2022年高中函数解题技巧方法总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高中数学函数学问点总结 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？（答：0,22,33,4）例：函数yx4x2的定义域是lgx3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零；正切函数ytanxxR ,且xk,k2,k余切函数ycotxxR ,且xk反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ,值域是,函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是 0, ,函数 yarctgx 的定义域是 R ,值域是 . ,函数 yarcctgx 的定义域是 R ,值域是 0, . 当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域；10. 如何求复合函数的定义域？复合函数定义域的求法： 已知yfx 的定义域为m,n,求yfg x 的定义域, 可由mgxn解出 x 的范畴,即为yfgx的定义域；11、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 求函数 y= 2、配方法1 的值域 x配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数 y=2 x -2x+5,x-1 ,2 的值域；3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载a yb2型：直接用不等式性质k+xb. yx2bxn型, 先化简,再用均值不等式mx例： yx21111+xx+2xc yx2mxn型 通常用判别式x2mxnd. yx2xmxn型n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例： yx2xx1 （ x+1） （ x+1）+1 2（x+1）x1112111x1 13. 反函数存在的条件是什么？求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x 1x0x0的反函数x2x0（答：f1 x1x1）xx14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线 =x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y,x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设 y fx 的定义域为 A,值域为 C,a A,b C,就 fa = b f 1 a1 1 1f f a f a,f f f a b15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,设任意得x1,x2,找出 fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求f x 1f x 2的正负号或者f x 1与 1 的关系x 1x 2f x 22 参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性；（特例：偶函数）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3 利用单调函数的性质：函数 fx 与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的；当c0 时,它们是反向变化的；假如函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数f1x f2x 和它们同向变化；（函数相加）假如正值函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们同向变化；假如负值函数 f12 与f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘）函数 fx 与 f 1 x在 fx 的同号区间里反向变化；如函数 u x ,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的；如函数u x,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递减的；（同增异减）1y 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同；fx*g x 都是 正数增 / / 减如函数 yfx 是严格单调的,就其反函数xffggxfgxfx+g x 增增增增增减减/ 减增减/ 减减增减如：求ylog 1x22x的单调区间2（设uux2u2x,由u20就0x2且log 1,x11,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如fxf x 总成立f x 为偶函数函数图象关于y轴对称判定函数奇偶性的方法一、定义域法第 3 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件 . 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数 . 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算 f x ,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性. 这种方法可以做如下变形fx+f-x =0 奇函数fx+gfx*gfx-f-x=0 偶函数fx1 偶函数f-xfx1 奇函数f-x三、复合函数奇偶性fg gx fgx x x 奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇 非奇偶偶奇偶非 奇 非奇偶偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周期；）如：如f xaf x ,就我们要立刻反应过来,这时说这（答：f x 是周期函数,T2 a 为f x 的一个周期）我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,个函数周期 2t. 推导：fxtfxt00fxfx2 ,fxfx2 同时可能也会遇到这种样子： fx=f2a-x,或者说 fa-x=fa+x.其实这都是说同样一个意思： 函数fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到；比如, fx=f2a-x,或者说 fa-x=fa+x就都表示函数关于直线x=a 对称；如：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料,欢迎下载又如：如f x 图象有两条对称轴xa,xb即f axf ax ,f bxf bxf x f2ax f2axf2bx f x f2 bx令t2 ax ,就 2 bxt2 b2 , a f t f t2 b2 即f x f x2 b2 所以 函数f x 以 2 |ba|为周期 因不知道a b 的大小关系为保守起见 我加了一个肯定值 19. 你把握常用的图象变换了吗？yf xa bf x 与fx的图象关于y 轴 对称联想点（ x,y ）,-x,y f x 与f x 的图象关于x轴 对称联想点（ x,y ）,x,-y f x 与fx 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,-x,-y f x 与f1 的图象关于 直线yx对称联想点（ x,y ）,y,x f x 与f 2 ax的图象关于 直线xa对称联想点（ x,y ）,2a-x,y f x 与f2ax的图象关于 点a,0 对称联想点（ x,y ）,2a-x,0 将yf x 图象左移a a0 个单位yf xa 上移b b0 个单位右移a a0 个单位yf xa 下移b b0 个单位yf xa b（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧；对于这种题目,其实根本不用这么麻烦； 你要判定函数 y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标； 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了；）留意如下“ 翻折” 变换：f x | f x | 把 轴下方的图像翻到上面 xf x f | x | 把 轴右方的图像翻到上面 y如： f x log 2 x 1作出 y log 2 x 1 及 y log 2 x 1 的图象y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载k<0 y k>0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：y kx b k 0 k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 （2）反比例函数：y kk 0 推广为 y b kk 0 是中心 O a,b x x a的双曲线；2 2（ ）二次函数 y ax 2 bx c a 0 a x b 4 ac b 图象为抛物线2 a 4 a2顶点坐标为 b,4 ac b,对称轴 x b2 a 4 a 2 a2开口方向：a 0,向上,函数 y min 4 ac b4 a2a 0,向下,y max 4 ac b4 a根的关系：x b2 ab cx 1 x 2 , x 1 x 2 ,| x 1 x 2 |a a | a |二次函数的几种表达形式：f x ax 2bx c 一般式 f x a x m 2n 顶点式,（m, ）为顶点 nf x a x x 1 x x 2 x 1 , x 2 是方程的 2 个根）f x a x x 1 x x 2 h 函数经过点（x h , x h , 应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程2 2ax bx c 0,0 时,两根 x 1、x 2 为二次函数 y ax bx c 的图象与 x 轴的两个交点,也是二次不等式 ax 2 bx c 0 0 解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载 f n 区间在对称轴左边（nb）fmaxf m ,fmin2 a区间在对称轴右边（mb）fmaxf n ,fminf m2a区间在对称轴2边 （nbm）2 afmin4a cb2,fmaxmaxf m ,f n 4 a也可以比较m, n和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论a0的情形）求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0y a>0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 00m b n在区间（m, ）内有 根 2 af m 0f n 0在区间（m, ）内有 1根 f m f n 0x（ ）指数函数：y a a 0,a 1（ ）对数函数 y log a x a 0,a 1由图象记性质！（留意底数的限定！）y y=a xa>1 0<a<1 y=log axa>1 1 O 1 x 0<a<1 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（ ）“ 对勾函数”y x k k 0 x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？（均值不等式肯定要留意等号成立的条件）y kO kx 20. 你在基本运算上常显现错误吗？指数运算：a01a0,ap1a0 0,N0apmmn1ma0 annama0 ,ana对数运算：log aMNlogaMlogaN MlogaMlogaMlogaN,loganM1logaMNn对数恒等式：aloga xxlogambnnlogablogcb对数换底公式：logablogcamlogax1alogx21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ ）xR,f x 满意f xy f x f y ,证明f x 为奇函数；第 8 页,共 11 页（先令xy0f 0再令yx, ）（ ）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 是偶函数；（先令xytfttf t·tftftf t f t ftf t ）（ ）证明单调性：f x2fx2x 1x2 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（对于这种抽象函数的题目,其实简洁得都可以直接用死记了1、代 y=x,2、令 x=0 或 1 来求出 f0 或 f1 3、求奇偶性,令 y=x；求单调性：令 x+y=x1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f （x）kx（k 0）-f （x± y） f （x）± f （y）2. 幂函数型的抽象函数f （x）x a-f （xy） f （x）f （y）；f （x ）f x y f y 3. 指数函数型的抽象函数f （x）a x- f （xy）f （x）f （y）；f （xy）f x f y 4. 对数函数型的抽象函数f （x）lo gax（a>0 且 a 1）-f （x·y） f （x） f （y）；f （x ） f （x） f （y）y5. 