2022年高三数学一轮复习不等关系与不等式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一节 不等关系与不等式备考方向要明白 考 什 么怎 么 考一般是以挑选1.明白现实世界和日常生活本节内容在高考中多与其他学问进行综合命题,中的不等关系题或填空题的形式显现：2.明白不等式 组的实际背1依据不等式的性质,判定不等式或有关结论是否成立；景2利用不等式的性质进行大小关系的比较. 3. 把握不等式的性质及应3不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用用归纳 ·学问整合 1比较两个实数大小的法就设 a,bR,就1a b. ab0；2a b. ab0；3a b. ab0. 2不等式的基本性质名师归纳总结 性质性质内容留意第 1 页,共 14 页对称性a>b. b<a .传递性a>b,b>c. a>c .可加性a>b. ac>bc .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可乘性a>b. ac>bcc 的符号c>0a>b. ac<bc c<0探究 同向可加性a>b. ac>bd .c>d同向同正可乘性a>b>0. ac>bd .c>d>0可乘方性a>b>0. an>b nnN,n2 同正可开方性a>b>0. n a>n bnN,n2 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一样？提示： 不一样 同向不等式相加,对两边字母无条件限制,而同向不等式相乘必需两边字母为正,否就不肯定成立1 121a>b. a< b成立吗？2a>b. a n>b nn N,且 n>1对吗？提示： 1不成立,当a,b 同号时成立,异号时不成立2不对,如n 为奇数,成立,如n 为偶数,就不肯定成立自测 ·牛刀小试 名师归纳总结 1教材习题改编 给出以下命题：a>b. ac2>bc2； a>|b|. a 2>b 2； a>b. a 3>b3；第 2 页,共 14 页|a|>b. a 2>b2.其中正确的命题是 ABCD解析： 选 B当 c0 时,不成立；当|a|1,b 2 时,不成立2假如 a R,且 a2a<0,那么 a,a2, a, a2 的大小关系是 Aa 2>a> a 2>aB a>a2>a2>aC a>a 2>a>a 2Da 2> a>a>a2解析： 选 Ba2a<0,1<a<0. 不妨令 a1 2,易知选项B 正确3已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么以下不等式成立的是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Aad>bc Bac>bdCac>bd Da c>bd解析： 选 D 由不等式的性质知,a>b,c>d. ac>bd. a b4教材习题改编 已知 a>b>0,c>d>0,就 d与 c的大小关系为 _解析： c>d>0,1 d>1 c>0. 又a>b>0,a d> bc>0.ad> bc. 答案：ad> bc5已知 12<x<60,15<y<36,就 x y 的取值范畴是 _解析： 15<y<36,36<y< 15. 又12<x<60 12 36<xy<6015,即 24<xy<45. 答案： 24,45 用不等式 组表示不等关系例 1 某商人假如将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售, 每天可销售 100 件,现在他采纳提高售价,削减进货量的方法增加利润已知这种商品的售价每提高 1 元,销售量就可能相应削减 10 件如把提价后商品的售价设为 x 元,怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元？x 10自主解答 如提价后商品的售价为 x 元,就销售量削减 1× 10 件,因此,每天的利润为 x8100 10x10元,就 “ 每天的利润不低于 300 元” 可以表示为不等式 x8100 10x10300. 名师归纳总结 第 3 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式组时,应留意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换,常见的文字语言及其转换关系如下表：文字语言大于, 高于,小于,低于, 少于大于等于,至少,小于等于,至超过不低于多,不超过符号语言><1某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B 两种设备上加工,在每台 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时和 2 小时,加工一件乙产品所需工时分别为 2 小时和 1 小时, A,B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.写出满意上述全部不等关系的不等式解： 设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y,x2y400,就由题意可知2xy500,x0,xN,y0,yN.比较大小例 2 1已知 a1,a20,1,记 Ma1a2,Na1a21,就 M 与 N 的大小关系是 AM<N BM>NCM N D不确定2甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,假如两人步行速度、跑步速度均相同,就 A甲先到教室 B乙先到教室C两人同时到教室 D谁先到教室不确定自主解答 1M Na1a2 a1a21 a1a2a1a21 a1a21a21a11a21,又a10,1,a20,1,a11<0,a21<0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - a11a21>0,即 MN>0. M>N. s22设甲用时间为 T,乙用时间为 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,就 Tass abb s 2a s 2b2ab,statb. 