2022年双曲线性质题组答案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载双曲线性质题组题组 1、定义与标准方程1. 双曲线 mx 2y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍,就 m【1】42. 双曲线 2 kx 2ky 21 的一焦点是 F0 ,4 ,就 k 等于【3】323已知双曲线经过 P 2 5, 4,且焦点为 ,6 0 ,就双曲线的标准方程为 _ _ 2 2【x y1】12 242 2 2 24椭圆 x y2 1 和双曲线 x2 y 1 有相同的焦点, 就实数 n 的值是【3 】34 n n 165.如 k R,就“k 3” 是“ 方程 x 2 y 21 表示双曲线” 的 条件k 3 k 3【充分非必要条件】6.已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满意 |PA|PB|=3,就|PA|的最小值是【7】22 27. 给出问题： F1、F2是双曲线 x y=1 的焦点,点 P 在双曲线上 . 如点 P到焦点 F1 16 20的距离等于 9,求点 P到焦点 F2的距离 . 某同学的解答如下：双曲线的实轴长为 8,由|PF 1| |PF 2|=8 ,即 |9 |PF 2|=8 ,得 |PF 2|=1 或 17. 该同学的解答是否正确？如正确,请将他的解题依据填在下面空格内,如不正确,说明理由确的结果填在下面空格内【不正确,由于|PF2| min|MF2|2,所以|PF 2| 1 舍】题组 2、焦点三角形的性质名师归纳总结 - - - - - - -1双曲线x2y21的两个焦点F1、 F2,P 是双曲线上的一点.如 F1 PF2= ,求 F1 PF2a2b2的面积 ;【b2 cot2】2已知F 1,F 2为双曲线x2y21 a0,b0且ab的两个焦点,P 为双曲线右支a2b2上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点下面四个命题（）PF F2的内切圆的圆心必在直线xa 上；PF F2的内切圆的圆心必在直线xb 上；PF F2的内切圆的圆心必在直线OP 上；第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - PF F2的内切圆必通过点优秀学习资料欢迎下载【A、D】a, 其中真命题的代号是（写出全部真命题的代号）题组 3、焦点弦的性质1.双曲线2 xy21的左右两个焦点F1、 F2,Px,y是双曲线上的点 . yPF 为焦xa22b1求证 :PF1=a+cx；PF2=a-cx；2 PF 1min=c-a; aa3 PF 1PF 的最小值为 b2. 4如 P F1 x 轴,求PF ；2 以双曲线的焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. 解：如图：F 1、F 2是双曲线的两个焦点,设点P 在双曲线的左支上的一点,半径为 2r,|PF2| |PF 1| 2a2r2aP P 是双曲线上的一点,MoF2|PF2|PF 1|2 a| OM | 1 | PF 2 | a2圆 M 与圆 O 外切；rF1O同理可证以PF 为直径的圆与实轴为直径的圆内切；题组 4、轨迹问题名师归纳总结 - - - - - - -1已知A5,0,B 是圆 F：x52y24F 为圆心 上一 动点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,求动点 P 的轨迹方程；【x2y21】242 2x y2设 F1、 F2 是双曲线 2 2 1 的两焦点 ,Q 是双曲线上的任意一点a b2 2 2的平分线的垂线 ,垂足为 P,求点 P 的轨迹方程 .【x y a 】,从 F1 引 F1QF23已知 C1: x52y249,C2: x52y21,动圆 P 与 C1 外切,与 C2 内切.求动点 P 的轨迹方程 .【x2y21x0】169题组 5、最值问题1 P 是 双 曲 线x2y21的 右 支 上 一 点 , M、 N 分 别 是 圆x52y24和916x52y21上的点,就 |PM|PN 的最大值为【 9】2.双曲线x2y21的左焦点为F,M 为其上的动点, Am,n 为双曲线内的定点,求a2b2MAMF 的最小值 . 解：分两种情形如右图|MA|MF| |MF2|2a|MA ,当在AF 的延长线上时,分别取到最值；（答案分别为 |AF|或 |AF| 2a）第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - FMMA优秀学习资料M'欢迎下载AMF2FMF2FF题组 6、中点弦问题双曲线x2y21的弦 AB 的中点为 M, 就 AB 的斜率题组6、中点弦问题xxa2b21.