2022年高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载、 . 我们 打败了敌人；我们 把敌人打败了；等比数列的前 n 项和· 例题解析【例 1】设等比数列的首项为 aa0,公比为 qq0,前 n 项和为 80,其中最大的一项为 54,又它的前 2n 项和为 6560,求 a 和 q解 由 Sn=80,S2n=6560,故 q 1 na 1 q = 80 a 11 q q2 n q n= 81 = 6560 1 qa0,q1,等比数列为递增数列,故前 n 项中最大项为 anan=aqn-1=54 将代入化简得a=q 1 S 2n= S S n2nS3n 化简得3a = 2q由,联立方程组解得a=2,q=3S2 2n【例2】 求证：对于等比数列,有证Sn=a1a1q a1q2 a1qn-1S2n=Sna1qna1qn+1 a1q2n-1 =Snqna1a1q a1qn-1 =SnqnSn=Sn1qn 名师归纳总结 类似地,可得S3n=Sn1qnq2n 第 1 页,共 6 页2 2S +S 2n2 = S nS 1n q 22 = S 22qnq2n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S S2nS3n学习必备欢迎下载nq2n = S S 1n q S 1q= S 2 22q nq 2nS 2nS 22n = S S 2nS 3n 说明 此题直接运用前 n 项和公式去解,也很简单上边的解法,敏捷地处理了 S2n、S3n 与 Sn 的关系 介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形常常是解决数学问题的关键,并且变得好,就解法巧【例 3】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数分析设等比数列为 an ,公比为 q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍旧是等比数列,公比为q2,首项分别为a1, a1q解设项数为 2nnN* ,由于 a1=1,由已知可得q 1a 1 1q2n= 851q2a q 1q2n= 1701q2 得：q = 2把q = 2代入得14n= 854n= 256 n = 414即公比为 2,项数为 8说明运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时,对公比q 要分情形讨论有关等比数列的问题所列出的方程 除的方法达到降次的目的组往往有高次与指数方程,可采纳两式相【例 4】挑选题：在等比数列an 中,已知对任意正整数n,有 Sn=2n ,就a2a2 a2等于12nA 2n12B12n123C2n1D14n13解Da1=S1=1,an=SnSn-1=2n-1an=2n-1名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载bn=an2=2n-12=22n-2=4n-1b 1b2 bn= a22 a 2 a2n 112= 1442 4=4n11 3 4n1 【例 5】41设 0V1, m 为正整数,求证：2m1V m1V 1V 2m+1分析直接作,不好下手变形：2m1Vm11V2m1V右边分式的形状,使我们联想到等比数列求和公式,于是有：2m1V m1VV2 V2m 发觉左边有 2m1个 V m,右边有 2m 1项,变形： V mVm V m1V V 2 V2m明显不能左右各取一项比较其大小,试用“ 二对二” 法,即左边选两项与右 边的两项相比较 鉴于左、 右两边都具有 “ 距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点,想到以如下方式比较：VmV m1V 2m,V mV mVV2m-1, , V mVmV m-1V m+1,Vm=V m即 2V m1V 2m,2V mVV2m-1, 依据“ 两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”详细证法从略 ,这些式子明显成立说明 要证 a 11此题最大的特点是解题过程中需要多次用到“ 逆向摸索”：A·BCB0,改证AC；见到11V2m1,去逆向运用S =BVa·qqn,化成 VV2 V2m；要证A D,先证AC,BD,等等善于进行逆向摸索,是对学问娴熟把握的一种表现,同时 也是一种重要的思维才能,平常应留意训练【例 6】数列 a n是等比数列,其中Sn=48,S2n=60,求 S3n解法一利用等比数列的前n 项和公式如 q=1,就 Sn=na1,即 na1=48,2na1=96 60,所以 q 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - S = a 1 n 1n q 学习必备欢迎下载qS 2n=a 1q2nqnnq2n1qn1+a 1q qn1qqS n 1qn= 1 4q3nS 3n=a 1 1qa1 1qn 11q=Sn1qn q2nS 3n = 481 14 + 1 16 = 63解法二 利用等比数列的性质：Sn,S2n Sn,S3nS2n 仍成等比数列60482=48·S3n 60 S3n=63解法三 取特别值法取 n=1,就 S1=a1=48,S2n=S2=a1a2=60 a2=12 a n 为等比数列 q = a 2 1 a = 3a 1 4S3n=S3=a1a2a3=63【例 7】已知数列 an 中, Sn 是它的前 n 项和, 并且 Sn+1=4an 2nN* ,a1=1 1设 bn=an+12annN* ,求证：数列 b n 是等比数列；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2设cn=annN*学习必备欢迎下载是等差数列,求证：数列c 2n解1Sn+1=4an2Sn+2=4an+12 两式相减,得 Sn+2Sn+1=4an+1=4annN* 即： an+2=4an+1 4an 变形,得 an+2 2an+1=2an+1 2an bn=an+12ann N* bn+1=2bn由此可知,数列b n 是公比为 2 的等比数列由 S2=a1a2=4a12,a1=1 可得 a2=5,b1=a22a1=3 名师归纳总结 bn=3· 2n-1c = a 12第 5 页,共 6 页2 cn=a n2 nN*cn+1cnan1anan1n2an2n12n21=bn2n+1将 bn=3·2n-1 代入,得cn+1c =3 4nN*由此可知,数列c 是公差d = 3 4的等差数列,它的首项1,故cn=1n1·3224即：C = 3 4n14说明利用题设的已知条件,通过合理的转换,将非等差、非等比数列转化- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载为等差数列或等比数列来解决名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
