2022年高考理科常用数学公式总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载高考理科常用数学公式总结1. 德摩根公式 C U ( A B ) C A C B C U ( A B ) C A C B . 2. A B A A B B A B C B C A A C B C A B R3. card A B ) cardA cardB card A B )card A B C ) cardA cardB cardC card A B )card A B ) card B C ) card C A ) card A B C . 4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 一 般 式 f ( x ) a x 2bx ( c a 0 ) ; 顶 点 式2f x ( ) a x h ) k a 0) ; 零点式 f x ( ) a x x 1 )( x x 2 )( a 0) . 5. 设 x 1 x 2 a , b , x 1 x 2 那么( x 1 x 2 ) f x 1 ) f x 2 ) 0 f x 1 ) f x 2 ) 0 f x ( ) 在 a b 上是增函数；x 1 x 2( x 1 x 2 ) f x 1 ) f x 2 ) 0 f x 1 ) f x 2 )0 f x ( ) 在 a b 上是减函数 . x 1 x 2设函数 y f ( x ) 在某个区间内可导，如果 f (x ) 0，则 f (x ) 为增函数；如果 f (x ) 0，则f (x ) 为减函数 . 6. 函 数 y f x ( ) 的 图 象 的 对 称 性 : 函 数 y f x ( ) 的 图 象 关 于 直 线 x a 对 称f ( a x ) f ( a ) x f ( 2 a x ) f ( x. 函数 y f x 的图象关于直线 x a b2对称 f a mx ) f b mx ) f a b mx ) f mx . 7. 两个函数图象的对称性 : 函数 y f x 与函数 y f ( x ) 的图象关于直线 x 0 ( 即 y 轴)对称 . 函数 y f mx a 与函数 y f b mx 的图象关于直线 x a b对称 . 函数2 my f (x ) 和 y f 1 x ) 的图象关于直线 y=x 对称 . m8. 分数指数幂 a nn 1m（a 0, m n N ，且 n 1）. ama n 1m（a 0, m n N ，且 n 1）. a n9. log aN b a bN a 0, a 1, N 0) .10. 对数的换底公式 log a N loglog mm Na . 推论 log a m b nm nlog a b . 11. a n s 1 , n 1 ( 数列 a n 的前 n 项的和为 s n a 1 a 2 a ). s n s n 1 , n 2名师归纳总结 第 1 页，共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载*12. 等差数列的通项公式 a n a 1 ( n 1) d dn a 1 d n N )；其前 n 项和公式 s n n a 1 a n ) na 1 n n 1) d d n 2( a 1 1 d n . 2 2 2 213. 等比数列的通项公式 a n a q n 1 a 1 q n( n N *)；qna 1 (1 q ) , q 1 a 1 a q q 1其前 n 项的和公式 s n 1 q 或 s n 1 q . na q 1 na q 114. 等比差数列 a n : a n 1 qa n d a 1 b q 0) 的通项公式为b ( n 1) , d q 1a n bq n( d b q n 1d q 1；q 1nb n n 1) , d q 1其前 n 项和公式为 s n d 1 q nd . ( b ) n q 11 q q 1 1 qn15.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款 x ab (1n b ) 元(贷款 a 元, n 次还清 ,每期利率为 b ). (1 b ) 116. 同角三角函数的基本关系式 sin 2cos 21， tan = sin， tan cot 1 . cos17. 正弦、余弦的诱导公式nsin(n 2s(n)( 1) sin,为偶数为奇数n1( 1)2cos ,con 为偶数)( 1)2cos ,n1 为奇数2( 1)2sin18. 和角与差角公式sin()sincoscossin2; 的 象 限 决; cos()coscossinsin(平方正弦公式 ); )tantan. tan(1tantansin()sin()sin2sin2cos()cos()2 cossin. asinbcos=a2b 2 sin()( 辅 助 角所 在 象 限 由 点 ( , )名师归纳总结 第 2 页，共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载定, tan b ).a19. 二倍角公式 sin2 sin cos . cos2 cos 2sin 22cos 21 1 2sin 2. tan 2 2 tan2 . 1 tan20. 三角函数的周期公式 函数 y sin( x )，xR及函数 y cos( x )，xR(A, ,为常数，且 A 0， 0) 的周期 T 2；函数 y tan( x )，x k , k Z (A,2 , 为常数，且 A 0， 0) 的周期 T . 