双曲线x2y21的弦 AB 的中点为M,就 AB 的斜率F1yBAa2b2OM与 OM 的斜率之积为b2; F2a22.给定双曲线2 xy2121 过点 M2,1 的直线与双曲线交于A、B 两点,求线段AB 中点 P 的轨迹方程；2 过点 M1,1 能否作直线l,使点 M 为被双曲线截得弦的中点. 解：（1）设直线的方程为y1k x2,ykx2 k1,设点P x y ,点A x y 1、B x2,y 2是双曲线上的点,x 122 y 111,x 22y 2212,由121212 得k2x代入直线方程得所求的轨迹方方程为ByPMAy2x24xy2y0OF2（2）设直线的方程为y1k x1ykxk1,F1点A x 1,y 1、B x 2,y 2是双曲线上的点,x 12y 1211,x22y2212,由 12 得1212k2,直线方程为y2x1,2 xy212x24x304242 30不存在直线使得M2y2 x1为被双曲线截得弦的中点；题组 7、直线与双曲线的位置关系问题1已知点M 2,0,N2,0,动点 P 满意条件 |PM|PN|2 2. 记动点 P 的轨迹为 W . （1）求 W 的方程；-8-6A（ 2）如A B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB 的最小值 . 解：（ 1）依题意,点 P 的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右F1F2-4-2 24 68B名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 2支,所求方程为：x y1 x 02 2当直线 AB的斜率不存在时,设直线 AB的方程为 x x ,此时 A x 0 , x 0 22,B x 0 , x 0 2 2, OA OB 2 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y kx b ,代入双曲线方程2 2x y 2 2 21 中,得：1 k x 2 kbx b 2 0（1）2 2依题意可知方程（1）两个不相等的正数根,设 A x y 1 、B x 2 , y 2 ,就2 2 2 24k b （ k）（b ）0x 1 + x 21 2bkk 2 0 解得 |k| 1 又F1 O F2x x 2bk 2221 0 ABOA OB x x 2 y y 2 x x 2 kx 1 b kx 2 b 21 k 2 x x 2 kb x 1 x 2 b 2 2kk 2 1 2k 2 41 2 综上可知 OA OB 的最小值为 2 解 2.设此时A x 1,y 1,B x2,y2x2 20,4OA OBx x 2y y 2x x22,要求 OA OB 的最小值,就y y20OA OBx x 22 x 12x 222x x 2x x 2222 x 1x x 1 2x x 1 224 x x 1 24x x 1 2x x 1 222. 3当且仅当x 1x 时, OA OB 达到最小值2.2已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 2,0,右顶点为1 求双曲线 C 的方程；2 如直线 l：ykx2与双曲线 C 恒有两个不同的交点A 和 B,且OAOB2其中 O 为原点 ,求 k 的取值范畴；名师归纳总结 解：（ 1）设双曲线方程为x2y221a0 ,bb0.1 .F1OF2第 4 页,共 5 页a2b2由已知得a3,c2,再由ab222,得2故双曲线 C 的方程为x2y21 .（2）3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀学习资料欢迎下载Bk20.第 5 页,共 5 页将ykx2代入x2y21 得13 k2x262kx90.3由直线 l 与双曲线交于不同的两点得1 3k20,23613 k236162 即k21且k21.设A xA,yA,BxB,yB,就3xAx B6 2k,x x B192, 由 OA OB2 得x xBy yB2,13k23k2而x x By yBx xBkx A2kx B2k21x x B2 k x Axk211922k6 2k23k27.3 k13k23k21于是3 k272,即3 k290,解此不等式得1k23.3k213 k213由、得1k21 .3故 k 的取值范畴为 1,33,1.33- - - - - - -
