电路方程的矩阵形式.ppt
电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式l重点重点1.1.关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩2.2.阵和基本割集矩阵的概念阵和基本割集矩阵的概念2.2.结点电压方程结点电压方程3.3.返 回1.1.网络图论网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。有趣味和应用极为广泛的一门学科。下 页上 页 电路的图电路的图返 回2.2.电路的图电路的图R4R1R3R2R6uS+_iR5抛开元抛开元件性质件性质一个元件作一个元件作为一条支路为一条支路元件的串联及并联元件的串联及并联组合作为一条支路组合作为一条支路543216有向图有向图下 页上 页65432178返 回R4R1R3R2R6uS+_iR5图的定义图的定义(Graph)G=支路，结点支路，结点 电路的图是用以表示电路几何结构的图电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。应。图中的结点和支路各自是一个整体。图中的结点和支路各自是一个整体。移去图中的支路，与它所联接的结点依然移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。存在，因此允许有孤立结点存在。如把结点移去，则应把与它联如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。接的全部支路同时移去。下 页上 页结论返 回从图从图G的一个结点出发沿着一些支的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。支路构成路径。(2)路径路径 (3)连通图连通图图图G的任意两结点间至少有一条路的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。在两个分离部分。下 页上 页返 回(4)(4)子图子图 若图若图G1中所有支路和结点都是图中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称中的支路和结点，则称G1是是G的子图。的子图。树树(Tree)T是连通图的一个子图且满足下是连通图的一个子图且满足下列条件：列条件：a.a.连通连通b.b.包含所有结点包含所有结点c.c.不含闭合路径不含闭合路径下 页上 页返 回树支：树支：构成树的支路构成树的支路 连支：连支：属于属于G而不属于而不属于T的支路的支路树支的数目是一定的树支的数目是一定的连支数：连支数：不不是是树树树树对应一个图有很多的树对应一个图有很多的树下 页上 页明确明确返 回回路回路(Loop)L是连通图的一个子图，构成一条是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：闭合路径，并满足：(1)连通，连通，(2)每个结点关联每个结点关联2条支路。条支路。12345678253124578不不是是回回路路回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数；基本回路的数目是一定的，为连支数；1）对应一个图有很多的回路；对应一个图有很多的回路；3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。对于平面电路，网孔数等于基本回路数。下 页上 页明明确确返 回基本回路基本回路(单连支回路单连支回路)12345651231236支路数支路数树支数树支数连支数连支数结点数结点数1基本回路数基本回路数结点、支路和结点、支路和基本回路关系基本回路关系基本回路具有独占的一条连支基本回路具有独占的一条连支下 页上 页结论结论返 回例例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。应的基本回路。876586438243下 页上 页注意注意网孔为基本回路。网孔为基本回路。返 回15.1 15.1 割集割集下 页上 页割集割集Q 连通图连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：把把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连通图。876543219割集割集：(1 9 6)(2 8 9)(3 6 8)(4 6 7)(5 7 8)(3 6 5 8 7),(3 6 2 8)是割集吗？是割集吗？问题问题返 回基本割集基本割集只含有一个树枝的割集。割集数只含有一个树枝的割集。割集数n-1 连支集合不能构成割集。连支集合不能构成割集。下 页上 页注意注意876543219属于同一割集的所有支路的电流应满足属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的上，则割集的KCL方程变为结点上的方程变为结点上的KCL方方程程。返 回下 页上 页注意注意对应一组线性独立的对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独方程的割集称为独立割集立割集，基本割集是独立割集，但独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。不一定是单树支割集。返 回15.2 15.2 关联矩阵、回路关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵、割集矩阵 图的矩阵表示是指图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：的矩阵形式。有三种矩阵形式：下 页上 页1.1.图的矩阵表示图的矩阵表示结点结点支路支路关联矩阵关联矩阵回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵割集割集支路支路割集矩阵割集矩阵返 回下 页上 页2.2.关联矩阵关联矩阵A 用矩阵形式描述用矩阵形式描述结点结点和和支路支路的关联性质。的关联性质。n个个结点结点b条支路的图用条支路的图用nb的矩阵描述：的矩阵描述：Aa=n b支路支路b结结点点 n每一行对应一个结点，每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。矩阵矩阵Aa的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：注意注意ajkajk=1 支路支路 k 与与结结点点 j 关联，方向背离关联，方向背离结结点；点；ajk=-1 支路支路 k 与与结结点点 j 关联，方向指向关联，方向指向结结点；点；ajk=0 支路支路 k 与结点与结点 j 无关。无关。返 回下 页上 页例例1特点特点每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素，一个是+1+1，一个，一个是是-1-1，Aa的每一列元素之和为零。的每一列元素之和为零。Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1矩阵中任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只行中导出，即只有有n-1行是独立的。行是独立的。返 回下 页上 页Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1降阶关联矩阵降阶关联矩阵A特点特点 A的某些列只具有一个的某些列只具有一个+1或一个或一个1，这样，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。行对应的结点可以当作参考结点。Aa=(n-1)b支路支路b结结点点n-1返 回下 页上 页关联矩阵关联矩阵A的作用的作用用关联矩阵用关联矩阵A表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程；方程；设设:以结点以结点为参考结点为参考结点A i=-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 0n-1个独立个独立方程方程矩阵形式的矩阵形式的KCL:A i=0返 回下 页上 页用矩阵用矩阵AT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程。方程。设设:返 回下 页上 页2.2.回路矩阵回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。描述。B=l b支路支路b独独立立回回路路 l注意注意每一行对应一个独立回路，每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。矩阵矩阵B的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：bij1 1 支路支路 j 在回路在回路 i 中，且方向一致；中，且方向一致；-1-1 支路支路 j 在回路在回路 i中，且方向相反；中，且方向相反；0 支路支路 j 不在回路不在回路 i 中。中。返 回下 页上 页例例1123取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向 给定给定B可以画出对应的有向图。可以画出对应的有向图。123B=1 2 3 4 5 6 支支回回0 1 1 0 0 10 0 0 -1 1 -11 -1 0 0 -1 0注意注意基本回路矩阵基本回路矩阵Bf 独立回路对应一个树的单连枝回路得基本独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵回路矩阵Bf返 回支路排列顺序为先连支后树支，回路支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。顺序与连支顺序一致。下 页上 页 连支电流方向为回路电流方向；连支电流方向为回路电流方向；规定规定例例选选 2、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、3、4。1231123B=1 3 4 2 5 6 支支回回1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1BtBl=1 Bt 返 回下 页上 页回路矩阵回路矩阵B的作用的作用用用回路矩阵回路矩阵B表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程；方程；设设 ulut B u=1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1l个独立个独立KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL：B u=0返 回 Bf u=0ul+Btut=0ul=-Btut设：设：连支电压可以用树支电压表示。连支电压可以用树支电压表示。用用回路矩阵回路矩阵BT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程下 页上 页注意注意独立回路电流独立回路电流返 回下 页上 页1231矩阵形式的矩阵形式的KCL：B T il=i 注意注意树支电流可以用连支电流表出。树支电流可以用连支电流表出。返 回下 页上 页3.3.基本割集矩阵基本割集矩阵Qf 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。这里主要指基本割集矩阵。Q=(n-1)b支路支路b割割集集数数注意注意每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路每一列对应一条支路.矩阵矩阵Q的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：qij1 1 支路支路 j 在割集在割集 i 中，且与割集方向一致；中，且与割集方向一致；-1-1 支路支路 j 在割集在割集 i中，且与割集方向相反；中，且与割集方向相反；0 支路支路 j 不在割集不在割集 i 中。中。返 回下 页上 页规定规定割集方向为树支方向；割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵基本割集矩阵Qf例例1选选 1、2、3支路支路为树为树Q1:1,4,5 Q2:2,5,6 Q3:3,4,6返 回QlQt下 页上 页Qf=1 2 3 4 5 6 支支割集割集Q1Q2Q31 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11基本割集矩阵基本割集矩阵Qf的作用的作用用基本用基本割集矩阵割集矩阵Qf表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程。方程。设设返 回矩阵形式的矩阵形式的KCL：Qf i=0下 页上 页 Qf i=1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11n-1个独立个独立KCL方程方程返 回设树枝电压（或基本割集电压）：设树枝电压（或基本割集电压）：ut=u1 u2 u3 T用用QfT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL：Qf Tut=u下 页上 页返 回连支电压可以用树支电压表示。连支电压可以用树支电压表示。