需为正,由此可得自变量的范畴,然后再利用基本不等式求最值 . 1某车间分批生产某种产品,每批的生产预备费用为 800 元.如每批生产 x 件,就平均仓储时间为 x8天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件2某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲：第一次提价 p%,其次次提价 q%；方pq案乙：每次都提价2 %,如 p>q>0,就提价多的方案是 _. 答案 1B 2乙解析 1设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得y800 xx 82 800x·820. x800 x当且仅当 x8x>0,即 x80 时 “ ” 成立,应选 B. 2设原价为 1,就提价后的价格为方案甲： 1p%1 q%,名师归纳总结 方案乙： 1p q 2 %2,1p%1q%1pq%,第 6 页,共 16 页由于1p% 1q% 222且 p>q>0,所以1p%1q% <1pq%,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即1p%1q%<1 pq 2 %2,所以提价多的方案是乙 . 忽视基本不等式等号成立的条件致误典例： 10 分12022 ·浙江 如正数 x,y 满意 x3y 5xy,就 3x4y 的最小值是 A.24 5 B.28 5 C.5 D.6 2函数 y12x3 xx<0的最小值为 _. 易错分析 1对 x3y 运用基本不等式得 xy的范畴,再对 3x4y 运用基本不等式,利用不等式的传递性得最值；2没有留意到x<0 这个条件误用基本不等式得2x3 x 2 6. x解析1由 x3y5xy 可得1 5y 3 5x1,所以 3x4y3x4y1 5y3 5x 9 54 53x 5y12y 5x13 52 3x 5y·12y 5x13 512 55,当且仅当 x1,y1 2时取等号,故3x4y 的最小值是5. 2x<0,y12x3 x12x3 x12 2x ·3 12x6,当且仅当6 2时取等号,故y 有最小值 126. 答案1C212 6 温馨提示1利用基本不等式求最值,肯定要留意应用条件；2尽量防止多次使用基本不等式,如必需多次使用,肯定要保证等号成立的条件一样. 方法与技巧名师归纳总结 1.基本不等式具有将“ 和式 ” 转化为 “ 积式 ” 和将 “ 积式 ” 转化为 “ 和式 ” 的放缩功能,常第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 常用于比较数 式的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,挑选好利用基本不等式的切入点 . 2.对于基本不等式, 不仅要记住原始形式, 而且仍要把握它的几种变形形式及公式的逆用等,ab 例如： ab 22a2 b2,ababa2b2a>0,b>0等,同时仍要留意不等式222成立的条件和等号成立的条件. 失误与防范名师归纳总结 1.使用基本不等式求最值,“ 一正、二定、三相等” 三个条件缺一不行. 第 8 页,共 16 页2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一样. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 组 专项基础训练时间： 40 分钟 一、挑选题1.已知 0<x<1,就 x3 3x取得最大值时x 的值为a 等于 A.1 3B.1 2C.3 4D.2 3答案B 解析0<x<1,1x>0. x33x3x1x3 x 1x 223 4. 当且仅当 x1x,即 x1 2时取等号 . 2.如函数 fxx1 x2x>2在 xa 处取最小值,就A.1 2 B.13 C.3 D.4 答案C 解析fxx1x2x212. x2x>2,x2>0. fxx212 2 x2 ·124,x2 x21当且仅当 x2,即 x3 时, “ ” 成立 . x2又 fx在 xa 处取最小值 .a3. 名师归纳总结 3.小王从甲地到乙地来回的时速分别为a 和 ba<b,其全程的平均时速为v,就 第 9 页,共 16 页A.a<v<abB.vabC.ab<v<abD.vab22答案A 解析设甲、乙两地相距s,就小王来回两地用时为as b,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而 v2s2ab . abas0<a<b, ab<ab,2ab>2ab 2b a, 2ab2< 1 ab,即2ab ab<ab, a<v<ab. ab4.如 a>0,b>0,且 ln a b0,就a1 b的最小值是A.1B.1 C.4 D.8 4答案C ab1解析由 a>0,b>0,lnab0 得a>0. b>0故1 a1 ba b ab 1 ab11 12 224. a b2当且仅当 ab1 2时上式取 “ ” .5.2022·福建 以下不等式肯定成立的是A.lg x 21 4 >lg xx>0 B.sin x1 sin x2x k, kZ C.x212|x|x R D.1 x21>1xR xy当且仅当xy 时取等号 逐个分析,留意答案C 解析应用基本不等式：x,yR,x y 2基本不等式的应用条件及取等号的条件. 当 x>0 时, x 242· x·1 2x,所以 lg x21 4lg xx>0,应选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 而当 x k,kZ 时, sin x 的正负不定,应选项 B 不正确；名师归纳总结 由基本不等式可知,选项C 正确；第 11 页,共 16 页当 x0 时,有11,应选项 D 不正确 . x 21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题6.设 x,y R,且 xy 0,就 x 答案 9 21 y 2 1 x 24y2的最小值为 _. 解析x21 y2 1 x24y25 1 x2y24x2y25 2x2y2·4x2y29,当且仅当 x2y21 2时“”成立 . 7.已知函数fxxp x1p 为常数,且p>0,如 fx在1, 上的最小值为4,就实数p的值为 _. 答案 94解析 由题意得 x1>0,fxx 1p 12 p 1,当且仅当 xp1 时取等号,x19由于 fx在 1, 上的最小值为 4,所以 2 p1 4,解得 p4. 