2022年新湘教版九年级数学上知识重点.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -湘教版九年级数学上册第一章 反比例函数（一）反比例函数 1 （）可以写成（）的形式,留意自变量x 的指数为,在解决有关自变 2 量指数问题时应特殊留意系数这一限制条件；k,从而（）也可以写成xy=k 的形式,用它可以快速地求出反比例函数解析式中的得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1函数解析式：（）2自变量的取值范畴：3图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时,应留意自变量 x 的取值不能为 0,且 x 应对称取点（关于原点对称）（1）图象的外形：双曲线 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直越小,图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：自变量,函数图象与 x 轴、y 轴无交点 ,两条坐标轴是双曲线的渐近线当 时,图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而减小；当 时,图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称,如（a,b）在双曲线的一支上,（,）在双曲线的另一支上图象关于直线 对称,即如（ a,b）在双曲线的一支上,就（,）和（,）在双曲线的另一支上4k 的几何意义 : 如图 1,设点 P（a,b）是双曲线上 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 任意一点,作PAx 轴于 A点, PBy 轴于 B 点,就矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形 PBO的面积都是）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如图 2,由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点Q也在双曲线上,作 QCPA的延长线于C,就有三角形PQC的面积为 5说明：（1）双曲线的两个分支是断开的,争论反比例函数的增减性时,要将两个分支分别争论,不能一概而论 （2）直线与双曲线的关系：当时,两图象没有交点；当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）依据实际意义列函数解析式2、反比例函数与一次函数的联系 3、充分利用数形结合的思想解决问题一元二次方程其次章（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的 整式方程 （分母不含未知数）,且都可以化为 ax 2bx c 0（ a、b、c 为常 数, a 0）的形式,这样的方程叫一元二次方程； 2、把 ax 2bx c 0（ a、b、c 为常数, a 0）称为一元二次方程的 一般式 ,a 为二次项系数；b 为一次项系数； c 为常数项（包括符号）；（二）一元二次方程的解法 21、直接开平方法：假如方程化成的形式,那么可得；假如方程能化成 p0的形式,那么进而得出方程的根；、配方法： 配方式基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边； 两边加上一次项系数的一半的平方；右边化为一个常数；两边开方求其根；把方程转化成左边为一个完全平方式, 3、公式法xbb24ac（留意在找a、b、c 时须先把方程化为一般形式）2 a 4、分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解；（主要包括“ 提公因式”和“ 十字相乘” ）（三）一元二次方程根的判别式 判别式 =b 2-4ac 与根的关系：当 b 2-4ac>0 时,就方程有两个不等的实数根；当 b2-4ac=0 时,就方程有两个相等的实数根；细心整理归纳 精选学习资料 当 b2-4ac 0 时,就方程有两个实数根； 第 2 页,共 8 页 当 b2-4ac<0 时,就方程无实数根 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（,上述结论反之也成立,但留意都同时要满意二次项系数a 0）（四）一元二次方程根与系数的关系：1、根与系数关系：假如一元二次方程cax2bxc0的两根分别为x1、x2,就有：x 1x 2b,x 1x 2. （韦达定理）aa2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根,求另一根；（2）不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值,特殊留意以下公式：2 x 1x2x 1x 222x x211x 1x 2x 1x 22x 1x 224x x 20的2x 1x 2x x 2x 2|x 1x2|x 1x 224x x2|x 1|x2|2x 1x 222x x 22 |x x 23 x 13 x 2x 1x233x x 2x 1x 2其他能用x 1x 或x x 表达的代数式；xx x 1 2（3）已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程：2 xx1x2xx x 20,（4）已知两数 x 1、x 2的和与积, 求此两数的问题, 可以转化为求一元二次方程x2x 1两根；（五）一元二次方程的应用1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：ax2bxc0（ a 0）（两边同时除以a 得）2 xbxc0（一次项系数b除以 2 并写成完全平方式得）（可作为公式记忆）aaa2、二次代数式配方可以求最值 （应用题常考）：二次代数式ax2bxca1x 2b提取二次项系数a 得2 a xbx c（不能同时除以二次项系数a）a合并常数项得a xb24 acab2（作为公式记忆,一步化到位）2 a4此时可知当xb时,ax2bxc 有最大值（a0）最大值为4 acb22 a4 a当xb时,ax2bxc 有最小值（a .0）最小值为4 acab22 a43、平均增长率问题: （设月增长率为x ）一月产量为a ,二、三月平均增长率为x ,三月产量为b ,就有a1x2b一月产量为a ,二、三月平均增长率为x ,第一季度产量为b ,就有aa1x细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4、翻几番增长率问题：（设年增长率为 x ）两年翻一番,就a1x22a, 解得x2141.4%4a）（次数 2 