下 页上 页注意注意小结小结QABKCLKVLA i=0B T il =iul=-BtutBu=0Qfi=0QT ut=u返 回15.4 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 反映元件性质的支路电压和支路电流关反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。1.1.复合支路复合支路下 页上 页规定标准规定标准支路支路Zk(Yk)+-+-返 回下 页上 页复合支路特点复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。电容、电感，而不能是它们的组合。Zk(Yk)+-+-返 回 复合支路定义了一条支路最多可以包含的不复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下 页上 页注意注意(ZkYk）(ZkYk）+-返 回下 页上 页Zk(Yk)=0+-Zk(Yk)+-Zk(Yk)=0Zk(Yk)=0返 回2.2.支路阻抗矩阵形式支路阻抗矩阵形式 电路中电感之间无耦合电路中电感之间无耦合下 页上 页如有如有b条支路，则有：条支路，则有：Zk(Yk)+-+-返 回设设Z=diagZ1 Z2Zb支路电流列向量支路电流列向量支路电压列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量电流源的电流列向量下 页上 页阻抗矩阵阻抗矩阵返 回整个电路的支路电压、电流关系矩阵：整个电路的支路电压、电流关系矩阵：b b阶对角阵阶对角阵下 页上 页返 回3.3.回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式回路电流回路电流il (b-n+1)1阶阶下 页上 页支路方程：支路方程：返 回回路电压源向量回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为素为自阻抗，其余元素为互阻抗。互阻抗。回路矩阵方程回路矩阵方程下 页上 页返 回从已知网络，写出从已知网络，写出回路分析法的步骤：回路分析法的步骤：求出求出列出回路方程列出回路方程求出求出由由KCL解出解出根据支路方程解出根据支路方程解出下 页上 页小结小结返 回例例下 页上 页用矩阵形式列出电路的回路电流方程。用矩阵形式列出电路的回路电流方程。解解做出有向图，选支路做出有向图，选支路1，2，5为树枝。为树枝。15243121 2 3 4 5 12+R11/jC5jL4R2-jL3返 回下 页上 页把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式返 回写出图示电路支路电压、写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：电流关系矩阵：例例+R1R51/j Cj L2R6234-j L311 12 23 34 45 56 6解解*M+-+有互感时的阻抗矩阵形式有互感时的阻抗矩阵形式一般情况一般情况jLm-MmnjLn-+电电压压电流电流有电压控制的电压源时的阻抗矩阵形式有电压控制的电压源时的阻抗矩阵形式例例+R1R51/j Cj L2R6234-j L31M控制源在第控制源在第I条支路，则第条支路，则第I行；行；控制量在第控制量在第J条支路，则第条支路，则第J列列;若是若是CCVS,AIIJ则则ZIJ=A1.1.支路导纳矩阵形式支路导纳矩阵形式下 页上 页15.5 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式电路中电路中不含互感和受控源不含互感和受控源Zk(Yk)+-+-返 回下 页上 页返 回b b阶对角阵阶对角阵下 页上 页返 回下 页上 页电路中电感之间有耦合电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返 回下 页上 页返 回下 页上 页电路中有受控电源电路中有受控电源Zk(Yk)+-+-返 回下 页上 页Zk(Yk)+-+-返 回考虑考虑b个支路时：个支路时：下 页上 页若：若：kjkjg返 回下 页上 页若：若：kjjkjYb返 回KCL下 页上 页2.2.结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式支路方程：支路方程：KVL返 回Yn结点导纳阵结点导纳阵独立电源引起的流入结独立电源引起的流入结点的电流列向量点的电流列向量下 页上 页返 回结点分析法的步骤结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图第一步：把电路抽象为有向图下 页上 页5V13A1A+-0.550.521小结小结123456返 回第二步：形成矩阵第二步：形成矩阵A123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 1 0-1 1 1 0 0 0 0-1 0 1 -1下 页上 页123456第三步：形成矩阵第三步：形成矩阵Y第四步：形成第四步：形成US、ISUS=-5 0 0 0 0 0 TIS=0 0 0 -1 3 0 T返 回第五步：用矩阵乘法求得结点方程第五步：用矩阵乘法求得结点方程下 页上 页返 回例例下 页上 页用矩阵形式列出电路的结点电压方程。用矩阵形式列出电路的结点电压方程。解解做出有向图做出有向图5243130返 回iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1下 页上 页5243130注意注意g的的位置位置iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1返 回代入代入下 页上 页返 回15-6.15-6.割集矩阵分析法割集矩阵分析法以树支电压为未知量以树支电压为未知量用导纳表示的支路方程用导纳表示的支路方程割集导纳矩阵，主对角线元素为相割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。路导纳之和。割集电流源向量割集电流源向量割集矩阵方程割集矩阵方程选定一个树，写出选定一个树，写出割集分析法的步骤：割集分析法的步骤：求出求出列出割集方程列出割集方程求出求出由由KVL解出解出根据支路方程解出根据支路方程解出例例下 页上 页以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式。以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式。解解做出有向图，选支路做出有向图，选支路1，2，3为树枝。为树枝。1 2 3 4 5 +R11/jC5jL4R2-jL3返 回Q115243Q3Q2下 页上 页把上式各矩阵代入割集电压方程的矩阵形式把上式各矩阵代入割集电压方程的矩阵形式返 回