8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成如干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元,一年的总储备费用数值 单位：万元 恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总储备费用之和最小,就每次购买该种货物的吨数是 答案 20 _. 解析 设每次购买该种货物 x 吨,就需要购买 200x次,就一年的总运费为 200 x× 2400 x,一400 400年的总储备费用为 x,所以一年的总运费与总储备费用为 x x2 x· x40,当且仅400当 xx,即 x20 时等号成立,故要使一年的总运费与总储备费用之和最小,每次应购买该种货物 20 吨. 三、解答题名师归纳总结 9.1已知 0<x<2 5,求 y2x5x2的最大值；第 12 页,共 16 页2已知 x>0,y>0,且 xy 1,求8 x2 y的最小值 . 解1 y2x5x2x25x1 5·5x·25x. 0<x<2 5, 5x<2,25x>0,5x25x5x25x 2 21,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y1 5,当且仅当5x25x,即 x1 5时, ymax1 5. 2x>0, y>0,且 x y1,8 x2y 8x2yxy 8y 2x 8y 2x10xy102 x·y18,当且仅当8y x2x y,即 x2 3,y1 3时等号成立,8 x2 y的最小值是 18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度肯定平面图如下列图 ,假如池四四周墙建造单价为 400 元 /米,中间两道隔墙建造单价为 248元/米,池底建造单价为 80 元/平方米,水池全部墙的厚度忽视不计 . 1试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价；2如由于地势限制,该池的长和宽都不能超过 造价最低,并求出最低总造价 . 16 米,试设计污水处理池的长和宽,使总解1 设污水处理池的宽为x 米,就长为162 x米. 总造价 fx400× 2x2× 162 x 248× 2x80× 162 名师归纳总结 1 296x1 296× 100 x12 960 1 296x100 x 12 960 38 880 元. 第 13 页,共 16 页1 296× 2 x·100 x 12 96038 880元 ,当且仅当 x100 x x>0,即 x10 时取等号 . 当污水处理池的长为16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,总造价最低为2由限制条件知0<x1681 8x16. 162 0< x16,设 gx x100 81x 8x16,gx在81 8,16上是增函数,当 x81 8时此时 162 x16,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - gx有最小值,即 fx有最小值,即为1 296× 8 800 81 12 96038 882元. 8138 882 元. 当污水处理池的长为16 米,宽为81 8米时总造价最低,总造价最低为B 组专项才能提升时间： 30 分钟 1.已知 a>0,b>0,如不等式 3ab m3 a1 b0 恒成立,就 m 的最大值为 A.4 B.16 C.9 D.3 答案 B 解析 由于 a>0,b>0,所以由3ab m3 a1 b0 恒成立得 m3 a1 b3ab103b a 3a b恒成立 . 名师归纳总结 由于3b a3a b2 3b a·3a b6,第 14 页,共 16 页当且仅当 ab 时等号成立,所以103b a3a b16,所以 m16,即 m 的最大值为16,应选 B. 2.2022·山东 设正实数 x,y,z 满意 x 23xy4y2z0,就当xy z取得最大值时, 2 x1 y2 z的最大值为 A.0 B.1 C.9 4D.3 答案B 解析由已知得 zx23xy4y2* 就xy zxxy 23xy4y 2x y4y 1 1,当且仅当x3x2y 时取等号,把x2y 代入 * 式,得 z2y 2,所以2 x1 y2 z1 y1 y1 y 21 y1 21 1. 3.定义“* ” 是一种运算, 对于任意的x,y,都满意 x*yaxybxy,其中 a,b 为正实数,已知 1. 答案1 解析16ab,ab2 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当 2a3b,即 a1 时等号成立,所以当 a 1 时, ab 取最大值2 3. 4.1如正实数 x、y 满意 2xy6xy,求 xy 的最小值 . x27x102求函数 yx1 x>1的最小值 . 解 1 xy2xy6 2 2xy6,令 xyt2,可得 t2 2 2t60,留意到 t>0,解得 t3 2,故 xy 的最小值为 18. 2设 x 1t,就 xt1t>0,t1 27 t1 10yt4 4tt52 t·t59. 当且仅当 t4 t,即 t2,且此时 x1 时,取等号,ymin9. 5.经市场调查,某旅行城市在过去的一个月内以 30 天计 ,第 t 天1t30,t N的旅行人数 ft万人 近似地满意ft41 t,而人均消费gt元近似地满意gt120 |t20|. 1求该城市的旅行日收益Wt万元 与时间 t1 t30,tN的函数关系式；2求该城市旅行日收益的最小值 . 解 1 Wtftgt 41 t120 |t20| 1004014tt,1t 20,140559t4t, 20<t30.2当 t1,20 时, 4014t100 t40124t·100 t441t5 时取最小值 . 名师归纳总结 当 t20,30 时,由于 Wt559140 t4t 递减,第 15 页,共 16 页所以 t30 时, Wt有最小值2 W30443 3,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 t1,30 时, Wt的最小值为 441 万元 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页