第二章 误差的基本性质与处理.ppt

第二章第二章 误差的基本性误差的基本性质与处理质与处理误差理论与数据处理本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使读者能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。教学目教学目标误差理论与数据处理n n三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施n n掌握等精度测量的数据处理方法n n掌握不等精度测量的数据处理方法重点与重点与难点点误差理论与数据处理 当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。计规律。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：成，主要有以下几方面：测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素 人为方面的因素人为方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定。第一节随机误差一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因误差理论与数据处理 设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：随机误差可表示为：随机误差可表示为：随机误差可表示为：(2-1)(2-1)(2-1)(2-1)式中式中式中式中二、正态分布二、正态分布式中：式中：-标准差（或均方根误差）标准差（或均方根误差）e-e-自然对数的底，基值为自然对数的底，基值为2.71822.7182。第一节随机误差误差理论与数据处理 图图2-12-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。值值为曲线上拐点为曲线上拐点A A的横坐标，的横坐标，值为曲线右半部面积重心值为曲线右半部面积重心B B的横坐的横坐标，标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。第一节随机误差其平均误差为：其平均误差为：其平均误差为：其平均误差为：(2-6)(2-6)(2-6)(2-6)此外由此外由此外由此外由 可解得或然误差为可解得或然误差为可解得或然误差为可解得或然误差为 ：(2-7)(2-7)(2-7)(2-7)误差理论与数据处理 由正态分布的分布密度可以推导出：由正态分布的分布密度可以推导出：由正态分布的分布密度可以推导出：由正态分布的分布密度可以推导出：有有有有 ,可推知分布具有对称性，可推知分布具有对称性，可推知分布具有对称性，可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的差的差的差的对称性对称性对称性对称性；当当当当=0=0=0=0时有时有时有时有 ，即，即，即，即 ，这称为误差，这称为误差，这称为误差，这称为误差的的的的单峰性单峰性单峰性单峰性；虽然函数的存在区间是虽然函数的存在区间是虽然函数的存在区间是虽然函数的存在区间是-,+-,+-,+-,+，但实际上，但实际上，但实际上，但实际上，随机误差随机误差随机误差随机误差只是出现只是出现只是出现只是出现 -k,+k,-k,+k,-k,+k,-k,+k,称为误差的称为误差的称为误差的称为误差的有界性有界性有界性有界性；随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于 零：零：零：零：这称为误差的这称为误差的这称为误差的这称为误差的抵偿性抵偿性抵偿性抵偿性。服从正态分布的随服从正态分布的随机误差都具有的四机误差都具有的四个特征：个特征：对称性、对称性、单峰性、有界性、单峰性、有界性、抵偿性。抵偿性。第一节随机误差误差理论与数据处理 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。(一)算术平均值的意义 设 为n次测量所得的值，则算术平均值为:(2-8)(2-8)第一节随机误差三、算术平均值三、算术平均值误差理论与数据处理证明证明证明证明:当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值L L L Lo o o o。第一节随机误差误差理论与数据处理 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(2-9)(2-9)(2-9)(2-9)任选一个接近所有测得值的数任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测作为参考值，计算每个测得值得值 与与 的差值：的差值：(2-10)(2-10)为简单数值。为简单数值。第一节随机误差误差理论与数据处理例例例例1 1 1 1 测量某物理量测量某物理量测量某物理量测量某物理量10101010次，得到结果见表次，得到结果见表次，得到结果见表次，得到结果见表1 1 1 1，求算术平均值。，求算术平均值。，求算术平均值。，求算术平均值。序号序号解：任选参考值解：任选参考值=1879.65，因此算术平均值因此算术平均值第一节随机误差123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01误差理论与数据处理（二）算术平均值的计算校核（二）算术平均值的计算校核（二）算术平均值的计算校核（二）算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。残余误差代数和来校核。残余误差代数和来校核。残余误差代数和来校核。