2022年高考圆锥曲线经典真题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高考圆锥曲线经典真题学问整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题显现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 . 突出考查了数形结合、分类争论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的才能、运算才能较高,起到了拉开考生“ 档次”,有利于选拔的功能 . 21. （江西卷 15）过抛物线 x 2 py p 0 的焦点F 作倾角为30 o的直线,与抛物线AF 1分别交于A、B两点（A在y轴左侧）,就 FB32 2 2 2022 年安徽卷 如过点 A4,0 的直线l与曲线 x 2 y 1 有公共点 , 就直线l的斜率的取值范畴为 A. 3,3B. 3,3C. 3,3 D. 3,33333 32022 年海南 - 宁夏卷 设双曲线x2y21916的右顶点为 A,右焦点为 F, 过点 F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, 就三角形AFB 的面积为 -_. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例 1. 已知双曲线 C：2x2y2=2 与点 P1,2 1 求过 P1,2 点的直线 l 的斜率取值范畴,使 交点,没有交点 . l 与 C分别有一个交点,两个解： 1 当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x=1, 与曲线 C有一个交点 . 当 l第 1页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y2=kx 1, 代入 C的方程,并整理得2 k2x2+2k2 2kx k2+4k6=0 * 当 2k2=0, 即 k=±2 时,方程 * 有一个根, l 与 C有一个交点 当 2k2 0, 即 k ±2 时 =2k2 2k 242 k2 k2+4k6=163 2k 3当 =0, 即 32k=0,k=2时,方程 * 有一个实根, l 与 C有一个交点 . 3, 又 k ±2 , 故当 k2 或2 k2 或3 2 k 2当 0, 即 k2时,方程 * 有两不等实根, l 与 C有两个交点 . 3当 0,即 k2 时,方程 * 无解, l 与 C无交点 . 3综上知：当 k=±2 , 或 k= 2,或 k 不存在时, l 与 C只有一个交点；3当 2 k 2 , 或2 k2 , 或 k2 时,l 与 C有两个交点；3当 k2 时,l 与 C没有交点 . 2 假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 Ax1,y1,Bx2,y2,就 2x12y12=2,2x22 y22=2 两式相减得： 2x1 x2x1+x2=y1y2y1+y2 又 x1+x2=2,y1+y2=2 2x1 x2=y1 y1 y 1y22 , 结合图形知直线AB与 C无交点,所以假设不正确,即以即 kAB=x 1x2=2 但渐近线斜率为±Q为中点的弦不存在 . 第 2页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如 Q1,1 ,试判定以 Q为中点的弦是否存在 . 考点二：圆锥曲线中的最值问题 对于圆锥曲线问题上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约 的变量,从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系,此时,用函数思想与 函数方法处理起来非常便利；例 2 直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于 A、B两点,直线l过 P（2 ,0）和 AB线段的中点 M,求l在y轴上的截距b的取值范畴；解：由y2kx21 1x1 消去y得k21 x22kx20,由题意,有：22k2xy4 k28 1k20x 1x212k20kx 1x 212201k2kx 0x 12x21k2k设 M（x0, y0）,就y 0kx 01112k由 P（2 ,0）、M（1k2 1 ,12）、Q（0 ,b）三点共线,可求得b2kkk设fk2k2k22k1217,就fk在,12上为减函数；48所以f2f kf1 ,且fk0所以 22fk1所以b22或b2考点三：弦长问题 涉及弦长问题,应娴熟地利用韦达定理设而不求运算弦长,涉 及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算 . 第 3页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3. 如下列图, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A的坐标为 5 ,0 ,倾斜角为4的直线 l 与线段 OA相交 不经过点 O或点 A且交抛物线于 M、N两点,求 AMN面积最大时直线 l 的方程,并求AMN的最大面积 . 解：由题意,可设l 的方程为 y=x+m,5m0. yxm由方程组y24x, 消去 y, 得 x2+2m4x+m2=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点M、N,方程的判别式=2m424m2=161m0, 解得 m1, 又5m0, m的范畴为 5,0 设 Mx1,y1,Nx2,y2 就 x1+x2=42m,x1·x2=m2, |MN|=4 2 1 m . 5 m点 A到直线 l 的距离为 d= 2 . S =25+m 1 m , 从而 S 2=41m5+m2 2 2 m 5 m 5 m=22 2m· 5+m5+m 2 3 3=128. S 8 2 , 当且仅当 22m=5+m,即 m=1 时取等号 . 