是指两年翻了两次,翻一番指起初数量a 变成 2a）两年翻两番,就a1x 24a,解得x100%a 变成 2a,再翻一番就变成了（次数 2 是指两年翻了两次,翻一番指起初数量5、相互握手、相互送礼问题：相互握手：1n n1握手次数（ n 是指人数）2相互送礼：n n1礼物总数（ n 是指人数）6、涨价总利润问题：（设涨价x 元）总利润 =（定价 +上涨价格 x 进价）（原销量xg每上涨的价格相应削减的销量每上涨的价格7、降价总利润问题：（设降价x 元）总利润 =（定价降价价格x 进价）（原销量+ xg每下降的价格相应增加的销量每下降的价格第三章图形的相像（一）比例线段1、比例线段的相关概念a bm n假如选用同一长度单位量得两条线段a,b 的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是,或写成a：b=m：n 在两条线段的比a：b 中, a 叫做比的前项,b 叫做比的后项；在四条线段中, 假如其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段ac如四条 a,b, c,d 满意或 a：b=c：d,那么 a,b,c,d 叫做组成比例的项,线段a,d 叫做比例外项,线段b,c 叫做比例内项,线段的d 叫做 a,b,c 的第四比例项；bd假如作为比例内项的是两条相同的线段,即ab或 a：b=b：c,那么线段b 叫做线段 a,c bc的比例中项；2、比例的性质ad=bc a：b=b：cb2ac（ 1）基本性质 a： b=c： d（ 2）更比性质（交换比例的内项或外项）ab（交换内项）d 第 4 页,共 8 页 cdacdc（交换外项）bdbadb（同时交换内项和外项）ca（3）反比性质（交换比的前项、后项）：acbbdac（4）合比性质：acabbcddbd细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（5）等比性质：acembdfn0 acemabdfnbdfnb3、黄金分割把线段 AB 分成两条线段AC ,BC（AC>BC ）,并且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项,叫做把线段AB黄金分割, 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点值得关注的近似数：假设 AB=1就 AC0.618 BC=AD0.382 ） A C B 定义：ACCB5 10.618 较长最短5 10.618 ABAC2最长较长2（二）平行线分线段成比例三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例；如图：如图,由于AD BE CF,所以 AB ：BC=DE ：EF；AB ：AC=DE ：DF；BC：AC=EF ：DF；也可以说 AB ：DE=BC ：EF；AB ：DE=AC ：DF；BC： EF=AC ：DF 推论：（ 1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例；逆定理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边；（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例；（三）相像图形 1、对应角相等,对应边的比相等的两个图形就叫相像图形；叫2、相像多边形：（1）假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形做相像多边形；相像多边形对应边的比叫做相像比（或相像系数）（2）相像多边形的性质：相像多边形的对应角相等,对应边成比例 相像多边形周长的比、对应对角线的比都等于相像比 相像多边形中的对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比 相像多边形面积的比等于相像比的平方（四）相像三角形的判定和性质 1、相像三角形的概念 对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相像三角形；相像用符号“ ” 来表示,相像三角形对 应边的比叫做相像比（或相像系数）；2、相像三角形的基本定理（ 1）反身性：对于任一ABC ,都有ABC ABC ；BC,就 ABC ABC；（ 2）对称性：如ABC A B C ,就 A B C ABC （ 3）传递性：如ABC A B C ,并且A B C A3、三角形相像的判定（1）三角形相像的判定方法定义法 ：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像 平行法 ：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三 角形相像判定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相 第 5 页,共 8 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -似,可简述为 两角对应相等,两三角形相像；判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相像,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像；判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为 三边对应成比例（2）直角三角形相像的判定方法,两三角形相像以上各种判定方法均适用定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似；4、相像三角形的性质（ 1）相像三角形的对应角相等,对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相像比（ 2）相像三角形周长的比等于相像比（ 3）相像三角形面积的比等于相像比的平方；（五）相像三角形的应用测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子（六）位似图形A 物高： B 物高 =A 影长： B 影长1、位似图形：假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 位似中心,此时的相像比叫做位似比；2、性质：（ 1）位似图形对应线段的比等于位似比；（2）位似图形的对应角都相等；（3）位似图形对应点连线的交点是位似中心；（4）位似图形面积的比等于位似比的平方；（5）位似图形高、周长的比都等于位似比；（6）位似图形对应边相互平行或在同始终线上第四章 锐角三角函数（一）正弦、余弦、正切1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、 