2022年高中数学解题基本方法之数学归纳法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载五、数学归纳法归纳是一种有特别事例导出一般原理的思维方法；归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种； 不完全归纳推理只依据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法, 在数学推理论证中是不答应的；完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来；数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用；它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在 n1 或 n 0 时成立, 这是递推的基础； 其次步是假设在n k 时命题成立, 再证明 n k1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判定命题的正确性能否由特别推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限；这两个步骤亲密相关,缺一不行,完成了这两步,就可以肯定“ 对任何自然数（或nn 0 且 nN）结论都正确” ；由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳；运用数学归纳法证明问题时,关键是n k1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识, 留意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题；运用数学归纳法,可以证明以下问题：与自然数 等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等；、再现性题组：n 有关的恒等式、代数不等式、三角不1. 用数学归纳法证明 n 1n 2 n n 2 n ·1· 2 2n 1 （nN）,从“k到 k1” ,左端需乘的代数式为 _； A. 2k 1 B. 22k1 C. 2 k 1 D. 2 k 3k 1 k 12. 用数学归纳法证明 111 n 1 <n n>1 时,由 nk k>1 不等式成2 3 2 1立,推证 nk 1 时,左边应增加的代数式的个数是 _； A. 2 k 1 B. 2 k 1 C. 2 k D. 2 k 1 3. 某个命题与自然数 n 有关,如 nk kN时该命题成立,那么可推得 nk 1 时该命题也成立； 现已知当 n5 时该命题不成立, 那么可推得 _； 94 年上海高考 A. 当 n6 时该命题不成立 B. 当 n6 时该命题成立 C. 当 n4 时该命题不成立 D. 当 n4 时该命题成立4. 数列 a n 中,已知 a1 1,当 n2 时 a n a n 1 2n1,依次运算 a 2 、a 3 、a 4 后,猜想 a n 的表达式是 _；名师归纳总结 34k A. 3n 2 B. n2 C. 3n 1 D. 4n 3 第 1 页,共 6 页5. 用数学归纳法证明34n252n1 nN能被14 整除,当nk 1 时对于式子1 252k1 1应变形为 _；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载6. 设 k 棱柱有 fk 个对角面,就 k1 棱柱对角面的个数为fk+1 fk _；【简解】 1 小题： n k 时,左端的代数式是 k 1k 2 k k,n k1 时,左端的 2 k 1 2 k 2 代数式是 k 2k 3 2k 12k 2 ,所以应乘的代数式为,选 B；k 12 小题：（ 2 k 1 1）（ 2 k 1） 2 k ,选 C；3 小题： 原命题与逆否命题等价,如 nk1 时命题不成立, 就 n k 命题不成立, 选 C；4 小题：运算出 a 1 1、a 2 4、 a 3 9、a 4 16 再猜想 a n ,选 B；5 小题：答案（ 3 4 k 25 2 k 1）3 k 5 2 k 1（5 2 3 4 ）；6 小题：答案 k1；、示范性题组：8·1 8·n例1. 已知数列1 2·3 2,得, , 2 n 1 2· 2 n 1 2, ；S n 为其前 n 项和, 求 S1、S2 、S3 、S4 ,估计 S n 公式,并用数学归纳法证明；（93 年全国理）【解】运算得 S1 8,S2 24,S3 48,S 4 80,9 25 49 812推测 S n 2 n2 n 1 1 2 1 nN；当 n1 时,等式明显成立；名师归纳总结 假设当 nk 时等式成立,即：S k 2kk1 221,第 2 页,共 6 页21 当 nk1 时, S k 1 Sk 2k8·2k1 3 21 ·2k2kk1 2212k8·2k1 3221 1 ·2k2k1 22kk322·2kk3 228·k1 21 23 2k1 22k·3 22k1 22k3 221, 2 k1 22 k3 22 k3 由此可知,当nk1 时等式也成立；综上所述,等式对任何nN都成立；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【注】把要证的等式优秀学习资料1欢迎下载2k 32,再S k 1 2kk3 22作为目标,先通分使分母含有23 考虑要约分, 而将分子变形, 并留意约分后得到（2k3）2 1；这样证题过程中简洁一些,有效地确定了证题的方向；此题的思路是从试验、观看动身, 用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是关于探干脆问题的常见证法,在数列问题中常常见到；假如猜想后不用数学归纳法证明,结论不肯定正确,即使正确,解答过程也不严密；必需要名师归纳总结 进行三步：试值 猜想 证明；第 3 页,共 6 页【另解】用裂项相消法求和：由 a n 2n8·nn1 22n11 22n11 2得,1 2·2S n （ 11 2）（31 2 1 2） 3 52n11 22n11 212n11 22nn1 221；21 此种解法与用试值猜想证明相比,过程非常简洁,但要求发觉2n1 8·nn1 22·22n11 22n11 2的裂项公式；可以说,用试值猜想证明三步解题,具有一般性；例 2. 