21. 正弦定理 a b c 2 R . sin A sin B sin C2 2 2 2 2 2 2 2 222. 余弦定理 a b c 2 bc cos A ; b c a 2 ca cos B ; c a b 2 ab cos C . 23. 面积定理（ 1）S 1ah a 1bh b 1ch （h a、h b、h c 分别表示 a、b、c 边上的高） . 2 2 2（2）S 1ab sin C 1bc sin A 1ca sin B . 2 2 21 2 2(3) S OAB (| OA | | OB |) ( OA OB ) . 224. 三角形内角和定理 在 ABC中，有C A BA B C C ( A B ) 2 C 2 2( A B . 2 2 225. 平面两点间的距离公式2 2d A B =| AB | AB AB ( x 2 x 1 ) ( y 2 y 1 ) (A ( x y 1 )，B ( x 2 , y 2 ) ). 26. 向量的平行与垂直 设 a= ( x 1 , y 1 ) , b= ( x 2 , y 2 )，且 b 0，则a b b= a x y 2 x y 1 0 . a b(a 0) a·b=0 x x 2 y y 2 0 . 27. 线段的定比分公式 设 P x 1 , y 1 )，P x 2 , y 2 )，P x y 是线段 P P 的分点 , 是实数， 且PP PP ，则x 1 x 2x1 OP OP 1 OP 2OP tOP 1 (1 t OP （t 1）. y y 1 y 2 1 1128. 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x ,y ) 、B(x ,y 2 ) 、C(x ,y 3 ) ,则 ABC的重心的坐标是 G ( x 1 x 2 x 3 , y 1 y 2 y 3 ) . 3 3名师归纳总结 第 3 页，共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 29. 点的平移公式' xxhx'(名师精编欢迎下载P(x ，' xhOP'OP' PP ( 图形 F上的任意一点y'ykyy'ky) 在平移后图形F 上的对应点为 'P' x y')，且' PP 的坐标为 ( , ). 30. 常用不等式：（1）a bRa2b22 ab ( 当且仅当 ab 时取“=” 号) ax2bxc（2）a bRa2bab ( 当且仅当 ab 时取“=” 号) （3）a3b33 c3 abc a0,b0,c0).（4）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd2 ) , , , , a b c dR .（5）ababab31. 极值定理已知x,y都是正数，则有（1）如果积 xy 是定值 p ，那么当xy时和xy有最小值2p；（2）如果和xy是定值 s ，那么当xy时积 xy有最大值1 s . 432. 一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果 a 与同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax2bxc 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同第 4 页，共 11 页号两根之外，异号两根之间. x 1xx2(xx 1)(xx2)0(x 1x 2)；xx 1,或xx 2(xx 1)(xx 2)0(x 1x2). 33. 含有绝对值的不等式当 a> 0 时，有xax2a2axa . xax2a2xa 或 xa . f x ( )034. 无理不等式（ 1）f x ( )g x ( )g x ( )0 . f x ( )g x ( )（2）f x ( )g x ( )f x ( )02或f x ( )0. g x ( )0g x ( )0f x ( ) ( )f x ( )0（3）f x ( )g x ( )g x ( )0. f x ( ) ( )235. 指数不等式与对数不等式 (1) 当a1时 , f x ( )0af( )ag x ( )f( )g x ; logaf x ( )logag x ( )g x ( )0. f x ( )g x ( )名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (2) 当 0a1 时, g x ;log名师精编欢迎下载0f x ( )af( )ag x ( )f( )af x ( )logag x ( )g x ( )0f x ( )g x ( )ky2y 1（P x 1,36.斜率公式y 1)、P 2(x 2,y2)）. x 2x 137.直线的四种方程（1）点斜式yy 1k xx 1)( 直线 l 过点P x 1,y 1)，且斜率为 k )0). （2）斜截式ykxb (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ). （3）两点式yy 1xx 1(y 1y )(P x y 1)、P 2(x 2,y2) (x 1x ). y 2y 1x 2x 1（4）一般式AxByC0(其中 A 、B 不同时为 0).38.两条直线的平行和垂直（1）若l1:yk xb ，l2:yk xb 2l 1l2k 1k2,b 1b 2;l1l2k k 21. (2)若l1:A xB yC 10, 2:A xB yC20,且 A 1、 A2、B1、B2都不为零 , l 1l2A 1B 1C 1；l1l2A A 2B B20；A 2B 2C239.夹角公式tan|k2k 1|.( 1:yk xb ，l2:yk xb ,k k21)1k k 2 1tanA B 2A B 1( 1:A xB yC 10, 2:A xB2yC20,A A 2B B2A A 2B B 2直线l1l 时，直线 l 1与 l2 的夹角是2. 40.点到直线的距离d|Ax0ABy02C|(点P x 0,y0),直线 l ：AxByC0). 2B41. 圆的四种方程（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2. 0(D2E24F 0). A x 1,y 1)、（2）圆的一般方程x2y2DxEyF（3）圆的参数方程x yarcos. brsiny 1)(yy2)0( 圆的直径的端点是（4）圆的直径式方程(xx 1)(xx 2)(yB x2,y2). b0)的参数方程是xacos. x). 第 5 页，共 11 页42. 椭圆x2y21(a2ab2ybsina2)，PF2e(a243. 椭圆x2y21(ab0)焦半径公式PF 1e (x2ab2cc名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载2 244. 双曲线 x2 y2 1( a 0, b 0) 的焦半径公式a b2 2a aPF 1 | ( e x ) |，PF 2 | ( x ) | . c c245. 抛 物 线 y 2 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P ( y, y ) 或 P ( 2 pt 2 , 2 pt ) 或 P ( x , y )， 其 中2 p2y 2 px . 246. 二次函数 y ax 2bx c a x b) 2 4 ac b( a 0) 的图象是抛物线： （1）顶点坐标2 a 4 a2 2为 ( b, 4 ac b)；（ 2 ） 焦 点 的 坐 标 为 ( b, 4 ac b 1)；（ 3 ） 准 线 方 程 是2 a 4 a 2 a 4 a24 ac b 1y . 4 a2 247. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 或2 2 2 2AB (1 k )( x 2 x 1 ) | x 1 x 2 | 1 tan | y 1 y 2 | 1 co t（弦 端 点A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )，由方程 y kx b消去 y 得到 ax 2bx c 0，0 , 为直线F ( x , y ) 0AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）. 48. 圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线 F x y ( , ) 0 关于点 P x 0 , y 0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x 0- ,2 y 0 y ) 0 . （2）曲线 F x y ( , ) 0 关于直线 Ax By C 0 成轴对称的曲线是F x 2 ( A Ax2 By2 C ), y 2 ( B Ax2 By2 C ) 0 . A B A B2 2 249.“ 四线” 一方程 对于一般的二次曲线 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0，用 x x 代 x ，用 y y 代 y ，用 2 x y xy 0 代 xy，用 x 0 x 代 x ，用 y 0 y 代 y 即得方程2 2 2x y xy 0 x 0 x y 0 yAx x B Cy y D E F 0，曲线的切线， 切点弦， 中点弦，2 2 2弦中点方程均是此方程得到 . 50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、 b(b 0 )，a b 存在实数 使 a= b51. 对空间任一点 O和不共线的三点 A、B、C，满足 OP xOA yOB zOC ，则四点 P、A、B、C是共面 x y z 152. 空间两个向量的夹角公式 cos a，b= a b 1 1 a b 2 a b 3（ a( a a 2 , a 3 )，b2 2 2 2 2 2a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3( b b b 3 )）. 名师归纳总结 第 6 页，共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 53.直线 AB 与平面所成角arc名师精编欢迎下载的法向量 ). |（ m ，n 为平面，sin|AB m|( m 为平面AB|m54.二面角l的平面角arccos|m n|或arccos|m nm nm n的法向量） . 55. 设 AC是 内的任一条直线，且BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB所成的角为1， AB与 AC2, 与二面角 ; l 的方向向量所成的角为2，AO与 AC所成的角为则coscos1cos2. 