2022年高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载导数的意义基本学问1导数、单侧导数、导函数的定义：左、右导数导函数2导数的几何物理意义：几何意义 ：表示曲线 在点 处的切线斜率,即 其中 是切线的倾角；物理意义：表示做变速直线运动 的物体在 时刻的瞬时速度,即；3在 点可导的性质：性质 1（必要条件）在 点可导 在 点连续,即： 可导连续, 不连续不行导；性质 2（充要条件）依此用于判定连续函数在分段点的可导性；名师归纳总结 即性质 3 在点可导且当有：第 1 页,共 10 页的符号指示了在点当有变化方向！- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4两个结论： 1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数； 2 ）可导的周期函数的导数仍为具有相同周期的周期函数；下面给出结论 1 的证明：即设为偶函数,即又可导,依据导数定义,为偶函数；求导的基本学问1. 求导法就（四就运算法就）：如 都在点 具有导数,那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在 具有导数,且2. 反函数的求导法就：名师归纳总结 如在区间内单调,可导且,就它的反函数第 2 页,共 10 页在区间内也可导,且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载即“ 反函数的导数等于直接函数导数的倒数” ；3. 复合函数的求导法就：如在点可导,就复合函数可导,且4. 常用求导公式：（略）5. 补充两个结论：点连续且点可导,点可导；就点连续且,点可导且就点可导；依此,可便利地判定在一点的可导性；点可导,点连续但不行导,就在点可导即如在点不行导,如在点可导且依此,可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性；名师归纳总结 证明：（或）第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有（或学习必备欢迎下载）（或）且点可导点可导点导数点导数； 点可导存在或即；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设学习必备欢迎下载由知 点可导且设点可导,反证之,如,由由知、点可导且知点可导与条件点连续冲突高阶导数基本学问1. 高阶导数定义 :二阶导数：阶导数：2. 高阶导数的基本公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（任意数）、简记为、,、阶可导,重点难点1. 求一给定的函数的任意阶导数即,常用如下方法：（1）归纳法：先逐一求出的一、二、三阶导数,然后正确归纳 的公式（必要时用数学归纳法证明之）；（2）分解法：通过恒等变形将 分解成,求出、,就有；（3）用莱布尼兹公式求乘积函数的 阶导数；（4）利用简洁的初等函数的 阶导数公式；2. 求高阶导一般比较麻烦, 应先化简变成基本公式中的形式,再套用公式；例（1）求有理分式的高阶导时,应先化为真分式和多项式之和,而真分式分解成如干次数较低的分式之和,此后再求导；（2）求三角函数的高阶导时,通过倍角公式或积化和差将其化为如干个基本三角函数的代数和,再行求导；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）反三角函数的高阶导数时,因反双曲、对数函数的一阶导 都是代数函数,它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数；3. 运算带有 或分段函数的复合函数的二阶导数时,应先把复合函 数按分段函数正确表达,再逐次求导；在分段点如一阶导不存在,就 二阶导不必运算； 如存在,应依据一阶导的分段表达式再按导数定义 进行运算,步骤比较多,不要遗漏；习题选解 1. 求以下函数的二阶导数：（10）解：（采纳逐阶求导法解之）（11）解：3. 如存在,求以下函数的二阶导数：（1）解：（2）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：4. 试从 导出：（1）（2）证明：（ 1）（2） 注：、等仍是的函数 6. 验证（、常数）满意关系式；,再验证之 证明： 只须算出8. 求以下函数的阶导数的一般表达式：（2）解：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（4）解：由乘积函数的莱布尼兹公式和 得：9. 求以下函数所指定的阶的导数：（2）求.解：的高阶导数都为零,应当用莱布尼兹公式运算此题在线检测1. 设有阶导数,求证：.2. 求以下函数的阶导数：（3）（2）（1）3. 求,在处的阶导数；.具有二阶导,求4. 设【答案： 1. 略2. （1） 提示：,名师归纳总结 留意 第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2） 提示：变形 （3） 提示：用莱布 尼兹公式 3. 4. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页
