2022年数列求和方法教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的位置. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要肯定的技巧 . 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧 . 一、利用常用求和公式求和名师归纳总结 利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1（利用常用公式）第 1 页,共 10 页1、 等差数列求和公式：S nna 12anna1nn1 d22、等比数列求和公式：S nna 1q na 1anqqq11a 111q1q3、S nkn1k1nn1 4、S nkn1k21nn1 2n265、S nkn1k31n n1 22例 1 已知log3xlog13,求xx2x3xn的前 n 项和 . 2解：由log3xlog13log3xlog32x122由等比数列求和公式得S nxx2x3xnx1xn1 111122 1n1x12n2 （利用常用公式）2例 2 设 Sn 1+2+3+ +n,nN*,求fnnS nS n1的最大值 . 32解：由等差数列求和公式得Sn1nn1 ,Sn1n1 n22fnnS nS n1n2n643234nn164n1250134850nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当n8,即 n8 时,f学习必备1欢迎下载nmax850例 3 求2 1223242522 629922 100 3711199 解：原式222 1 422 3 62 5 10022 99 由等差数列求和公式,得原式50319950502二、错位相减法求和类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法；如数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到,即数列是一个“ 差· 比” 数列,就采纳错位相减法 . 如 a n b n c ,其中 b n 是等差数列,nc 是公比为 q 等比数列,令S n b c b c n b 1 n c 1 n b c就 qS n b c 2 b c 3 n b n 1 c n b c两式相减并整理即得名师归纳总结 例 4 求和：Sn13x5x27x32n1 xn1 第 2 页,共 10 页解：由题可知,2n1 xn1 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列xn1 的通项之积设xSn1x3x25x37x42n1xn .（设制错位）得 1xS n12x2x22x32x42xn12n1xn（错位相减 ）再利用等比数列的求和公式得：1xS n12x11xn12n1xnxS n2n1 xn12n1xn1x1x2小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和公式求和 . 例 5 求数列2,4,6,2n,前 n 项的和 . 222232n解：由题可知,2n 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列1的通项之积n 22n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（设制错位）设Sn2462n 222232n1S n2462n 22223242n1得 11S n222222n（错位相减 ）222223242n2n122112nn2n1S n4nn221例 7 （2022 年全国 第 19 题第（ 2）小题,满分 6 分）已知ann2n1,求数列 an的前 n 项和 Sn. 解：S n1 202 21n1 2n2n2n12S n1 1 22 22n1 2n1n2n得S nn2n0 1 2212n1n2n2n1c n的公比 q ；将两小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列个等式相减；利用等比数列的前n 项和的公式求和 . 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个a 1an. 例 8 求证：C03 C15 C22n1 Cnn1 2nnnnn证明：设S nC0 n3 C1 n5 C2 n2n1 Cn n . 把式右边倒转过来得名师归纳总结 例 9 求S n2n1 Cn2n1 Cn13 C1 nC0 n . .（反序）第 3 页,共 10 页nnCm nCnm可得又由n1 C13 Cn1Cn nS n2n1 C02nnnn+得2S n2 n2C0C1Cn1Cn n2n1 2n（反序相加）nnnSnn1 2nsin288sin289的值sin21sin22sin23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设Ssin21sin22sin23学习必备sin2欢迎下载sin289 .88将式右边反序得Ssin289sin2882 s i n32 s i n22 s i n1 .（反序）89（反序相加）又由于sinxcos90x,sin2xcos2x1+得2Ssin21cos21sin22cos22sin289cos289 S44.5 例 10 求2 12 12222292322 3821022 1的和10102分析：由于数列的第k 项与倒数第 k 项的和为常数1,故采纳倒序相加法求和解：设S2 12 122 222922 32 3821022 110102就S1022 12 292922 32 882102 12 11022两式相加,得2S1111 0S5小结 ：对某些具有对称性的数列,可运用此法. 例 11 已知函数fxx 22x2（1）证明：fxf1x1；（2）求f1f2f8f9的值 . 10101010解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边（2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知,f1ff9ff2ff8ff5f51101010101010令S128910101010就Sf9f8f2f110101010两式相加得：名师归纳总结 2S9f1f99所以S9. 第 4 页,共 10 页10102- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载小结：解题时,仔细分析对某些前后具有对称性的数列,可以运用倒序相加法求和 . 四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列.如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 . 例 12 求和：S n23 5143 527,63 532n3 5n解：S n23 5143 5263 532n3 5n例 13 2462 n3 5152535n3 n2, ,11 a4 ,1,11求数列的前n 项和：1a2an解：设Sn1114 1a113n2 7aa2n将其每一项拆开再重新组合得例 14 Sn111a111471n3n2n（分组）aa2n当 a1 时,Snn3n21 n3 n1n3 n1 （分组求和）2当a1时,S n113 n21naaan a1112a求数列 nn+12n+1 的前 n 项和 . k解：设akkk1 2k1 2 k33 k2knnk33k2S nkk1 2k1 2k1k1将其每一项拆开再重新组合得名师归纳总结 Sn2nk33nk2nk22nnn2 12n（分组）第 5 页,共 10 页kk11k12 1 32 3n331 2n2n121 2n1 （分组求和）n n12222nn1 2 n2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 15 求数列211, ,81, ,2n21学习必备欢迎下载11是一个等比数列,故采1,的前 n 项和S 416n分析：此数列的通项公式是a n2n11,而数列 2 n 是一个等差数列,数列2n2n用分组求和法求解解：S n2462 11111n n111122234 22n2n 2小结： 在求和时,肯定要仔细观看数列的通项公式,假如它能拆分成几项的和,而这些项分别构成等差数列或 等比数列,那么我们就用此方法求和 . 