56. 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,的棱所成的角是 ，则有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos|12|180(12) ( 当且仅当90 时等号成立 ). 57. 空间两点间的距离公式若 A(x 1,y z 1)，B(x2,y2,z 2)，则dA B=|AB|AB AB(x 2x 1)2(y 2y 1)2(z 2z 1)2. 58. 点 Q 到直线 l 距离h|1|(|a|b|)2(a b)2( 点 P 在直线 l 上，直线aa= PA ，向量 b= PQ ). 59.异面直线间的距离 d | CD n |( 1 l l 是两异面直线，其公垂向量为 n ， C、D 分别是 l 1 , l 2| n |上任一点， d 为 1 , l 间的距离 ). | AB n |60.点 B 到平面 的距离 d（ n 为平面 的法向量， AB 是经过面 的一条斜线，| n |A）. 2 2 261.异面直线上两点距离公式 d d m n 2 mn cos'(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 AA 的长度为 h. 在直线 a、b 上分别取两点 E、F，A E 'm , AF n , EF d ). 2 2 2 2 2 2 262. l l 1 l 2 l 3 cos 1 cos 2 cos 3 1（长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l 1、 、2 l 3，夹角分别为1、2、3）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）. '63. 面积射影定理 S Scos(平面多边形及其射影的面积分别是 S、S ，它们所在平面所成锐二面角的为 ').64. 欧拉定理 ( 欧拉公式 ) V F E 2 ( 简单多面体的顶点数 V、棱数 E和面数 F) 65. 球的半径是 R，则其体积是 V 4R , 其表面积是 3S 4 R 2366. 分类计数原理（加法原理）N m 1 m 2 m . 名师归纳总结 第 7 页，共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编欢迎下载; （4）n ). （4） ; 67. 分步计数原理（乘法原理 ）Nm 1m 2m . 68. 排列数公式m A =n(n1 )(nm1 )=(nn！.( n ， m N *，且 mm )！n) 69. 排列恒等式（1）m A n(nm1)m A n1; （2）m A nnnmm A n1; （3）m A nm nA n11n nA nn A n1n A ; （5）m A n1m A nm mA n1. 170. 组合数公式Cm=A n m=n(n11 )(nm1 )=m！n！m( n ， m N *，且 m)！nA m m2m(n 71. 组合数的两个性质(1) Cm=Cnm ;(2) Cm+Cm1=Cm1nnnnn 72. 组合恒等式 （1）Cmnm1Cm1;（2）CmnnmCm1;（3）CmnCm1; nmnnnnmn1nCr=n 2 ; （5）CrCr1Cr2CrCr1. nrrrnn1r073. 排列数与组合数的关系是：m A nm Cm . n74. 二项式定理(ab)nC0anC1an1bC2an2b2CranrbrCnbnnnnnn二项展开式的通项公式：T r1Cranrbr(r0，n). n75. 等可能性事件的概率 P A ) m. n76. 互斥事件 A，B 分别发生的概率的和77. n 个互斥事件分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) P(A1A2 An)=P(A 1) P(A2) P(An) 78. 独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A· B)= P(A) ·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2· · A n)=P(A 1) · P(A 2) · · P(A n)80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P k ( ) C P k k (1 P ) n k .81. 离散型随机变量的分布列的两个性质：（ 1）iP 0( i 1,2, ) ; （2）P 1 P 2 1 . 82. 数学期望 E x P 1 x P 2 x P n83. 数学期望的性质： （1）E a b ) aE ( ) b ；（2）若B n p )，则 E np . 2 2 284. 方差 D x 1 E p 1 x 2 E p 2 x n E p n85. 标准差 = D . 2 2 286. 方差的性质 (1) D E ( E ) ;(2) D a b a D；（ 3）若B n p ，则D np (1 p . 2x87. 正态分布密度函数 f x 1e 2 2, x , 式中的实数 ，（>0）是参2数，分别表示个体的平均数与标准差 . 名师归纳总结 第 8 页，共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编欢迎下载