由由由由 当求得的为未经凑整的准确数时，则有：当求得的为未经凑整的准确数时，则有：(2-11)当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在舍入误差当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在舍入误差，即有：，即有：成立。而成立。而 第一节随机误差可用来校核算可用来校核算术平均值及其术平均值及其残余误差计算残余误差计算的正确性。的正确性。误差理论与数据处理用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为：用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为：用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为：用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为：残差代数和应符合：残差代数和应符合：残差代数和应符合：残差代数和应符合：当当当当 ，求得的为非凑整的准确数时，为零；，求得的为非凑整的准确数时，为零；，求得的为非凑整的准确数时，为零；，求得的为非凑整的准确数时，为零；当当当当 ，求得的为凑整的非准确数时，为正，求得的为凑整的非准确数时，为正，求得的为凑整的非准确数时，为正，求得的为凑整的非准确数时，为正，其大小为求时的余数；其大小为求时的余数；其大小为求时的余数；其大小为求时的余数；当当当当 ，求得的为凑整的非准确数时，为负，求得的为凑整的非准确数时，为负，求得的为凑整的非准确数时，为负，求得的为凑整的非准确数时，为负，其大小为求时的亏数。其大小为求时的亏数。其大小为求时的亏数。其大小为求时的亏数。残差代数和绝对值应符合：残差代数和绝对值应符合：当当n n为偶数时，为偶数时，；当当n n为奇数时，为奇数时，。式中的式中的A A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。第一节随机误差误差理论与数据处理序号序号123456789100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01解：因解：因n n为偶数，为偶数，A A0.010.01，由表，由表1 1知知 故计算结果正确。故计算结果正确。例例 2 2 用例用例1 1数据对计算结果进行校核。数据对计算结果进行校核。1879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.010校核规则校核规则:当当n n为偶数时，为偶数时，误差理论与数据处理例例例例3 3 3 3 测量某直径测量某直径测量某直径测量某直径11111111次，得到结果如表次，得到结果如表次，得到结果如表次，得到结果如表2 2 2 22 2 2 2所示，求算术平均值并进行校核。所示，求算术平均值并进行校核。所示，求算术平均值并进行校核。所示，求算术平均值并进行校核。序号序号(mm)(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003第一节随机误差解：算术平均值为：解：算术平均值为：取取2000.0672000.067mm误差理论与数据处理用第一种规则校核，则有：用第一种规则校核，则有：用第二种规则校核，则有：用第二种规则校核，则有：故用两种规则校核皆说明计算结果正确。故用两种规则校核皆说明计算结果正确。第一节随机误差误差理论与数据处理（一）测量列中单次测量的标准差（一）测量列中单次测量的标准差 用标准差用标准差用标准差用标准差来作为评定测量列中单次测量不可靠性的评定标准。来作为评定测量列中单次测量不可靠性的评定标准。来作为评定测量列中单次测量不可靠性的评定标准。来作为评定测量列中单次测量不可靠性的评定标准。原因原因原因原因:四、测量的标准差四、测量的标准差第一节随机误差如图如图1 1所示，所示，值愈小，值愈小，减小得减小得愈快，该测量列相应小的误差就占愈快，该测量列相应小的误差就占优势，测量的可靠性就大，即测量优势，测量的可靠性就大，即测量精度高；精度高；值愈大，函数值愈大，函数 减小减小得越慢，测量精度就低。得越慢，测量精度就低。误差理论与数据处理或然误差或然误差或然误差或然误差 测量列的或然误差测量列的或然误差测量列的或然误差测量列的或然误差，它将整个测量列的，它将整个测量列的，它将整个测量列的，它将整个测量列的n n n n个随机误差分为个随机误差分为个随机误差分为个随机误差分为个数相等的两半。其中一半（个数相等的两半。其中一半（个数相等的两半。其中一半（个数相等的两半。其中一半（n/2n/2n/2n/2个）随机误差的数值落在个）随机误差的数值落在个）随机误差的数值落在个）随机误差的数值落在-+范围内，而另一半随机误差的数值落在范围内，而另一半随机误差的数值落在范围内，而另一半随机误差的数值落在范围内，而另一半随机误差的数值落在-+-+-+-+范围以外范围以外范围以外范围以外,故故故故有有有有平均误差平均误差平均误差平均误差 测量列算术平均误差测量列算术平均误差测量列算术平均误差测量列算术平均误差的定义是：该测量列全部随机误差的定义是：该测量列全部随机误差的定义是：该测量列全部随机误差的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示：绝对值的算术平均值，用下式表示：绝对值的算术平均值，用下式表示：绝对值的算术平均值，用下式表示：由概率积分可以得到由概率积分可以得到由概率积分可以得到由概率积分可以得到与与与与的关系：的关系：的关系：的关系：目前世界各国大目前世界各国大多趋于采用多趋于采用作作为评定随机误差为评定随机误差的尺度。的尺度。