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后 . 通项分解 （裂项） 如：（ 1）a nfn1 fn（2）cossin11 tann1 tann21 1ncos n1 111121（ 3）a n2n 211（4）annn1 nn2n1 2n2n1n（ 5）a n1n212n,就Sn1n12n11n11 nn2nn1 2n1 6 ann212 n1n11nn12nn n1 2nn2n1n1 1把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消, 于是前 n 项的和变成首尾如干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法；适用于类似c1（其中na是各项不为零的等差数列,c 为常数）的数列、部分无理数列a a n等；用裂项相消法求和,需要把握一些常见的裂项方法：名师归纳总结 （1）1 n nk111,特殊地当k1时,111n11n1n第 6 页,共 10 页knnkn nn（2）n1n1nkn,特殊地当k1时n1S nnkk1an11,求它的前 n 项和例 15、数列a n的通项公式为n n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：S na 1a2a 3an1an学习必备欢迎下载名师归纳总结 11111第 7 页,共 10 页122334nn 1nn1=111111n1111n1122334nn1n11nn1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差,且这两项是同一数列的相邻两项,即这两项的结构应一样,并且消项时前后所剩的项数相同. 针对训练 5、求数列112,213,12,n1n1,的前 n 项和S . 3例 16求数列112,213,n1n1,的前 n 项和 . 解：设ann1n1n1n（裂项）就Sn112213n1n1（裂项求和）2132n1nn11例 17 在数列 a n 中,a nn11n21nn1,又b nan2n1,求数列 b n 的前 n 项的和 . a解：a nn11n21nn1n2bnn218 1n1 1（裂项）nn22数列 b n 的前 n 项和Sn8 1111111n11（裂项求和）22334n81n1 18nn1例 18 求证：cos01cos112cos88189c o scos 1coscos2 s i n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设Scos011学习必备欢迎下载tan2tan89（裂项）11coscos 1cos2cos88cos89cosnsin11 tann1 tanncos nScos0111（裂项求和）cos 1cos1cos2cos88cos891tan1tan88tan0tan2tan1tan3sin1tan01cot1cos11tan89sin1sin1sin21的和原等式成立1n n12n1,例 19已知2 122n26求32 15222 17322 12n12 nnN2 12 222分析：第一将数列的通项公式化简,然后留意到它可写成两项的差,在求和的过程中,中间的项相互抵消了,从而可求出原数列的前n 项和 . 61,的相邻两项的差,即a nb n1b ,就有解：a n2 12 n12 n1n n2 n1n12 212n n6S n611221311n n611111n11223nnb6 1n11ln1.n小结： 假如数列an的通项公式很简单表示成另一个数列S nb n1b .这种方法就称为裂项相消求和法. 六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 20 求 cos1° + cos2° + cos3° +· · · + cos178° + cos179° 的值 . 解：设 Sn cos1° + cos2° + cos3° +· · · + cos178° + cos179°名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - cosncos 180n学习必备欢迎下载（找特殊性质项） Sn （cos1° + cos179° ） +（ cos2° + cos178° ） + （ cos3° + cos177° ） +· · ·+（cos89° + cos91° ） + cos90°（合并求和） 0 例 21 数列 a n：a 121 ,a293,a 32,an2a n1a n,求 S2002. 解：设 S2002a 1a2a32 ,a2002an1an可得由a 1,1a3 ,a3an2a4,1a 5a,3a62,a 113 ,a 122 ,a7,1a,32 ,a10,18 a6k11 ,a6k23,a6k32,a6k4,1a6k5a3 ,a6k62a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k602000a6k1（找特殊性质项）S2002a1a2a3a2002（合并求和）7a8a12a 1a2a 3a6aa6k2a6k6a1993a 1994a 1998a 1999a2001a2002a1999a2000a2001a20024a6k1a6k2a6k3a6k5 例 22 在各项均为正数的等比数列中,如a5a6,9求log3a 1log3a23a6log3a 10的值 . 解：设Snlog3a 1log3a2log3a 10得3a5log（找特殊性质项）由等比数列的性质mnpqamanapaq和对数的运算性质logaMlogaNlogaMN（合并求和）Snlog3a 1log3a10log3a2log3a 9loglog3a 1a10log3a 2a9log3a5a6log39log39log39 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载七、利用数列的通项求和先依据数列的结构及特点进行分析,找出数列的通项及其特点,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法. n1（找通项及特点）例 23 求1111111111之和 . n 个1解：由于111111999191 10k1 99（分组求和）k 个k 个1111111111n个11 1011 1 1021 11031 1 10n1 99991 10110210310n111111 99n个110 10n11 n9109（找通项及特点）1 10n1109n 81例 16 已知数列 a n ：ann8n3,求n1n1 anan1的值 . 1 解：n1 anan18n1 n1n3 n1n41 2 （设制分组）8n21n4 n1n4 3 4n12n148n134（裂项）n1n1 anan14n1n12n148n1n13n14（分组、裂项求和）4118134413 3说明：本资料适用于高三总复习,也适用于高一“ 数列” 一章的学习；名师归纳总结 - 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