2023届高三数学专项复习圆锥曲线中的定点问题含答案、.pdf

2023届高三数学专项复习圆锥曲线中的定点问题2023届高三数学专项复习圆锥曲线中的定点问题一、考情分析一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题二、解题秘籍(一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略二、解题秘籍(一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量(此处设为k)(2)利用条件找到k与过定点的曲线F x,y=0 的联系，得到有关k与x,y的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点 x0,y0，使得无论 k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于 k 与x,y的等式进行变形，直至易于找到x0,y0.常见的变形方向如下：若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“k”的形式，从而x0,y0只需要先让括号内的部分为零即可 若等式为含k的分式，x0,y0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【例1】【例1】(2023 届河南省顶级名校高三上学期月考)(2023 届河南省顶级名校高三上学期月考)设 F1,F2分别是椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左 右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设D 0,1是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.【例【例2 2】椭圆C的焦点为 F1-2,0，F22,0，且点 M2,1在椭圆 C上过点 P 0,1的动直线 l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D(不同于点A)(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标(二二)直线过定点问题直线过定点问题1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y=kx+b，然后利用题中条件整理出 k,b 的关系，若b=km+n m,n为常数，代入y=kx+b得y=k x+m+n，则该直线过定点-m,n.【例【例3 3】(20232023届福建省泉州市高三毕业班质量监测届福建省泉州市高三毕业班质量监测(一一)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0过点A-2,0右焦点为F，纵坐标为32的点M在C上，且AFMF(1)求C的方程：(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点(三三)圆过定点问题圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为PAPB，也可以转化为PA PB=0【例【例4 4】(20222022届广西“智桂杯”高三上学期大联考届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1，0)，与x轴不重合的直线l过焦点F，l与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，AB=3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左顶点为P，PA，PB的延长线分别交直线x=4于M，N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.(四四)确定定点使某个式子的值为定值确定定点使某个式子的值为定值求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例【例5 5】(20232023 届山西省山西大学附属中学校高三上学期届山西省山西大学附属中学校高三上学期 9 9 月诊断月诊断)如图，椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)，|A1B1|=7，F1是椭圆C的左焦点，A1是椭圆C的左顶点，B1是椭圆C的上顶点，且A1F1=F1O，点P(n,0)(n0)是长轴上的任一定点，过P点的任一直线l交椭圆C于A,B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定点Q(x0,0)，使得QA QB 为定值，若存在，试求出定点Q的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.(五五)与定点问题有关的基本结论与定点问题有关的基本结论1.若直线l与抛物线y2=2px交于点A,B，则OAOB直线l过定点P 2p,0；2.若直线l与抛物线y2=2px交于点A,B，则kOAkOB=m直线l过定点P p+m+p2,0；3.设点P 2pt02,2pt0是抛物线y2=2px上一定点，M,N是该抛物线上的动点，则PMPN直线MN过定点Q 2p+2pt02,-2pt0.4.设点A x0,y0是抛物线y2=2px上一定点，M,N是该抛物线上的动点，则 kAMkAN=m直线MN过定点P x0-2pm,-y0；5.过椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A,B，则PAPB直线AB过点Q-a a2-b2a2+b2,0；6.过双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左顶点 P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 A,B，则 PA PB直线AB过点Q-a a2+b2a2-b2,0；7.设点P m,n是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若kPA+kPB=0，则直线AB过定点 m-2n,-n-2b2ma2；8.设点 P m,n是双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a0,b0一定点，点 A,B 是双曲线 C 上不同于 P 的两点，若kPA+kPB=0，则直线AB过定点 m-2n,-n+2b2ma2.