设 a n 1×22×3 n n1 nN, 证明：1 2nn 1<a n <1 2n 12 ；【分析】与自然数n 有关,考虑用数学归纳法证明；n1 时简洁证得, nk1 时,因为a k 1 a k k1 k2 , 所 以 在 假 设n k成 立 得 到 的 不 等 式 中 同 时 加 上k1 k2 ,再与目标比较而进行适当的放缩求解；【解】当 n1 时, a n 2 ,1 2nn+1 1 2,1 2 n+12 2 , n 1 时不等式成立；假设当 nk 时不等式成立,即：1kk 1<a k <1 2 k 12,21当 nk1 时,1 2kk 1 k 1 k 2 <a k 1 <1 2 k 1 2 kk 1 k 1 1 k 1k 3>12 2k1 k2 , k2 >1 2k 1k 2 ,kk 1 k1 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1k 12 k1 k优秀学习资料欢迎下载2 <1k 12 k 3 2 1 2k2 1 2k 12 k23 k2222,n所以1 2k 1k 2 <ak< 1 2k 22 ,即 nk1 时不等式也成立；综上所述,对全部的n N,不等式1 2nn 1<a n <1 2n 12 恒成立；【注】用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,留意适当选用放缩法；此题中分别将k1 k2 缩小成 k 1 、将k1 k2 放大成 k 3 2 的两步放缩是证k1 时不等式成立的关键；为什么这样放缩,而不放大成k 2 ,这是与目标比较后的要求,也是遵循放缩要适当的原就；此题另一种解题思路是直接采纳放缩法进行证明；主要是抓住对 n n 1 的分析,注意与目标比较后,进行适当的放大和缩小；解法如下：由 n n 1 >n 可得, a n >123 n12nn 1 ；由 n n 1 <n12 可得, a n <1 23 n1 2× n12nn 1 12 n12n 2 2n<12n 1 2 ；所以12 nn 1<a n <1 2n 1 2 ；例 3. 设数列 a n 的前 n 项和为 Sn ,如对于全部的自然数 n,都有 S n n a 12 an ,证明 a n 是等差数列；（94 年全国文）【分析】要证明 a n 是等差数列,可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式,即证： a n a 1 n 1d ；命题与 n 有关,考虑是否可以用数学归纳法进行证明；【解】设 a 2 a 1 d,推测 a n a 1 n 1d 当 n1 时, a n a 1 , 当 n1 时推测正确；当 n2 时, a 1 2 1d a 1 da 2 ,假设当 nk（k2）时,推测正确,即：当 n2 时推测正确；a k a1 k 1d ,当 nk1 时, a k 1Sk 1S k k 1 a 1 ak 1 k a 1 ak ,2 2将 a k a 1 k 1d 代入上式,得到 2a k 1 k 1a 1ak 1 2ka1kk 1d ,整理得 k 1a k 1k 1a 1kk 1d ,由于 k 2, 所以 a k 1a 1 kd,即 nk1 时推测正确；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载综上所述,对全部的自然数n,都有 a n a 1 n 1d ,从而 a n 是等差数列；【注】将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数 n 成立的问题；在证明过程中 a k 1的得出是此题解答的关键,利用了已知的等式 S n n a 12 an 、数列中通项与前 n 项和的关系 a k 1 Sk 1 S k 建立含 a k 1的方程,代入假设成立的式子 a k a 1 k1d 解出来 a k 1；另外此题留意的一点是不能忽视验证n1、n2 的正确性,用数学归纳法证明时递推的基础是 n2 时等式成立,由于由 k 1a k 1 k 1a 1kk 1d 得到a k 1 a 1 kd 的条件是 k2；【另解】可证 a n 1 a n a n an 1对于任意 n2 都成立：当 n2 时, a n S n S n 1 n a 1 an n 1 a 1 an 1 ；同理有 a n 1 S n 1 S n n 1 a 1 an 1 2 2 2n a 12 a n ；从而 a n 1 a n n 1 a2 1 an 1 na 1 a n n 1 a2 1 an 1 ,整理得 a n 1 a n a n an 1,从而 an 是等差数列；一般地,在数列问题中含有 a n 与 S n 时,我们可以考虑运用 a n S n S n 1 的关系,并留意只对 n2 时关系成立,象已知数列的 、巩固性题组：S n 求 a n 一类型题应用此关系最多；1. 用数学归纳法证明：62n11 n N能被 7 整除；2 nN；2. 用数学归纳法证明： 1 × 42× 73× 10 n3n 1 nn 13. n N,试比较 2n 与n 12 的大小,并用证明你的结论；sinx 814.用数学归纳法证明等式：cosx 2·cosx 2·2cosx 3· ·2cosx n 22n·sinx2n年全国高考 5. 用数学归纳法证明： |sinnx|n|sinx| （n N）；（85 年广东高考）6. 数列 a n 的通项公式 a n 12 n N,设 fn 1 a1 1 a 2 1 a n , n 1 试求 f1 、f2、f3 的值,估计出 fn 的值,并用数学归纳法加以证明；7. 已知数列 a n 满意 a1 1,a n a n 1cosx cosn 1x , x k ,n2 且 nN；名师归纳总结 求 a 2 和 a 3；. 推测 a n ,并用数学归纳法证明你的推测；第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 设 flogax a x x a21 , 优秀学习资料欢迎下载. 在 yfx的图像上是否存在 . 求 fx的定义域；21 两个不同点, 使经过这两点的直线与x 轴平行？证明你的结论；. 求证：fn>n n>1且 nN名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页