故直线 l 的方程为 y=x1, AMN的最大面积为 8 2 . 考点 4：圆锥曲线关于直线对称问题例 4. 已知椭圆的中心在圆点, 一个焦点是F2,0,且两条准线间的距离为4 , I 求椭圆的方程 ; II如存在过点 A1,0 的直线l, 使点 F 关于直线l的对称点在椭圆上 , 求的取值范畴 . 第 4页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】 I 设椭圆的方程为x2y21 ab022 ba由条件知c2,且2 a2,所以2 a,b2a2c24yk x1, 设c故椭圆的方程是x2y2414II依题意 , 直线l的斜率存在且不为0, 记为k, 就直线l的方程是点 F2,0 关于直线l的对称点为F/x 0,y , 就y 0kx 0221x 01222k解得y 02k1y 012 k2x 0k由于F/x 0,y 在椭圆上 , 所以 122212 k221kk4即4k42 6k2420故k2t , 就4 t22 6t420由于4,所以42042624 430,于是 , 当且仅当2 60,* 4上述方程存在正实根 , 即直线l存在 . 16 , 3所以416163解* 得46即的取值范畴是43规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时, 应将直线l方程与圆锥曲线C 的方程联立 ,第 5页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 消去y 也可消去x 得一个关于变量x 的一元方程ax2bx20.当a0时, 如有0, 就 l 与 C 相交; 如0, 就 l 与 C 相切; 如0, 就 l 与 C 相离. 当a0时, 得到一个一元一次方程 , 如方程有解 , 就有直线l与 C相交, 此时只有一个公共点 ; 如 C 为双曲线 , 就l平行于双曲线的渐近线 ; 如 C为抛物线 , 就l平行于抛物线的轴 . 所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时 , 直线与双曲线、抛物线可能相切 , 也可能相交 . 2. “ 设而不求” 的方法如直线l与圆锥曲线 C 有两个交点 A 和 B 时, 一般地 , 第一设出交点 A x 1 , y 、B x 2 , y , 它们是过渡性参数 , 不须求出 , 有时运用韦达定懂得决问题 , 有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解 . 3. 韦达定理与弦长公式斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,如 Ax y ,Bx2,y 就|AB| | 1x2|1k2| 1y2 | 11k0, 然后再结合韦达定理可求出弦长等. k2专题才能训练：一、挑选题1. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2+y2=1相交于 A、B两点,就|AB| 的最大值为 445410810A.2 B.5C.5D.52. 抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+bk 0 交于 A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是 x3, 就恒有 A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 第 6页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 1. 解析：弦长 |AB|=2452t410. 55答案： C 2. 解析：解方程组yax2bkbb,ykx, 得 ax2kxb=0, 可知 x1+x2=a,x1x2= a,x3= k代入验证即可 . 答案： B 3. 斜率为 2 的直线l过双曲线x2y21 a0,b0的右焦点 , 且与双曲线的左、右a2b2两支分别相交 , 就双曲线的离心率e的取值范畴是 D A. e2B. 1e3C. 12e45D. e54. 过点 A4,0 的直线与抛物线yx交于另外两点B、C,O 是坐标原点 , 就三角形 BOC是 C A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.外形不确定二、填空题5 55. 已知两点 M1,4 、N4,4 ,给出以下曲线方程：4x+2y1=0, x2+y2=3,2 2x x2 +y2=1, 2y2=1, 在曲线上存在点 P 满意 |MP|=|NP| 的全部曲线方程是_. . 解析：点 P在线段 MN的垂直平分线上,判定 存在交点 . 答案：MN的垂直平分线于所给曲线是否6. 正方形 ABCD的边 AB在直线 y=x+4 上,C、D两点在抛物线 y2=x 上,就正方形第 7页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABCD的面积为 _. 7. 在抛物线 y2=16x 内,通过点 2 ,1 且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _. 6 解析：设 C、D所在直线方程为y=x+b, 代入 y2=x, 利用弦长公式可求出 |CD| 的长,利用 |CD| 的长等于两平行直线y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出b 的值,再代入求出 |CD| 的长 . 答案： 18 或 50 7. 解析：设所求直线与y2=16x 相交于点 A、B,且 Ax1,y1,Bx2,y2,代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2, 两式相减得, y1+y2 ）y1 y2=16x1 x2. y 1 y 2 16即 x 1 x 2 y 1 y 2 kAB=8. 