2t2s . abT2ts ab2ab2sab s×ab2ab ab 24ab2ab ab s a b 2>0,即乙先到教室答案 1B 2B 如将本例 1 中“a1,a20,1” 改为“a1,a21, ” ,试比较 M 与 N 的大小解： MN a1a2 a1a21a11a21,当a1,a21, 时, a1 1>0,a2 1>0. a11 ·a2 1>0. MN>0,即 M>N.比较大小的常用方法1作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形,常采纳配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差2 作商法一般步骤是：作商；变形；判定商与1 的大小；结论留意所比较的两个数的符号 . 3 特值法名师归纳总结 如是挑选题、填空题可以用特值法比较大小；如是解答题,可以用特值法探究思路. 第 5 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2比较以下各组中两个代数式的大小：13x 2x1 与 2x 2x1；2当 a>0,b>0 且 a b 时, a ab b 与 a bb a. 解： 13x 2 x12x 2x1x 22x2 x1 21>0,3x 2x 1>2x 2x1. 2 aa abbb baa abb b aa a b1b abab ab. 当a>b,即 ab>0,a b>1 时,ab ab>1,a ab b>a bb a. 当 a<b,即 ab<0,a b<1 时, a ab>1,a ab b>a bb a. 当a>0, b>0 且 a b 时, a ab b>a bb a. 不等式性质的简洁应用例 3 12022 湖南高考 设 a>b>1,c<0,给出以下三个结论：c a> cb； a c<b c； logba c>log abc其中全部的正确结论的序号是 A BC D2已知三个不等式：ab>0, bcad>0,ad b>0其中 a,b,c,d 均为实数 ,用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是 A0 B1 C2 D3 自主解答 1 a>b>1. ab>0 1. a·ab>b·1ab . 1 b>1 . c b< a即c a> cb,a>b c<0所以正确；名师归纳总结 a>b>1.a b>1.a bc<1. a c<bc,第 6 页,共 14 页c<0bc>0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以正确；a>b>1 ac>bc . . logaac>log abc,c<0 a>1a>b>1. ac>1. logba c>log aac,c<0所以 log bac>log ab c所以正确2由 ab>0,bcad>0,即 bc>ad,得c a> b,即 c a d b>0；由 ab>0,c ad b>0,即 c a>d b,得 bc>ad,即 bcad>0；由 bcad>0,c a d b>0,bcad即 ab >0,得 ab>0；故可组成 3 个正确的命题答案 1D2D 与不等式有关的命题的真假判定在判定一个关于不等式的命题真假时,先把要判定的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判定命题真假,当然判定的同时仍要用到其他学问,比如对数函数、指数函数的性质等32022 ·包头模拟 如 a>0>b> a,c<d<0,就以下命题：1ad>bc； 2db c<0； 3ac>bd；4ad c>bdc中能成立的个数是 A1 B2 C3 D4 解析： 选 Ca>0>b,c<d<0,ad<0,bc>0,ad<bc.1错误名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - a>0>b>a,a>b>0. c<d<0,c>d>0. ac>bdacbd<0.a db cacbd<0.2正确cdc<d,c>d.a>b,a c>bd,即 ac>b d.3正确a>b,dc>0,adc>bdc4正确1 个区分 不等式与不等关系的区分不等关系强调的是关系,可用符号“ >”,“ <”,“ ” ,“ ” ,“ ” 表示,而不等式就是表示两者的不等关系,可用 “ a>b” ,“a<b” ,“ a b” ,“ ab” ,“ ab” 等式子表示,就像相等关系可以用等式表达一样,不等关系可以用不等式表达2 条常用性质 不等式取倒数的性质1倒数性质：a>b,ab>0. 1 a<1 b；1 x<1 a. a<0<b. 1 a<1 b；a>b>0,0<c<d. a c>b d；0<a<x<b 或 a<x<b<0. 1 b<2如 a>b>0,m>0,就 真分数的性质：b a<bm；b a>bm ambm>0；am假分数的性质：a b>am；a b<am bmbm>0bm3 个留意点 应用不等式的性质应留意的问题 1在应用传递性时,假如两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是名师归纳总结 传递不过去的如ab,b<c. a<c. c 的符号” ,例如当c 0 时,有 a>b. ac2>bc2；第 8 页,共 14 页2在乘法法就中,要特殊留意“ 乘数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如无 c 0 这个条件, a>b. ac2>bc2 就是错误结论 当 c0 时,取“ ”3“ a>b>0. a n>b nnN *,n>1” 成立的条件是“n 为大于 1 的自然数, a>b>0” ,假如去掉“n 为大于 1 的自然数” 这个条件,取 n 1,a3,b2,那么就会显现“31>21” 的错误结论； 假如去掉 “b>0” 这个条件, 取 a3,b 4,n2,那么就会显现“3 2>4 2” 的错误结论 . 易误警示 解题时忽视不等式的隐含条件而致误典例 2022 ·盐城模拟 已知 1<ab<3；2<a b<4,就 2a3b 的取值范畴为 _ 解析 设 2a 3bxab yab,5xy2,x2,就 解得xy3,y12.又5 2<5 2ab<15 2, 2<1 2a b<1,9 2< 52ab12ab< 132,即9 2<2a3b< 132 . 答案 9 2,13易误辨析 1此题易忽视题目中字母a,b 相互制约的条件,片面地将a,b 分割开来考虑,导致字母的范畴发生变化,从而造成解题的错误2当利用不等式的性质和运算法就求某些代数式取值范畴的问题时,如题目中显现的两个变量是相互制约的,不能分割开来, 就应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求待求整体的范畴,以免扩大范畴变式训练 已知函数 fxax 2bx,且 1f12,2f1 4.