2022年高中数列知识点总结归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点一、等差数列 1、等差数列定义：一般地,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 ； 用 递 推 公 式 表 示 为a nan1d n2或an1a nd n1；0为递增数列,2、等差数列的通项公式：a na 1n1 d ；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： dd0为常数列,d0为递减数列；3、等差中项的概念：定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项；其中 A a b a , A , b 成等差数列 A a b；2 24、等差数列的前 n 和的求和公式：S n n a 1 a n na 1 n n 1 d ；2 25、等差数列的性质：（1）在等差数列 a n 中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列 a n 中,相隔等距离的项组成的数列是 AP ,如：1a ,a ,a ,a , ；a ,a ,a ,a 18, ；（3）在等差数列 a n 中,对任意 m , n N ,a n a m n m d ,d a n a m m n ；n m（4）在等差数列 a n 中,如 m ,n ,p ,q N 且 m n p q ,就 a m a n a p a q；说明：设数列 a n 是等差数列,且公差为 d ,（）如项数为偶数,设共有 2n 项,就 S 奇 S 偶 nd ； S 奇 a n；S 偶 a n 1（）如项数为奇数, 设共有 2 n 1 项,就 S 偶 S 奇 a n a中 ； S 奇 n；S 偶 n 16、数列最值（2）（1）a 10,d0时,S 有最大值；a 10,d0时,S 有最小值；S 最值的求法：如已知S ,可用二次函数最值的求法（nN ）；如已知a ,就S 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定a n100或a n100；a na n二、等比数列1等比数列定义一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等比数列,字母 q 表示 q 0,即：a n 1：a n这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用q q 0 数列对于数列（ 1）（2）（3）都是等名师归纳总结 比数列,它们的公比依次是 2,5,1 ；（留意：“ 从其次项起” 、“ 常数”2q 、等比第 1 页,共 5 页数列的公比和项都不为零）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2等比数列通项公式为：an名师总结n1a 1精品学问点；a1qq0 说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 d 1 时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知： 如 a n 为等比数列,就 a m q m n；a n3等比中项假如在 a与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a与 b 的等比中项（两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项）；4等比数列前 n 项和公式一般地,设等比数列 a a a 3 , , a n , 的前 n 项和是 S n a 1 a 2 a 3 a ,当nq 1 时,S n a 1 1 q 或 S n a 1 a q；当 q=1 时,Sn na 1（错位相减法）；1 q 1 q说明：（ 1）a 1 , q , n , S n 和 a 1 , a n , q , S n 各已知三个可求第四个；（2）留意求和公式中是 q ,通项公式中是 nq n 1不要混淆；（ 3）应用求和公式时 q 1,必要时应争论 q 1 的情形；5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：假如 a 是等比数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项,且 m n,公比为 q ,就有 a n a m q n m； 对 于 等 比 数 列 a n, 如 n m u v, 就 a n a m a u a v, 也 就 是 ：a 1 a na 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2,如下列图：a 1 , a 2 , a 3 , , a n 2 , a n 1 , a n；a 2 a n 1如数列 a n 是等比数列,S 是其前 n 项的和,k N *,那么 S ,S2 k S k,S 3 k S 2 k成等比数列；如下图所示：a 1a2a3akakS 3kkSka2ka 2k13kS2ka 3k1SkS2S三 、数列前 n 项和1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式： an=s ns n1n2；s 1n1（2）求通项常用方法作新数列法；作等差数列与等比数列；累差叠加法；最基本的形式是：归纳、猜想法；（3）数列前 n 项和an=anan1+an1+an2+ +a2a1+a1；名师归纳总结 重要公式： 1+2+ +n=1 nn+1；2第 2 页,共 5 页1 2+2 2+ +n2=1 nn+12n+1；6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点1 3+2 3+ +n 3=1+2+ +n 2= 1 n 2n+1 2；4等差数列中, Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中, Sm+n=Sn+q nSm=Sm+q mSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=fn+1fn,然后累加抵消掉中间的很多项, 这种先裂后消的求和法叫裂项求和法；用裂项法求和, 需要把握一些常见的裂项,如：an 1 1 1 1 、1= 1 An B An C C B An B An C n n 1 n1、n· n！=n+1.n.、Cn1 r1=Cn rCn1 r、n = 11 等；n 1 n 1 . n . n 1 .错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错项相 消 法 ；a n b n c n , 其 中 nb 是 等 差 数 列 ,c n 是 等 比 数 列 , 记S n b 1 c 1 b 2 c 2 b n 1 c n 1 b n c n,就 qS n b c 2 b n 1 c n b c n 1,并项求和把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn；数列求通项及和的方法多种多样,要视详细情形选用合适方法；通项分解法：anbncn2递归数列数列的连续如干项满意的等量关系 an+k=fan+k1,an+k2, ,an称为数列的递归关系；由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列；如由an+1=2an+1,及 a1=1,确定的数列 2 n1 即为递归数列；递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明；（2）迭代法；（3）代换法；包括代数代换,对数代数,三角代数；（4）作新数列法；最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项 an与前 n 项和 Sn 的关系：an= 2、等差数列的通项公式：an=a1+n-1d an=ak+n-kd 其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项 当 d 0 时, an 是关于 n 的一次式；当 d=0 时, an 是一个常数；3、等差数列的前 n 项和公式：Sn= Sn= Sn=当 d 0 时, Sn是关于 n 的二次式且常数项为 比例式；0；当 d=0 时（ a1 0）, Sn=na1 是关于 n 的正n-1 n-k 4、等比数列的通项公式： an= a1 q an= ak q 其中 a1为首项、 ak 为已知的第 k 项, an 05、等比数列的前 n 项和公式： 当 q=1 时,Sn=n a1 是关于 n 的正比例式 ；当 q 1 时,Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列 an 的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、 仍为等差数列；2、等差数列 an 中,如 m+n=p+q,就 就3、等比数列 an 中,如 m+n=p+q,4、等比数列 a n 的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S 2m、S4m- S 3m、 仍为等比数列；5、两个等差数列an 与bn 的和差的数列 an+bn 、an-bn 仍为等差数列；、仍6、两个等比数列a n 与b n 的积、商、倒数组成的数列a nbn 、为等比数列；7、等差数列 a n 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列；8、等比数列 a n 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列；9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 为10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3什么？ 名师归纳总结 11、an 为等差数列,就c>0 是等比数列；1 是等差数列；第 4 页,共 5 页12、bn （bn>0）是等比数列,就logcbn c>0且 c13. 在等差数列中：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）如项数为,名师总结精品学问点就（2）如数为 就,14. 在等比数列 中：（1）如项数为,就（2）如数为 就,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页