故所求直线方程为 y=8x15. 答案： 8xy15=0 三、解答题8. 已知抛物线 y2=2pxp 0, 过动点 Ma,0 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB| 2p. 1 求 a 的取值范畴 . 2 如线段 AB的垂直平分线交x 轴于点 N,求 NAB面积的最大值 . 219. 知中心在原点,顶点A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=3的双曲线过点 P6,6. 第 8页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 求双曲线方程 . 2 动直线 l 经过 A1PA2的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问：是否 存在直线 l, 使 G平分线段 MN,证明你的结论 . 10. 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点,且都以点A2 ,0 为圆心, 1 为半径的圆相切,双曲线的一个顶点 1 求双曲线 C的方程 . A1与 A 点关于直线 y=x 对称 . 2 设直线 l 过点 A,斜率为 k, 当 0k1 时,双曲线 C的上支上有且仅有一点B到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B点的坐标 . 2 2x y111. 已知过双曲线方程 4 21 过 M1,1 的直线交双曲线于 程; A、B 两点, 如 M为弦 AB的中点 , 求直线 AB的方2 是否存在直线l, 使N1 1, 2为l被双曲线所截得弦的中点, 如存在 , 求出直线l的方程 ; 如不存在 , 请说明理由 . 8 解：1 设直线 l 的方程为： y=xa, 代入抛物线方程得 x a2=2px, 即 x22a+px+a2=0 |AB|=24ap24a22p. 4ap+2p2p2, 即 4app2 p 又 p0, a4 . 2 设 Ax1,y1 、Bx2,y2 ,AB的中点 Cx,y, 由1 知, y1=x1a,y2=x2 a,x1+x2=2a+2p, 就有 x=x 12x2ap,yy 12y2x 1x 22a=p. 2线段 AB的垂直平分线的方程为yp=x ap, 从而 N点坐标为 a+2p,0 ）第 9页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 N到 AB的距离为|a2pa|2p2124ap24a22p2p2app26262,1e2a2a2b221, 解从而 S NAB= 2p2 p2. 当 a 有最大值4时,S有最大值为x2y29. 解：1 如图,设双曲线方程为a2b2=1. 由已知得a2b23得 a2=9,b2=12. x2y2所以所求双曲线方程为912=1. 2P 、A1、A2 的坐标依次为 6,6 、3 ,0 、 3,0）,其重心 G的坐标为 2 ,2）假设存在直线 l ,使 G2,2 平分线段 MN,设 Mx1,y1 ,Nx2,y2.就有122 x 19y 1210812x 229y22108y 1y 2124x 1x 24x 1x2934y 1y 24,kl=34l 的方程为 y=3 x 2+2, 2 212 x 9 y 108y 4 x 2 由 3 , 消去 y, 整理得 x24x+28=0. =164× 280, 所求直线 l 不存在 . 10. 解：1 设双曲线的渐近线为y=kx, 由 d=|k2k|=1, 解得 k=± 1. 21第 10页 共12页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即渐近线为 y=± x, 又点 A关于 y=x 对称点的坐标为 0 ,2 . a= 2 =b, 所求双曲线 C的方程为 x2y2=2. 2 设直线 l ：y=kx 2 0 k1, 依题意 B点在平行的直线 l 上,且 l 与l 间的距离为 2 . | 2 k m |2设直线 l ：y=kx+m,应有 k 2 1 , 化简得 m2+22km=2. 把 l 代入双曲线方程得 k2 1x2+2mkx+m22=0, 由 =4m2k24k2 1m22=0. 可得 m2+2k2=2 10,k=255, 此 时 、 两 式 相 减 得k=2 2 m, 代 入 得 m2=5, 解 设m=5x=k2mk22,y=10 . 故 B22 ,10 . 111. 解析1 设A x 1,y 1,B x2,y2, 就Mx 12x 2,y 12y 2就有2 x 12 y 11 . 42x2 22 y 21 . 42- 得x 1x 2x 1x22y 1y2y 1y 20x 1x 22,y 1y 22kABy 1y21x 1x 22直线AB方程为y11x12x2y10双曲线的一条渐近线方程为y2x, 而122 , 22第 11页 共 12页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直线x2y10与双曲线交于两点 . x2y10为所求 . C x y 1,D x 2,y2就有2 假设过 N直线l交双曲线于 , 2 x 12 y 11,2 x 22 y 21. 4242y 2y 1y20, 两式相减得x 1x2x 1x 22y 1x 1x 2,x 1x 22,y 1y 21kCDy 1y 212x 而 12x 1x2双曲线的一条渐近线方程为y22直线l与双曲线没有公共点 . 以N1 1, 2为弦中点的直线不存在 . 【点评】” 设而不求” 是保证A、B两交点存在的情形下 , 所采纳整体运算求直线方程的方法 , 但假如是假定直线与曲线存在两个交点A、B 为前提下求出直线l ,就必需验证l与圆锥曲线公共点的存在性. 第 12页 共12页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页