【例【例6 6】(20232023 届山西省长治市高三上学期届山西省长治市高三上学期 9 9 月质量检测月质量检测)已知点 P 1,32在椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)上，且点P到椭圆右顶点M的距离为132(1)求椭圆C的方程；(2)若点A，B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14试判断直线AB是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由【例【例7 7】(20222022届海南华侨中学高三上学期月考届海南华侨中学高三上学期月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，点M 0,-1是椭圆的一个顶点，F1MF2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=4，求证：直线AB过定点12,1.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期1010月联考月联考)在一张纸上有一个圆C：x+52+y2=4，定点 M5,0，折叠纸片使圆 C 上某一点 M1好与点 M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 PQ，设折痕PQ与直线M1C的交点为T(1)求证：TC-TM为定值，并求出点T的轨迹C方程；(2)设A-1,0，M为曲线C上一点，N为圆x2+y2=1上一点(M，N均不在x轴上)直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2=-14k1，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标2.(20232023 届广东省广东广雅中学高三上学期届广东省广东广雅中学高三上学期 9 9 月测试月测试)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22圆O(O为坐标原点)在椭圆C的内部，半径为63P，Q分别为椭圆C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为1-63(1)求椭圆C的方程；(2)A，B是椭圆C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上求证：以AB为直径的圆过定点3.(20232023届湖南省永州市高三上学期第一次考试届湖南省永州市高三上学期第一次考试)点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上，离心率e=72.(1)求双曲线C的方程；(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P)，k1,k2分别表示直线PA,PB的斜率，满足k1k2=32，求证：直线AB恒过一个定点，并求出该定点的坐标.4.(20232023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C:y2=2px(p0)，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，|FM|=4，OFM=120(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点Q x0,2在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA,QB，分别交C于A，B两点(异于Q点)证明：直线AB恒过定点5.(20232023 届四川省部分重点中学高三上学期届四川省部分重点中学高三上学期 9 9 月联考月联考)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的右顶点是 M(2，0)，离心率为12(1)求椭圆C的标准方程(2)过点T(4，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由6.(20232023届安徽省滁州市定远县高三上学期届安徽省滁州市定远县高三上学期9 9月月考月月考)设直线x=m与双曲线C:x2-y23=m(m0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M，F为C的右焦点，若M，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点7.(20232023届江西省智慧上进高三上学期考试届江西省智慧上进高三上学期考试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为2，C的离心率为22(1)求C的标准方程；(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，P(2,0)，且总存在实数R，使得PF=PA PA+PB PB ，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由8.(20232023 届山西省高三上学期第一次摸底届山西省高三上学期第一次摸底)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别是F1-1,0，F21,0，点A 0,b，若AF1F2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2(1)求椭圆C的方程；(2)过C的左焦点F1作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若DE MN=0，证明：直线PQ过定点9.(20232023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C与双曲线x212-y23=1有相同的渐近线，且过点A(2 2,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点，且DE DF=0,DGEF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值.10.(20232023 届江苏省南京市高三上学期届江苏省南京市高三上学期 9 9 月学情调研月学情调研)已知抛物线 C：y2=2px p0的焦点为 F，过点 P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点(1)求p的值；(2)是否存在定点T，使得TA TB 为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由11.(20232023 届江苏省百校联考高三上学期第一次考试届江苏省百校联考高三上学期第一次考试)设F 为椭圆 C：x22+y2=1 的右焦点，过点 F 且与 x 轴不重合的直线l交椭圆C于A，B两点.(1)当BF=2FA 时，求 FA；(2)在x轴上是否存在异于F的定点Q，使kQAkQB为定值(其中kQA，kQB分别为直线QA，QB的斜率)？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.12.(20222022届辽宁省名校联盟高三上学期届辽宁省名校联盟高三上学期1212月联考月联考)已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，点MM(x x0,4)在C上，且 MF=5p2(1)求点M的坐标及C的方程；(2)设动直线l与C相交于A,B两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由13.(20222022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2.离心率等于63，点P在y轴正半轴上，PF1F2为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，当点A关于y轴的对称点在直线PB上时，直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.14.(20222022届江苏省南通市高三上学期期末届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1k2的值；(2)若AMPQ=12，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由15.已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当lx轴时，AB=2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.求证：SQAFSQBF为定值.圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题一、一、考情分析考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量(此处设为k)(2)利用条件找到k与过定点的曲线F x,y=0 的联系，得到有关k与x,y的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点 x0,y0，使得无论k的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k与x,y的等式进行变形，直至易于找到x0,y0.常见的变形方向如下：若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“k”的形式，从而x0,y0只需要先让括号内的部分为零即可 若等式为含 k的分式，x0,y0的取值一方面可以考虑使其分子为 0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去 k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【例【例1 1】(20232023 届河南省顶级名校高三上学期月考届河南省顶级名校高三上学期月考)设 F1,F2分别是椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左 右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设D 0,1是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)由题意知，点M在第一象限，M是C上一点且MF2与x轴垂直，M的横坐标为c.当x=c时，y=b2a，即M c,b2a.又直线MN的斜率为24，所以tanMF1F2=b2a2c=b22ac=24，即b2=22ac=a2-c2，即c2+22ac-a2=0,则e2+22e-1=0，解得e=22或e=-2(舍去)，即e=22.(2)已知D 0,1是椭圆的上顶点，则b=1，由(1)知e=22=1-ba2，解得a=2，所以，椭圆C的方程为x22+y2=1，设直线AB的方程为y=kx+m,A x1,y1,B x2,y2，联立y=kx+mx2+2y2=2 可得 1+2k2x2+4kmx+2 m2-1=0*，所以x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2 m2-11+2k2，又DA=x1,y1-1,DB=x2,y2-1，DA DB=x1x2+y1-1y2-1=x1x2+kx1+m-1kx2+m-1=k2+1x1x2+k m-1x1+x2+(m-1)2=k2+12 m2-11+2k2+k m-1-4km1+2k2+(m-1)2=2 m2-1k2+1-4k2m2-m+1+2k2(m-1)21+2k2=0，化简整理有3m2-2m-1=0，得m=-13或m=1.当m=1时，直线AB经过点D，不满足题意；.当m=-13时满足方程*中0，故直线AB经过y轴上定点G 0,-13.【例【例2 2】椭圆C的焦点为F1-2,0，F22,0，且点M2,1在椭圆C上过点P 0,1的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D(不同于点A)(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，由已知得c=2,2a=MF1+MF2=2-22+1+2+22+1=4.所以a=2，b2=a2-c2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1(k0)由x24+y22=1y=kx+1 得(2k2+1)x2+4kx-2=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(-x2,y2)，则=16k2+8 2k2+10 x1+x2=-4k2k2+1x1x2=-22k2+x，特殊地，当A的坐标为(2，0)时，k=-12，所以2x2=-43，x2=-23，y1=43，即B-23,43，所以点B关于y轴的对称点为D23,43，则直线AD的方程为y=-x+2.当直线l的斜率不存在时，直线AD的方程为x=0.如果存在定点Q满足条件，则为两直线交点Q(0，2)，kQA=y1-2x1=y1-1-1x1=k-1x1，kQD=y2-2-x2=-k+1x2，又因为kQA-kQD=2k-1x1+1x2=2k-x1+x2x1x2=2k-2k=0.所以kQA=kQD，即A,D,Q三点共线，故直线AD恒过定点，定点坐标为(0，2)【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点Q(0，2)，然后再根据A,D,Q三点共线，判断直线AD恒过定点，(二二)直线过定点问题直线过定点问题1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y=kx+b，然后利用题中条件整理出 k,b 的关系，若b=km+n m,n为常数，代入y=kx+b得y=k x+m+n，则该直线过定点-m,n.【例【例3 3】(20232023届福建省泉州市高三毕业班质量监测届福建省泉州市高三毕业班质量监测(一一)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0过点A-2,0右焦点为F，纵坐标为32的点M在C上，且AFMF(1)求C的方程：(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点【解析】(1)设点F c,0，其中c=a2-b20，则M c,32，因为椭圆C过点A-2,0，则a=2，将点M的坐标代入椭圆C的方程，可得c2a2+94b2=1可得4-b24+94b2=1，解得b=3，因此，椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)证明：由对称性可知，若直线PQ过定点T，则点T必在x轴上，设点T t,0，设点P x0,y0 x02,y00，则kPA=y0 x0+2，所以，直线PA的垂线的斜率为k=-x0+2y0，故直线FQ的方程为y=-x0+2y0 x-1，在直线FQ的方程中，令x=-2，可得y=3 x0+2y0，即点Q-2,3 x0+2y0，所以，直线PQ的方程为y-y0=y0-3 x0+2y0 x0+2x-x0，因为点T在直线PQ上，所以，-y0=y0-3 x0+2y0 x0+2t-x0，即y20t+2=3 x0+2t-x0，又因为x204+y203=1，所以，y20=3-3x204，将代入可得 3-3x204t+2=3 x0+2t-x0，即 t-2x0+22=0，x0-2，则t=2，所以，直线PQ过定点 2,0.(三三)圆过定点问题圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以 AB为直径的圆过定点 P，求解思路是把问题转化为 PAPB，也可以转化为PA PB=0【例【例4 4】(20222022届广西“智桂杯”高三上学期大联考届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1，0)，与x轴不重合的直线l过焦点F，l与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，AB=3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左顶点为P，PA，PB的延长线分别交直线x=4于M，N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.【解析】(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F(1,0)，则半焦距c=1，当lx轴时，弦AB为椭圆的通径，即|AB|=2b2a，则有2b2a=3，即b2=32a，而a2=b2+c2，于是得a2-32a-1=0，又a0，解得a=2，b=3，所以椭圆C的方程为：x24+y23=1.(2)依题意，直线AB不垂直于y轴，且过焦点F(1,0)，设AB的方程为x=my+1，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12x=my+1 得 3m2+4y2+6my-9=0，y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，因点P(-2,0)，则直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2)，令x=4，得M 4,6y1x1+2，同理可得N 4,6y2x2+2，于是有FM=3,6y1x1+2,FN=3,6y2x2+2，则FM FN=9+6y1x1+26y2x2+2=9+36y1y2my1+3my2+3=9+36y1y2m2y1y2+3m y1+y2+9=9+36-93m2+4-9m23m2+4+-18m23m2+4+9=9+36(-9)36=0，因此，FM FN，即F在以MN为直径的圆上，所以以MN为直径的圆过定点F(1,0).(四四)确定定点使某个式子的值为定值确定定点使某个式子的值为定值求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例【例5 5】(20232023 届山西省山西大学附属中学校高三上学期届山西省山西大学附属中学校高三上学期 9 9 月诊断月诊断)如图，椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)，|A1B1|=7，F1是椭圆C的左焦点，A1是椭圆C的左顶点，B1是椭圆C的上顶点，且A1F1=F1O，点P(n,0)(n0)是长轴上的任一定点，过 P点的任一直线 l交椭圆C于A,B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在定点Q(x0,0)，使得QA QB 为定值，若存在，试求出定点Q的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知知a2+b2=7a-c=ca2=b2+c2，解得a=2b=3c=1，所以椭圆方程为x24+y23=1；(2)假设存在Q(x0,0)满足题意，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，QA=(x1-x0,y1),QB=(x2-x0,y2)，当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k(x-n)，代入x24+y23=1并整理得(4k2+3)x2-8k2nx+4k2n2-12=0 x1+x2=8k2n4k2+3，x1x2=4k2n2-124k2+3QA QB=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=(x1-x0)(x2-x0)+k2(x1-n)(x2-n)=(k2+1)x1x2-(k2n+x5)(x1+x2)-x20+k2n2=k2+14k2n2-124k2+3-k2n+x08k2n4k2+3-x20+k2v2=7n2-8nx0+4x20-12k2+3x20-124k2+3(*)(*)式是与k无关的常数，则3(7n2-8nx0+4x20-12)=4(3x20-12)解得x0=12n+7n8，此时QA QB=x20-4=12n+7n82-4为定值；当直线l与x垂直时，l:x=n，A n,3 1-n24，B n,-3 1-n24，QA QB=(n-x0)2-3 1-n24=x20-4=12n+7n82-4也成立，所以存在定点Q12n+7n8,0，使得QA QB=12n+7n82-4为定值(五五)与定点问题有关的基本结论与定点问题有关的基本结论1.若直线l与抛物线y2=2px交于点A,B，则OAOB直线l过定点P 2p,0；2.若直线l与抛物线y2=2px交于点A,B，则kOAkOB=m直线l过定点P p+m+p2,0；3.设点 P 2pt02,2pt0是抛物线 y2=2px 上一定点，M,N 是该抛物线上的动点，则 PM PN 直线 MN 过定点Q 2p+2pt02,-2pt0.4.设点A x0,y0是抛物线y2=2px上一定点，M,N是该抛物线上的动点，则kAMkAN=m直线MN过定点P x0-2pm,-y0；5.过椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A,B，则PAPB直线AB过点Q-a a2-b2a2+b2,0；6.过双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左顶点 P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 A,B，则 PA PB直线AB过点Q-a a2+b2a2-b2,0；7.设点P m,n是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若kPA+kPB=0，则直线AB过定点 m-2n,-n-2b2ma2；8.设点P m,n是双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若kPA+kPB=0，则直线AB过定点 m-2n,-n+2b2ma2.【例【例6 6】(20232023 届山西省长治市高三上学期届山西省长治市高三上学期 9 9 月质量检测月质量检测)已知点 P 1,32在椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)上，且点P到椭圆右顶点M的距离为132(1)求椭圆C的方程；(2)若点A，B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14试判断直线AB是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由【解析】(1)点P 1,32，在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上代入得：1a2+94b2=1，点P到椭圆右顶点M的距离为132，则132=a-12+94，解得a=2，b=3，故椭圆C的方程为x24+y23=1(2)由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m(k0)，M 2,0，A x1,y1，B x2,y2联立y=kx+m3x2+4y2=12 得 3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0=64k2m2-4 3+4k24m2-12=48 4k2-m2+30 x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，直线MA与直线MB斜率之积为14y1x1-2y2x2-2=14，4 kx1+mkx2+m=x1-2x2-2 化简得 4k2-1x1x2+4km+2x1+x2+4m2-4=0，4k2-14m2-123+4k2+4km+2-8km3+4k2+4m-4=0，化简得m2-2km-8k2=0，解得m=4k或m=-2k 当m=4k时，直线AB方程为y=k x+4，过定点-4,0m=4k代入判别式大于零中，解得-12k b 0)的左右焦点分别为 F1,F2，点M 0,-1是椭圆的一个顶点，F1MF2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=4，求证：直线AB过定点12,1.【解析】(1)由题意可得b=1c=ba2=b2+c2，解得a=2,b=1,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)设A x1,y1,B x2,y2.当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+m，联立y=kx+mx22+y2=1 得 2k2+1x2+4kmx+2m2-2=0.由=16k2m2-4 2k2+12m2-2=8 2k2-m2+10，得2k2+1m2.所以x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1所以k1+k2=y1+1x1+y2+1x2=kx1+m+1x1+kx2+m+1x2=2k+m+1x1+x2x1x2=4，即2k-2kmm-1=4，所以kmm-1=k-2，即km=k-2m-1=km-k-2m+2，所以m=1-k2，所以y=kx+m=kx+1-k2=k x-12+1，所以直线AB过定点12,1.当直线AB斜率不存在时，A x1,y1,B x1,-y1，则k1+k2=y1+1x1+-y1+1x1=2x1=4，所以x1=12，则直线AB也过定点12,1.综合，可得直线AB过定点12,1.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期1010月联考月联考)在一张纸上有一个圆C：x+52+y2=4，定点M5,0，折叠纸片使圆C上某一点M1好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 PQ，设折痕PQ与直线M1C的交点为T(1)求证：TC-TM为定值，并求出点T的轨迹C方程；(2)设A-1,0，M为曲线C上一点，N为圆x2+y2=1上一点(M，N均不在x轴上)直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2=-14k1，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标【解析】(1)由题意得 TM=TM1，所以 TC-TM=TC-TM1=2 b 0)的离心率为22圆O(O为坐标原点)在椭圆C的内部，半径为63P，Q分别为椭圆C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为1-63(1)求椭圆C的方程；(2)A，B是椭圆C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上求证：以AB为直径的圆过定点【解析】(1)设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，由圆的性质，|PQPQ|POPO|-63当点P在椭圆上运动时，当P处于上下顶点时|PO|最小，故|PQPQ|POPO|-63b b-63，即b-63=1-63依题意得ca=22b-63=1-63a2=b2+c2，解得a=2b=1c=1，所以C的方程为x22+y2=1.(2)因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.(i)当直线AB垂直于x轴时，不妨设A63,63，B63,-63，此时OA OB=0，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O.(ii)当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m，A x1,y1，B x2,y2.因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63，即3m2-2k2-2=0.由y=kx+m,x22+y2=1,得 2k2+1x2+4kmx+2m2-2=0，所以x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1，OA OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+km x1+x2+m2=1+k22m2-22k2+1+km-4km2k2+1+m2=1+k22m2-2+km(-4km)+m22k2+12k2+1=3m2-2k2-22k2+1=0，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.3.(20232023届湖南省永州市高三上学期第一次考试届湖南省永州市高三上学期第一次考试)点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上，离心率e=72.(1)求双曲线C的方程；(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P)，k1,k2分别表示直线PA,PB的斜率，满足k1k2=32，求证：直线AB恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上，离心率e=72可得；16a2-9b2=1a2+b2a=72，解出，a=2,b=3，所以，双曲线C的方程是x24-y23=1(2)当直线AB的斜率不存在时，则可设A n,y0,B n,-y0，代入x24-y23=1，得y02=34n2-3，则k1k2=y0-3n-4-y0-3n-4=9-y20(n-4)2=12-34n2(n-4)2=32，即9n2-48n+48=0，解得n=43或n=4，当n=4时，y0=3，A,B其中一个与点P 4,3重合，不合题意；当n=43时，直线AB的方程为x=43，它与双曲线C不相交，故直线AB的斜率存在；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程y=kx+m代入x24-y23=1，整理得，3-4k2x2-8kmx-4m2-12=0，设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=8km3-4k2,x1x2=-4m2+123-4k2，由=(-8km)2-4 3-4k2-4m2-120,m2+34k2，所以k1k2=y1-3x1-4y2-3x2-4=kx1+m-3x1-4kx2+m-3x2-4=k2x1x2+k m-3x1+x2+(m-3)2x1x2-4 x1+x2+16=32所以，2k2-3x1x2+2km-6k+12x1+x2+2m2-12m-30=0，即 2k2-3-4m2-123-4k2+2km-6k+128km3-4k2+2m2-12m-30=0,整理得3m2+16k-6m+16k2-9=0，即 3m+4k+3m+4k-3=0，所以3m+4k+3=0或m+4k-3=0，若3m+4k+3=0，则m=-4k+33，直线AB化为y=k x-43-1，过定点43,-1；若m+4k-3=0，则m=-4k+3，直线AB化为y=k x-4+3，它过点P 4,3，舍去综上，直线AB恒过定点43,-14.(20232023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C:y2=2px(p0)，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，|FM|=4，OFM=120(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点Q x0,2在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA,QB，分别交C于A，B两点(异于Q点)证明：直线AB恒过定点【解析】(1)由|FM|=4,OFM=120，可得Mp2+2,2 3，代入C:12=2pp2+2=p2+4p解得p=2或p=-6(舍)，所以抛物线的方程为：y2=4x(2)由题意可得Q(1,2)，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+n，设A x1,y1,B x2,y2，由y2=4xx=my+n，得y2-4my-4n=0，从而=16m2+16n0，则y1+y2=4my1y2=-4n 所以x1+x2=m y1+y2+2n=4m2+2n，x1x2=my1+nmy2+n=m2y1y2+mn y1+y2+n2=n2，QA QB，QA QB=x1-1x2-1+y1-2y2-2=0，故x1x2-x1+x2+1+y1y2-2 y1+y2+4=0，整理得n2-4m2-6n-8m+5=0即(n-3)2=4(m+1)2，从而n-3=2(m+1)或n-3=-2(m+1)，即n=2m+5或n=-2m+1若n=-2m+1，则x=my+n=my-2m+1=m(y-2)+1，过定点(1,2)，与Q点重合，不符合；若n=2m+5，则x=my+n=my+2m+5=m(y+2)+5，过定点(5,-2)综上，直线AB过异于Q点的定点(5,-2)5.(20232023 届四川省部分重点中学高三上学期届四川省部分重点中学高三上学期 9 9 月联考月联考)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的右顶点是 M(2，0)，离心率为12(1)