2022年高等数学公式必背大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出 超越理想高等数学必背公式说明：这里有你想要的东西,高等数学必备公式一应俱全；导数公式：tgx 2 secxarcsinx1121x2ctgx csc 2xarccosx 1sec x sec xtgx1xcscx csc xctgxarctgx1axaxlnax2logax x1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdx2lncosxCnxdxdxx2 secxdxtgxCCC2 cosctgxdxlnsinxCdxx2 cscxdxctgxsecxdxlnsecxtgxCsin2sec xtgx dxsec xCcscxdxlncscxctgxCdx1arctgxCcscxctgxdxcsc xCa2x2aaaxdxaxCdx1lnxaClnax2a22axashxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxCa2x22aaxxdxa2lnxx2a2dxarcsinxCa2xa2n2sinnxdx2cosnn1In2I00x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：名师归纳总结 sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2du第 1 页,共 15 页u1u221u2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出 超越理想一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦:shxexexexlim x 0sinxx1e2 . 7182818284 59045 .2x双曲余弦:chxexexlim x 11x2shxex双曲正切:thxchxexexarshxlnxx21）archxlnxx21arthx1ln1x21x三角函数公式：名师归纳总结 ·诱导公式：sin函数sincostgctg2cos2第 2 页,共 15 页角 A·和差角公式：- -sin cos -tg -ctg 90° - cos sin ctg tg 90° +cos -sin -ctg -tg 180° - sin -cos -tg -ctg 180° +-sin -cos tg ctg 270° - -cos -sin ctg tg 270° +-cos sin -ctg -tg 360° - -sin cos -tg -ctg 360° +sin cos tg ctg ·和差化积公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscosm sinsintgtgtgsinsin2cos2sin21m tgtgctgcoscos2cos2cos2ctgctgm 1ctgctgcoscos2sinsin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想2 sin2 cossin2sin33 sin4sin 3·倍角公式：sin22sincoscos222 cos112ctg2ctg21cos 34cos 33costg33 tgtg32 ctgtg212 tg213 tg2tgsin·半角公式：cos21cossin21cos22tg21cos1cosctg21cos1cos1sin1cossin1cos1cossincos·正弦定理：aAbBc2R·余弦定理：c2a2b22 abcos CsinsinsinC·反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgx高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz ）公式：uv nnCk nunkvk1 un2vLnn1Lnk1 unkvkLuvnunvk0n1 vn nnu2 .k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfafba柯西中值定理：fbfafFbFaF当F xx 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；曲率：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想1y2dx ,其中ytg化量；s：MM弧长；弧微分公式：ds平均曲率：Ks.:从M点到M点,切线斜率的倾角变M点的曲率：Klim s 0sd 1yy23.ds直线：K;01 a.半径为a 的圆：K定积分的近似运算：bxxbay0y1Lyn1yyn1yn24 y1y3Lyn1矩形法：fnabxba1 2y0yny1L梯形法：fna抛物线法：bfbay0yn2 y24La3n定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p A引力：F k m 1 m2 2 , k 为引力系数rb函数的平均值：y 1 f x dxb a ab均方根：1 f 2 t dtb a a空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想,z 0mt空间2 点的距离：dM1M2x 2x 12y 2y 12z 2z 12向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u 轴的夹角；Prj uvba v1a va v2vbPrja v1b xPrja v2az b z,是一个数量,a vcosa xayb y两向量之间的夹角：cosax2axb xaay byb xa zb zy2b z2ay222bzc va vv bijk,c va vv bsin. 例：线速度：v vw vr v .axayazbxb yb z向量的混合积：a v b vc v a vv b c vaxayaza vv bc vcos,为锐角时,b xbyb zcxcycz代表平行六面体的体积；平面的方程：1、点法式：A xx0Byy0Czz00,其中n vA ,B,C ,M0x 0,y02、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyz1abcx 0平面外任意一点到该平面的距离：dAx0ABy02Cz02D2BC空间直线的方程：xx 0yny0zz0t,其中v sm ,n ,p ;参数方程：xyy 0ntmpzz 0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z21q 同号）a2b2c22、抛物面：x2y2z（p,2p2 q3、双曲面：y2z21单叶双曲面：x2a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）1a2b2c2多元函数微分法及应用名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想duu xdxyu ydyyudz全微分：dzzdxzdyxyz全微分的近似运算：zdzfxx,yxfx ,y多元复合函数的求导法：uzvzfut,vtdzzdtutvtvzfux ,y,v x,yzzuzxuxvx当uux,y,vvx,y时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐函数的求导公式：隐函数Fx ,y0,dydxvFx2,ddxyxFxyFF xdy dxFvFy2FyFy隐函数Fx ,y,z0,zxFx,zyFyFFzFzGFu隐函数方程组：Fx ,y,u,0 0JF,u Gv GGx ,y,u,vGGuGvu,v uvu1F,Gv1F,xJx ,v xJu,xu1F,Gv1F,GyJy ,vyJ u,y微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx0,y0,z0 处的切线方程：xx0yy0zz 0y,y0,z 0zz 00ytt0t0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z 0,就切向量v TFyFz,FzFx,F xFGyGzzxGxGyGx ,y,z 0GG曲面 F x , y , z 0 上一点1、过此点的法向量：n vMx0,y0,z 0,就：x0,y0,z 0,F zx0,y0,z 0Fxx0,y0,z0,FyFzx02、过此点的切平面方程：Fxx0,y0,z 0xx 0Fyx0,y0,z 0yy 03、过此点的法线方程：Fxx,x0z 0Fyy,y 0z0Fzz,z 0,z0x0y0,x 0y0,x0y0方向导数与梯度：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想v jf xcosf ysin函数zfx ,y在一点p x ,y 沿任一方向l的方向导数为：fl其中为x 轴到方向l的转角；函数zfx ,y在一点p x ,y 