求 f2的取值范畴解： f1ab,f1ab.f 24a2b. 设 mabnab4a2b. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - mn 4,解得m1,mn 2,n3.f2ab3abf13f11f12,2f14,5f210. 一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 1已知 a, b,c,d 为实数,且c>d,就 “a>b” 是“ac>bd” 的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 B由ac>bd. a>b；而当 ac2,c>dbd1 时,满意a>b,但 ac>bd 不成立,c>d所以 “a>b” 是“ ac>b d” 的必要不充分条件22022 ·朔州模拟 已知 a<0, 1<b<0,那么以下不等式成立的是 2 Aa>ab>abBab 2>ab>aCab>a>ab2Dab>ab2>a解析： 选 D由 1<b<0,可得 b<b 2<1,又 a<0,ab>ab 2>a. 3设 0, 2, 0,2,那么 2 3的取值范畴是 A. 0,5B. 6,56C0, D. 6,解析： 选 D0<2<,0 3 6, 6 30. 6<2 3< .42022 ·南平模拟 假如 a, b,c 满意 c<b<a,且 ac<0,那么以下选项中不肯定成立的名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 是 Aab>acBcba>0 b0Ccb2<ab2Dacac<0 解析： 选 C由题意知 c<0,a>0,就 A 肯定正确； B 肯定正确； D 肯定正确；当时 C 不正确5设 a,b 为正实数,就 “ a<b”是“a1 a<b1 b” 成立的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 Ca>0,b>0,a<b,1 a>1 b,由不等式的性质a1 a<b1 b. 由a<b 可得出 a1 a<b1 b. 当 a1 a<b1 b时,可得 aba1 b <0,即ab 11 ab <0.又a>0,b>0,ab<0. a<b.故由 a1 a<b1 b可得出 a<b. “ a<b”是“ a1 a<b1 b” 成立的充要条件6已知 0a1 b,且 M11a1,N1bab,就 M,N 的大小关系是 1a1bAM NBMNCM ND不能确定解析： 选 A0a1 b,1 a0,1b 0,1ab 0. 名师归纳总结 MN1a1a1b22ab0. 2是一个矩第 11 页,共 14 页1b1a1b二、填空题 本大题共 3 小题,每道题5 分,共 15 分 7如下列图的两种广告牌,其中图1 是由两个等腰直角三角形构成的,图形,就这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a,ba b的不等式表示为_- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 图1 所示广告牌的面积为1 2a 2b 2,图 2所示广告牌的面积为ab,明显不等式表示为1 2a 2b 2>aba b答案：1 2a 2b 2>aba b 8如 x>y>z>1,就 xyz,xy,yz,xz从大到小依次为 _解析： 由于 x>y>z>1,所以有 xy>xz,xz>yz,xyz>xy,于是有 xyz> xy> xz> yz. 答案：xyz,xy,xz,yz9已知函数 fxax 2 2ax4a>0,如 m<n,且 m na1,就 fm与 fn的大小关系为 _解析： fmfnam 22am an 22anam2n22am namnmn 2amna1a>0,aa 1>0.又 m<n,故 amna1<0. fm<fn答案： fm< fn 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题12 分,共 36 分 2110比较 x3 与 x2x1 的大小解： x 3x2x1x3x 2x1 x 2x1 x 1x1xx21>0,当x>1 时, x1x21>0 ,即 x3>x 2x1；当 x1 时, x1x210,即 x3 x 2x1；当 x<1 时, x1x 21<0,即 x 3<x2x1. 11设 a>b>c,求证：1 a b1 bc1 ca>0. 证明： a>b>c,c>b. 名师归纳总结 ac>ab>0.1 ab>1 >0. ac第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1ab11 >0.又 b c>0,>0. bcca111>0. ab bc ca12已知 fxax 2c 且 4 f1 1, 1f2 5,求 f3 的取值范畴acf 1 ,解： 由题意,得4a cf 2 ,解得a1 3f 2 f 1 ,8 3f2c4 3f 1 1 3f 2 .所以 f39ac5 3f1由于 4f11,所以53 5 3f120 3 . 由于 1f25,所以8 38 3f2403 . 两式相加,得1f320,故 f3的取值范畴是 1,201限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h ,名师归纳总结 写成不等式就是 2>bc2. a>b. 第 13 页,共 14 页Av<40 km/hBv>40 km/h Cv 40 km/h Dv 40 km/h 解析： 选 D速度 v 不超过 40 km/h,即 v40 km/h. 2已知 a, b,cR,就 “ a>b” 是“ ac 2>bc 2” 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 Ba>b . / ac2>bc2,由于当 c 20 时, ac2bc2；反之, ac3如1 a<1 b<0,就以下结论不正确选项 Aa 2<b22 Bab<b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Cab<0 D|a|b|>|ab| 名师归纳总结 解析： 选 D1 a<1 b<0,0>a>b. 第 14 页,共 14 页a2<b 2,ab<b 2,a b<0, |a| |b|ab|. - - - - - - -