2022年平面向量的基本定理及坐标表示.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3 平面对量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）23 1 平面对量基本定理；2.3.2 平面对量的正交分解及坐标表示 教学目标 一、学问与才能：1 明白平面对量基本定理；2把握平面对量基本定理,懂得平面对量的正交分解及坐标表示；3能够在详细问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达 . 二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培育同学转化问题的才能 .三、情感、态度与价值观：培育对现实世界中的数学现象的奇怪心,学习从数学角度发觉和提出问题教学重点： 平面对量基本定理,向量的坐标表示；平面对量坐标运算教学难点： 平面对量基本定理一、复习回忆：1实数与向量的积：实数 与向量 a的积是一个向量,记作： a（1）| a |=| |a |；（ 2） >0 时 a 与 a 方向相同； <0 时 a与 a 方向相反； =0 时 a = 02运算定律结合律： a = a ；安排律： + a = a + a , a +b = a + b3. 向量共线定理向量 b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ,使 b = a . 二、师生互动,新课讲解：摸索： 给定平面内任意两个向量 e1, e2,请作出向量 3e1+2e2、e1-2 e2,平面内的任一向量是否都可以用形如 1e1+ 2e2的向量表示呢？. 在平面内任取一点 O,作 OA e1, OB e2, OC a,过点 C 作平行于直线 OB 的直线,与直线 OA 交于点 M ；过点 C 作平行于直线 OA 的直线,与直线 OB 交于点 N. 由向量的线性运算性质可知,存在实数 1、2,使得 OM 1e1,ON 2e2. 由于 OC OM ON ,所以 a= 1e1+ 2e2,也就是说任一向量 a 都可以表示成 1e1+ 2e2 的形式 . 1 平面对量基本定理（1）定理：假如e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使得名师归纳总结 a=1e1+2e2. 第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 把不共线的向量e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底. （2）向量的夹角已知两个非零向量a 和 b,作 OA=a, OB =b,就AOB=0180 叫做向量a 与 b 的夹角,当 =0 时, a 与 b 同向；当=180 时, a 与 b 反向 . 假如 a 与 b 的夹角是 90 ,就称 a 与 b 垂直,记作a b. 例 1 （课本 P94 例 1）已知向量e1、e2,求作向量 -2.5 e1+3e2；解：变式训练 1： 如图在基底 e1、e2 下分解以下向量：解：AB 2 e 1 2 e ,CD 3 e 1 3 e ,EF 3 e 1 2 e ,GH 6 e 1 3 e 22 平面对量的正交分解及坐标表示（1）正交分解把一个向量分解为两个相互垂直的向量,叫做把向量正交分解 . （2）向量的坐标表示摸索： 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示,对平面直角坐标系内的每一个向量,如何表示呢？在直角坐标系中,分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底,就对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、y 使得a=xi+yj,把有序数对 x,y 叫做向量 a 的坐标,记作a= x,y, 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,明显,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - i=1,0,j=0,1,0=0,0. （3）向量与坐标的关系摸索： 与 a 相等的向量坐标是什么？向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应,由于相等向量对应的坐标相同）当向量起点被限制在原点时,作 OA=a,这时向量 OA 的坐标就是点 A 的坐标,点 A 的坐标也就是向量 OA 的坐标,二者之间建立的一一对应关系 . 例 2（课本 P96 例 2） 如图,分别用基底 i、j 表示向量 a、b、c、d,并求出它们的坐标 . 解： a=2i+3j=2,3, b=-2 i+3j=-2,3 c=-2 i-3 j=-2,-3 d=2i-3 j=2,-3. 变式训练 2： 在直角坐标系xOy 中,向量 a、b、c 的方向和长度如下列图,分别求他们的坐标. 解：设 a=a 1,a2,b=b1,b2,c=c1,c2,就a1=|a|cos45 =222,a2=|a|sin45 =222; 2, 60,求向量 OA 的坐标 . 第 3 页,共 4 页22b1=|b|cos120 =313,b2=|b|sin120333 3; 2222c1=|c|cos-30=432 3,c2=|c|sin-30=4122因此a2,2 ,b3 3 3 ,2 2,c2 3,2. xOA|OA|43,例 3：已知 O 是坐标原点,点A在第一象限,43sin 606解：设点A x y ,就x43 cos6023,y即A2 3,6,所以OA2 3,6. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练 3：如图, e1、 e2 为正交基底,分别写出图中向量a、b、c、d 的分解式,并分别求出它们的直角坐标. 解： a=2e1+3e2=2,3 ,b=-2 e1+3e2=-2,3,c=-2 e1-3 e2=-2,-3,d=2e1-3 e2=2,-3. 三、课堂小结,巩固反思：1 平面对量基本定理；2 平面对量的正交分解；3 平面对量的坐标表示 . 四、课时必记：1、平面对量的基本定理：假如 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 1、2,使得功 a= 1e1+ 2e2. 把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底 . 2、当向量起点被限制在原点时,作 OA =a,这时向量 OA的坐标就是点 A 的坐标, 点 A 的坐标也就是向量 OA的坐标,二者之间建立的一一对应关系 . 五、分层作业：A 组：1、设 e1、e2是同一平面内的两个向量,就有 A.e1、e2肯定平行 B.e1、e2 的模相等C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =e1+e2、R D.如 e1、e2不共线,就同一平面内的任一向量a 都有 a =e1+ue2、uR 2、已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2不共线,就 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定3、已知向量 e1、e2不共线,实数 x、y 满意 3x-4ye1+2x-3ye2=6e1+3e2,就 x-y 的值等于 A.3 B.-3 C.0 D.2 4、已知 a、 b 不共线,且 c =1a+2b1,2R,如 c 与 b 共线,就 1= . 5、已知 10, 20,e1、e2是一组基底,且 a =1e1+2e2,就 a 与 e1_,a 与 e2_填共线或不共线 . B 组：C组：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