b 的平方和等于斜边c 的平方；a2b2c212、如下图,在Rt ABC中, C为直角,就 A的锐角三角函数为 A可换成 B：定义表达式取值范畴关系正sinAA的对边sinAa0sinA1sinAcosB弦斜边c A为锐角 cosAsinB余cosAA的邻边cosAb0cosA1sin2Acos2A弦斜边c A为锐角 正tanAA的对边tanAatan A0切A的邻边b A为锐角 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；细心整理归纳 精选学习资料 由AB90A 斜边caB 第 6 页,共 8 页 对得B90A边bC - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 邻边名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sinAcosBsinAcos 90AcosAsinBcosAsin90A 4 、 0° 、 30° 、 45° 、 60° 、 90° 特殊角的三角函数值 重要 60°90°三角函数0°30°45°sin01231 222cos13210222tan0 31 3-3 5、正弦、余弦的增减性：的增大而减小；当 0° 90° 时, sin随的增大而增大, cos随 6、正切的增减性：当 0° <<90° 时, tan随的增大而增大（二）解直角三角形：1、定义：已知边和角（两个,其中必有一边）全部未知的边和角；2、依据：边的关系：a2b2c2；角的关系：A+B=90 ° ；边角关系：三角函数的定义（三）解直角三角形的应用：1、仰角 ：视线在水平线上方的角；铅垂线视线俯角 ：视线在水平线下方的角；仰角俯角 水平线h i h : l视线 l2、坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做 坡度 坡比 ；用字母 i 表示, 即 i hl；坡度一般写成 1: m的形式,如 i 1:5 等；把坡面与水平面的夹角记作 叫做 坡角 ,那么 i htan；l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角；如图 3,OA 、OB 、OC 的方向角分别是： 45° 、 135° 、 225°4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的水平角,叫做方向角；如图 4,OA 、OB、 OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30° （东北方向）,南偏东 45° （东南方向）,南偏西 60° （西南方向）,北偏西 60° （西北方向）；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第五章 用样本推断总体 一）平均数的运算方法（1） 定义法 ：一般地,假如有n 个数x 1,x2,xn,数据比较分散,那么,x1x 1x2xn叫做n这 n 个数的平均数,x 读作“x 拔” ；（2） 加权平均数法 ：假如所给数据重复显现,即n 个数中,x 显现1f 次,x 显现2f 次, ,x 显现kf次（这里f1f2fkn）那么,依据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为xx 1f1x2f2xkfk,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中f1,f2,kf叫做权；n（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时,一般选用简化公式：xx 'a；其中,常数a 通常取接近这组数据平均数的较“ 整” 的数,（x 1'x 1a,x2'x2a, ,xn'xna；x'1x '1x'2x'n是新数据的平均数（通常把x 1,x2,xn,叫做原数据,nx' 1,x'2,x'n,叫做新数据）；（二）、统计学中的几个基本概念 1、总体：全部考察对象的全体叫做总体；2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体；3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量；5、样本平均数：样本中全部个体的平均数叫做样本平均数；6、众数：在一组数据中,显现次数最多的数据叫做这组数据的众数；7、中位数： 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（三）总体平均数和方差的估量1、总体平均数 ：总体中全部个体的平均数叫做总体平均数；统计中, 通常用样本平均数估量总体平均数；2、方差 ：在一组数据 x 1 , x 2 , , x n , 中,各数据与它们的平均数 x 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差；通常用“s ” 表示,即 2s 2 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2n（1）简化运算公式（）：（此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 s 2 1 x 1 2x 2 2x n 2 n x 2 也可写成 s 2 1 x 1 2x 2 2x n 2 x 2n n（2）简化运算公式（）：s 2 1 x ' 1 2x ' 22 x ' 2n n x ' 2 当一组数据中的数据较大时,可以依n照简化平均数的运算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数 a,得到一组新数据2 1 2 2 2 2x 1' x 1 a,x 2' x 2 a, ,x n' x n a,那么,s x ' 1 x ' 2 x ' n x 'n（此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方）（3）新数据法： 原数据 x 1 , x 2 , , nx , 的方差与新数据 x 1' x 1 a,x 2' x 2 a, ,x n' x n a 的方差相等,也就是说,依据方差的基本公式,求得 x ' 1 , x ' 2 , , x ' n , 的方差就等于原数据的方差；3、标准差： 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s” 表示,即2 1 2 2 2s s x 1 x x 2 x x n x n（方差或标准差越大,离散程度越大,稳固性越差,反之越稳固）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -