2022年高二数列复习教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案课 题：数列复习小结 教学目的：1系统把握数列的有关概念和公式2明白数列的通项公式 a 与前 n 项和公式 S 的关系3能通过前 n 项和公式 S 求出数列的通项公式 a 授课类型： 复习课 课时支配： 1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程 ：一、学问网络二、学问纲要1数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列2等差、等比数列的定义3等差、等比数列的通项公式4等差中项、等比中项5等差、等比数列的前 三、方法总结n 项和公式及其推导方法1数列是特别的函数,有些题目可结合函数学问去解决,表达了函数思想、数形结合的思想2等差、等比数列中,a1、a 、n、dq、S n“ 知三求二”,表达了方程组的思想、整体思想,有时用到换元法3求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行争论,表达了分类争论的思想4数列求和的基本方法有：公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等四、等差数列1相关公式：名师归纳总结 （ 1）定义：an1andn1,1d为常数第 1 页,共 11 页（ 2）通项公式：a nan1 d- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编n优秀教案na 1nn1 d（ 3）前 n 项和公式：S na 1an22（ 4）通项公式推广：a n a m n m d2.等差数列 a n 的一些性质（ 1）对于任意正整数 n,都有 a n 1 a n a 2 a 1（ 2） a n 的通项公式 a n a 2 a 1 n 2 a 1 a 2 （ 3 ） 对 于 任 意 的 整 数 p , q , r , s, 如 果 p q r s, 那 么a p a q a r a s（ 4）对于任意的正整数 p , q , r,假如 p r 2 q,就 a p a r 2 a q（ 5）对于任意的正整数 n>1,有 2 a n a n 1 a n 1（ 6）对于任意的非零实数 b,数列 ba n 是等差数列,就 a n 是等差数列（ 7）已知bn是等差数列,就anb n也是等差数列3 kS2 k仍（ 8）a2n,a2n1,a3n,a3n1,a3n2等都是等差数列（ 9）S 是等差数列an的前 n 项和,就S k,S2kSk,S成等差数列,即S 3m3 S 2mS m（ 10）如SmSnmn,就Snn0（ 11）如Spq,Sqp,就Spqpq（ 12）Snan2bn,反之也成立五、等比数列1相关公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）定义：an1qn名师精编优秀教案,1q0an名师归纳总结 （ 2）通项公式：ana 1qn1第 3 页,共 11 页na1q1（ 3）前 n 项和公式：S na1 1qnq11q（ 4）通项公式推广：a namqnm2.等比数列a n的一些性质（ 1）对于任意的正整数n,均有an1a 2ana 1（ 2）对于任意的正整数p ,q,r,s,假如pqrs,就apaqaras（ 3）对于任意的正整数p ,q ,r,假如2qpr,就apara q2（ 4）对于任意的正整数n>1,有an2an1an1（ 5）对于任意的非零实数b,ban也是等比数列（ 6）已知bn是等比数列,就anbn也是等比数列（ 7）假如an0,就logaan是等差数列（ 8）数列logaan是等差数列,就an是等比数列（ 9）a2n,a2n1,a3n,a3n1,a3n2等都是等比数列10S 是等比数列an的前 n 项和,当 q=1 且 k 为偶数时,Sk,S2kSk,S3 kS 2k不是等比数列 . 当 q 1 或 k 为奇数时,S k,S2kSk,S 3 kS2 k仍成等比数列- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 六、数列前n 项和名师精编优秀教案（1）重要公式：123nnn1；1；1n n2 11 .n .）212222 3n2n n1 2 n63 13 23 n123n22（2）等差数列中,SmnS mS nmndmSnqnSm（3）等比数列中,SmnS nSmq（4）裂项求和：n11 11；（nn .nnnn1七、例题讲解例 1 一等差数列共有9 项,第 1 项等于 1,各项之和等于369,一等比数列也有 9 项,并且它的第 等比数列的第 7 项1 项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等,求选题意图：此题主要考查等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式解：设等差数列为an,公差为 d,等比数列为bn,公比为 q. 9 a 1 a 9 由已知得： a 1 =b 1=1, S 9 369 a 9 812又 b 9 9 , 8 81, 2 ,b 7 1 627,即等比数列的第 7 项为 27例 2 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 1 =4 a +2nN, a1 =1. 1设 b = a n 1-2 a ,求证：数列 b n 为等比数列,a n2设 Cn= n ,求证： C n 是等差数列2选题意图：此题考查等差、等比数列的定义及规律推理才能名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 1Sn1=4a +2,名师精编an1优秀教案an2=4an1-4a , S n2=4+2,相减得an22an12an12an,又bnan12an,b n13 ,2b n.又S2a 1a24a12,a 1,1a25 ,b 1a22a 1bn是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列,b =3× n1. 2 Cnan,2nn13C n1Cnan1anan1n2 anbn13222n12n212nn14C 1a1122Cn是以1 为首项,23 为公差的等差数列4说明：一个表达式中既含有a 又含有 ,一般要利用a S S n1（ ）,消去S 或a ,这里是消去了S 八、课后作业 ：名师归纳总结 1. 