的梯度：grad fx ,y fv ifxysinv j,为l方向上的v i它与方向导数的关系是：fgradfx ,ye v,其中e vcosl单位向量；f是grad fx ,y 在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx 0,y 00,令：fxxx 0,y0A ,fxyx 0,y 0B ,fyyx 0,y 0CACB20 时,A,0x 0,y0 为极大值A,0x 0,y0为微小值就：ACB20 时,无极值ACB20 时 ,不确定重积分及其应用：fx,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx,y dx2Fx,ydDD曲面zfx,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx,y d,yMx,ydMx,ydDx,y dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2,对于y轴IyD0,0 ,a,a0 的引力：FD,y,Fz,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFxF xfx,yxd3,Fyfx,yyd3,FzfaDx2x,yxd3y2ay2Dx2y2a22Dx222a22柱面坐标和球面坐标：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想zdFr,zrdrddz ,sindr2dvdvxrcos柱面坐标：yrsin,fx,y ,z dxdydzzzddrr2sindrdd其中：Fr,zfrcos,rsin,zxrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2r,fx ,y ,zdxdydzFr,r2sindrdddFr,r2重心：x1xdv,y1ydv,0100Mxzdv,其中MMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z2dv,Izx2y曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： t t ,t,就：yxtt第 8 页,共 15 页设fx ,y 在L 上连续,L的参数方程为：xyfx ,y dsft, t2t2 tdt特别情形：L- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想标的曲线积分）：Q t, t tdt其次类曲线积分（对坐设L 的参数方程为x t t,就：yP x ,y dxQ x ,y dyP t, t tL两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L·平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 0 , 0 ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！·二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx,y ,z dsfx ,y ,z x ,y12 z xx ,yz2x,y dxdydsy对坐标的曲面积分：PDxyx ,y ,z dydzQx ,y ,z dzdxR x ,y ,z dxdy,其中：R x ,y,z dxdyR x ,y ,z x ,ydxdy,取曲面的上侧时取正号；Dxyx y ,z ,y ,z dydz,取曲面的前侧时取正号；Px ,y,z dydzP Dyzx ,y z ,x,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Qx ,y,z dzdxQ Dzx系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos两类曲面积分之间的关高斯公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想RdvPdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdsP xQyz高斯公式的物理意义 通量与散度：的流体质量,如divv0 ,就为消逝.散度：divvPQR, 即：单位体积内所产生xyz通量：v An v dsPcosQcosRcosds,A nds因此,高斯公式又可写成：divv A dvAnds斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系：RQdydzPRdzdxQ xPdxdyPdxQdyPRdzyzzxy上式左端又可写成：dydzdzdxdxdycoscoscosxyzxyz空间曲线积分与路径无PQRPQRRQ z,PzR x,Qx关的条件：yy旋度：rotv AijkxyzPdxQdyRdzv Av t ds向量场P QvA 沿有向闭曲线R的环流量：常数项级数：等比数列：1q2 qLqn11qn1q等差数列：123Lnn1n2调和级数：111L1 n是发散的23级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想根植审敛法（柯西判别法）：1、正项级数的审敛法1 时,级数收敛设：lim nnun,就1 时,级数发散莱布尼兹定理：1 时,不确定2、比值审敛法：1 时,级数收敛设：lim nUn1,就1 时,级数发散Un1 时,不确定3、定义法：s n存在,就收敛；否就发散；s nu 1u 2Lu n;lim n交叉级数u 1u2u3u4L或u1u2u3L,un0 的审敛法假如交叉级数满意unuun1,那么级数收敛且其和 0su1,其余项rn 的确定值rnun1；lim nn确定收敛与条件收敛： 1 u 1 u 2 L u n L,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 L u n L假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：1p 时发散n p 1 时收敛幂级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想Lx1 时,收敛于11x101xx2x3Lxnx1 时,发散对于级数 3 a 0a 1xa2x 2LanxnL,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR 时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设xR 时不定lim na n10 时,R,其中an,an1 是 3 的系数,就0 时,Ra n时,R函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fx n1fx 0xx 0fx 0xx02Lfnx 0xx 0nL.2n .余项：R nfn1xx 0,fx 可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：lim nR n0n1 .x f0 f0 xf 0 xLfn 0 n xx 00 时即为麦克劳林公式：fL.2n .一些函数绽开成幂级数： 1x m1mxm m1 x21Lnm m1 Lmn1xnL1x1 .2n .sinxxx3x5L1nx21Lx.3.52n1 .欧拉公式：eixcosxisinx或cosxeixeix2sinxeixeix2三角级数：ftA 0A nsinntna0ancosnxb nsinnx 在,2n1n1其中,a0aA 0,anA nsinnA ncosn,tx；,bn正交性：,1sinx,cosx,sin2x ,cos2xLsinnx,cosnx L任意两个不同项的乘积上的积分0；傅立叶级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想sinnx,周期L2n2xbnsinnx 是奇函数fxa0n1ancosnxb n2an1fxcosnxdxn0,1,2其中b n1fx sinnxdxn2,13,LL111L21111（相加）6322 58223242111L21111L2（相减）1222426224223242正弦级数：an0,bn2fxsinnxdx,12 ,3 Lf0名师归纳总结 余弦级数：bn0,an2fxcosnxdxn01, 2,Lfx a0ancosnx 是偶函数20第 13 页,共 15 页周期为2l的周期函数的傅立叶级数：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 追求杰出超越理想xb nsinn lx,周期2 lfx a 0n1ancosnl2a n1llfx cosnlxdx n0 ,1,2 Ll其中xdxn1llfxsinnl2,1 3, Lb nl微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx,y或Px ,ydxQx,ydy0u,可分别变量的微