三角函数型的抽象函数f （x）t gx-f （xy）f x f y 1 f x f y f （x）cot x-f （xy）f x f y 1f x f y 例 1 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 均有 f （xy） f （x） f （y）,且当 x>0 时,f x>0,f 1 2 求 f x 在区间 2,1 上的值域 . 分析：先证明函数 f （x）在 R上是增函数（留意到（x1）；再依据区间求其值域 . f （x2） f （x2x1） x1 f （x2x1） f例 2 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）2f （x）f （y）,且当 x>0 时,f x>2,f 3 5 ,求不等式 f （a 22a2）<3 的解 . 分析：先证明函数 f （x）在 R上是增函数（仿例 1）；再求出 f （1）3；最终脱去函数符号 . 例 3 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 都有 f （xy）f （x）f （y）,且 f （ 1）1,f （27）9,当 0x1 时, f （x）0 ,1. （1）判定 f （x）的奇偶性；（2）判定 f （x）在0 , 上的单调性,并给出证明；（3）如 a0 且 f （a1）3 9 ,求 a 的取值范畴 . 分析：（1）令 y1；（2）利用 f （x1） f （x · x2） f （x 2x ）f （x2）；x 2（3）0a2. 例 4 设函数 f （x）的定义域是（,） ,满意条件：存在x1 x2,使得 f （x1） f （x2）；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载对任何 x 和 y,f （xy） f （x）f （y）成立 . 求：（1）f （0）；2 对任意值 x,判定 f （x）值的符号 . 分析：（1）令 x= y0；（2）令 yx 0. 例 5 是否存在函数 f （x）,使以下三个条件： f （x）>0, xN； f （ab） f （a）f （b）,a、bN；f （2）4. 同时成立？如存在,求出 f （x）的解析式,如不存在,说明理由 . 分析：先猜出 f （x） 2 x；再用数学归纳法证明 . 例 6 设 f （x）是定义在（ 0,）上的单调增函数,满意 f （x·y） f （x） f （y）,f （3）1,求：（1）f （1）；（2）如 f （x）f （x8）2,求 x 的取值范畴 . 分析：（1）利用 31× 3；（2）利用函数的单调性和已知关系式 . 例 7 设函数 y f （x）的反函数是 yg（x）. 假如 f （ab）f （a）f （b）,那么 g（ab）g（a）·g（b）是否正确,试说明理由 . 分析：设 f （a） m,f （b） n,就 g（m） a,g（n） b,进而 mnf （a） f （b） f （ab） f g（m）g（n） . 例 8 已知函数 f （x）的定义域关于原点对称,且满意以下三个条件： x1、x2是定义域中的数时,有 f （x1x2）f x 1 f x 2 1；f x 2 f x 1 f （a） 1（a0,a 是定义域中的一个数） ； 当 0x2a 时,f （x） 0. 试问：（1）f （x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0,4a）上, f （x）的单调性如何？说明理由 . 分析：（1）利用 f （ x1x2） f （x1x2） ,判定 f （x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（ 0,2a）上是增函数,再证明其在（2a,4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题,虽然不行用特别模型代替求解,但可用特别模型懂得题意 . 有些抽象函数问题,对应的特别模型不是我们熟识的基本初等函数. 因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特别模型,从而更好地解决抽象函数问题 . 例 9 已知函数 f （x）（x 0）满意 f （xy）f （x）f （y）,（1）求证： f （1） f （ 1）0；（2）求证： f （x）为偶函数；（3）如 f （x）在（ 0,）上是增函数,解不等式 f （x）f （x1 ）0. 2分析：函数模型为： f （x） lo ga| x| （a0）（1）先令xy1,再令xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f （x）为偶函数,就 f （x） f （| x| ）. 例 10 已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满意 f （0） 0,f （xy）f （x）·f （y）,且当 x0时, f （x） 1,求证：（1）当 x0 时, 0f （x） 1；（2）f （x）在 xR上是减函数 . 分析：（1）先令 xy0 得 f （0）1,再令 yx；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（3）受指数函数单调性的启示：由 f （xy） f （x）f （y）可得 f （xy）f x ,f y 进而由 x1x2,有 f x 1 f （x1x2） 1. f x 2 练习题：1. 已知： f （xy）f （x） f （y）对任意实数 x、y 都成立,就（）（A）f （0）0 （B）f （0） 1 （C）f （0）0 或 1 （D）以上都不对2. 如对任意实数 x、y 总有 f （xy） f （x）f （y）,就以下各式中错误选项（）（A）f （1）0 （B）f （1 ） f （x）x（C）f （x ） f （x） f （y）（D）f （x n） nf （x）（nN）y3. 已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满意： f （0） 0,f （xy）f （x）f （y）,且当 x0 时,f （x）1,就当 x0 时, f （x）的取值范畴是（）（A）（1,）（B）（, 1）（C）（0,1）（D）（1,）4. 函数 f （x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有f （x1x2）f x 1 f x 2 ,就 f （x）为（）1 f x 1 f x 2 （A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5. 已知不恒为零的函数 f （x）对任意实数 x、y 满意 f （xy）f （xy）2 f （x） f （y） ,就函数 f （x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3 C 4A 5B 名师归纳总结 第 11 页,共 11 页- - - - - - -