已知数列a 的前 n 项和S ,满意： log 2（S +1） =n+1求此数第 5 页,共 11 页列的通项公式a S =2n1-1 解：由 log 2 （S +1）=n+1,得当 n=1 时, a1 =S 1 =22 -1=3；n1-1-（ 2n -1）=2n 当 n2 时,a S Sn1=2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 在数列名师精编n1+优秀教案a a 中, a 1=0,aS =n2 +2n（nN+ ）求数列的通项公式解：由于an1+S =n2 +2n ,an1S n1S ,2 +2n就an1+S Sn1S +S S n1,即Sn1= n其次课时例题例 1 在 ABC 中,三边a ,b,c成等差数列,a,b,c也成等差数列,求证 ABC 为正三角形证： 由题设,2 bac且2baa2c0从而ac4bac2accac2ac即bac（获证）例 2 从盛有盐的质量分数为20%的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg盐水,然后加入 1 kg 水,以后每次都倒出 1 kg 盐水,然后再 加入 1 kg 水,问： 1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g？2.经 6 次倒出后,一共倒出多少k 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？名师归纳总结 解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为a ,就：第 6 页,共 11 页a 1= 0.2 kg , a 2 =1 × 0.2 kg , 2a 3 = 1 22 × 0.2 kg由此可见：a = 1 2n1× 0.2 kg , a = 1 251× 0.2= 1 24× 0.2=0.0125 kg- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.由 1.得名师精编优秀教案q=1a 是等比数列a1=0.2 , 2名师归纳总结 S 6a 11q60.2110 .3 9 3 7 5第 7 页,共 11 页2 161q120.40.3 9 3 7 5 0 .0 0 6 2 50.0 0 6 2 5 20 .0 0 3 1 2 5例 3 在等比数列a n中,a1a336,a2a460,S n400,求 n 的范畴解：a 1a 3a 12q236,a 1q6又a2a4a 1q1q260,且1q20,a 1q0,a 1q61,q210解之：a 12或a 12q3q3当a 12 ,q3时,Sna11qn23n14003n401,1q2n6（3527336729）当a 12,q3时,Sn23n14003n801,4nN*且必需为偶数n8,（372187,386561）例 4 设a , b 都是等差数列,它们的前n 项和分别为A , B , 已知A n5n3,求an；a 5Bnbnb 82n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 1：an2an名师精编1优秀教案1 a 1a2n1a 1a2n1 2 1 22 nbn2b nb 1b 2n1 2n1 b 1b 2n1A 2n110n2. , , B2n14 n3解法 2：a , b 都是等差数列An5 n3Bn2n1可设A kn5n+3 , B =kn2n-1 a =A -A n1= kn5n+3-n-15n-1+3=kn10n-2b =B -Bn1=kn2n-1-n-12n-1-1 =kn4n-3a = b nkn 10n2=10n2kn4 n3 4n3解：由解法 2,有a =A -A n1= kn5n+3-n-15n-1+3=kn10n-2, , c 成等b =B -Bn1=kn2n-1-n-12n-1-1 =kn4n-3a k5105-2=240k b k848-3=232k a = b 8240k30232k29Sn例 5 设等差数列 a 的前 n 项和为S , 1 假如 a 2 9, S4 40, 问是否存在常数 c,使数列 差数列；名师归纳总结 2 如 果S n2 6n, 问 是 否 存 在 常 数c, 使 得cS n1第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cSn2cS n2名师精编优秀教案对任意自然数 n 都成立解：1 由 a 2 9, S4 40, 得 a 17, d2, a 2n5, S n 26n, Sncn26 nc2对 当 c9 时, Sncn3 是等差数列；2 cS n1cS n2cS n2对任意自然数 n 都成立,等价于 cS n 成等差数列 , 由于S n2 6ncS nn3 2c9, 即使 c9, cS n|n3|, 也不会成等差数列,因此不存在这样的常数c 使得cS n1cS n2cS n任意自然数 n 都成立三、课后作业 ：1已知 a , a 2 , a , , a , 构成一等差数列, 其前 n 项和为 S nn 2 , 设 b a nn , 记 b 的前 n 项和为 T , 1 求数列 a 的通项公3式； 2 证明：T <1. 解：1 a S 1, 当 n2 时, a S S n 12n1; 由于 n1 时符合公式,a 2n1 n1. 名师归纳总结 2 T 1352 n1, 第 9 页,共 11 页3927n 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1T 13名师精编2 nn优秀教案11, 32 n392733 n两式相减得23 T 1 3 9 227 23 2n 23 nn 1 11 3 1 13 3 1n 1 23 nn 1 1 , T 1 2 1 12 3 1n 1 22 n3 n 1<1, 2已知等差数列 a 的前 n 项和为 S ,b 1 , 且 a 3 b 1 , S 3S n 2S 21, 1 求数列 bn 的通项公式； 2 求证：b b b b <2. 解： 1设等差数列 a 的首项为 a , 公差为 d,就 a 3 b a 2d·11 , 3 a 1 3 d 2S S 8 a 13d21, 解得 a 1, d1, a n, S n n 1 , b 2 ; 2 n n 1 2 b b b b n2· 11 21 23已知函数 f xx11 1 1 <2. 3 n n 12 , 数列 a 是公差为 d 的等差数列,数名师归纳总结 列b 是公比为 q 的等比数列 qR, q 1, q 0, 第 10 页,共 11 页如a f d1, a f d1, b f q1, b f q1, 1 求数列 a , b 的通项公式；2 设数列 nc 对任意的自然数n 均有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c 1c2c 3cn名师精编优秀教案c 5c c2n1的值an1成立,求c b 1b2b 3bn解： 1 a f d1d22 ,a f d1d2 , 2 , a a 2d, 即 d2 d22 2d, 解得 d2, a 0, a 2n1, 又1b f q1q22 , b f q1q2 , b q b 1qq22q2 , 2 q 1, q3, 1b 1, b 3n12 设m cnnN, 数列m 的前 n 项和为S , b n就S an12n, S n1a 2n1, S Sn12, 即cn2, c 2b 2·3n1b nc 3c c c2n122· 32 2· 32n229n119n41, 9九、板书设计 （略）十、课后记：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页