第一节随机误差误差理论与数据处理五、标准差的几种计算方法五、标准差的几种计算方法 （一）等精度测量列中单次测量标准差的计算（一）等精度测量列中单次测量标准差的计算（一）等精度测量列中单次测量标准差的计算（一）等精度测量列中单次测量标准差的计算1 1 1 1、贝塞尔、贝塞尔、贝塞尔、贝塞尔(Bessel)(Bessel)(Bessel)(Bessel)公式公式公式公式（2-13）（2-14）第一节随机误差误差理论与数据处理 (2-15)(2-15)(2-15)(2-15)若将式若将式若将式若将式(2-14)(2-14)(2-14)(2-14)平方后再相加得：平方后再相加得：平方后再相加得：平方后再相加得：(2-16)(2-16)(2-16)(2-16)将式将式将式将式(2-15)(2-15)(2-15)(2-15)平方有：平方有：平方有：平方有：当当当当n n n n适当大时，可以认为适当大时，可以认为适当大时，可以认为适当大时，可以认为 趋近于零，并将代入式趋近于零，并将代入式趋近于零，并将代入式趋近于零，并将代入式(2-16)(2-16)(2-16)(2-16)得：得：得：得：(2-17)(2-17)(2-17)(2-17)由于由于由于由于 ，代入式，代入式，代入式，代入式(2-17)(2-17)(2-17)(2-17)得得得得 ：，即，即，即，即(2-18)(2-18)(2-18)(2-18)第一节随机误差误差理论与数据处理例例例例 用游标卡尺对某一尺寸测量用游标卡尺对某一尺寸测量1010次，假定已消除系统误差和粗次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据表中所示大误差，得到数据表中所示 。求算术平均值及标准差。求算术平均值及标准差。第一节随机误差序号序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225误差理论与数据处理2 2 2 2、别捷尔斯法、别捷尔斯法、别捷尔斯法、别捷尔斯法 由贝赛尔公式得：由贝赛尔公式得：进一步得：进一步得：则平均误差有：则平均误差有：由式由式(2-6)(2-6)得：得：故有故有：(2-26)(2-26)第一节随机误差误差理论与数据处理例例例例4 4 4 4 用别捷尔斯法求得该表中数据的标准差。用别捷尔斯法求得该表中数据的标准差。用别捷尔斯法求得该表中数据的标准差。用别捷尔斯法求得该表中数据的标准差。序号序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.035第一节随机误差误差理论与数据处理 若等精度多次测量测得值若等精度多次测量测得值 服从正态分布，在其中服从正态分布，在其中选取最大值选取最大值 与最小值与最小值 ，则两者之差称为极差：，则两者之差称为极差：(2-28)(2-28)根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为(2-29)(2-29)因因 故可得故可得 的无偏估计值，若仍以的无偏估计值，若仍以 表示，则有表示，则有(2-30)(2-30)式中式中 的数值见表的数值见表2-42-4。n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74第一节随机误差3 3、极差法、极差法、极差法、极差法误差理论与数据处理例例5 用极差法求得用极差法求得例例4 4中数据的标准差。中数据的标准差。序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101075.0175.0175.0475.0475.0775.0775.0075.0075.0375.0375.0975.0975.0675.0675.0275.0275.0575.0575.0875.08解：解：极差法具有一定极差法具有一定精度，一般在精度，一般在n10时均可采用。时均可采用。第一节随机误差误差理论与数据处理4 4 4 4、最大误差法、最大误差法、最大误差法、最大误差法 当当测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定值）已知时，能够算出随机误差（称为实际值或约定值）已知时，能够算出随机误差（称为实际值或约定值）已知时，能够算出随机误差（称为实际值或约定值）已知时，能够算出随机误差 ，取，取，取，取其中绝对值最大的一个值其中绝对值最大的一个值其中绝对值最大的一个值其中绝对值最大的一个值 ，当各个独立测量值服从正态，当各个独立测量值服从正态，当各个独立测量值服从正态，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式：分布时，则可求得关系式：分布时，则可求得关系式：分布时，则可求得关系式：(2-31)(2-31)(2-31)(2-31)被测量的真值为未知，按最大残余误差被测量的真值为未知，按最大残余误差被测量的真值为未知，按最大残余误差被测量的真值为未知，按最大残余误差 进行计算：进行计算：进行计算：进行计算：(2-32)(2-32)(2-32)(2-32)式（式（式（式（2-312-312-312-31）和（）和（）和（）和（2-322-322-322-32）中两系数）中两系数）中两系数）中两系数 、的倒数见表的倒数见表的倒数见表的倒数见表2-52-52-52-5。最大误差法有广泛用途。当最大误差法有广泛用途。当 n10n10时，最大误差法具有一定时，最大误差法具有一定精度。精度。第一节随机误差误差理论与数据处理例例例例6 6 6 6 仍仍仍仍用例用例用例用例4 4 4 4的测量数据，按最大误差法求标准差，则有，的测量数据，按最大误差法求标准差，则有，的测量数据，按最大误差法求标准差，则有，的测量数据，按最大误差法求标准差，则有，而而而而 故标准差为故标准差为故标准差为故标准差为第一节随机误差序号序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.035误差理论与数据处理 例例例例7 7 7 7 某激光管发出的激光波长经检定为某激光管发出的激光波长经检定为某激光管发出的激光波长经检定为某激光管发出的激光波长经检定为 ，由于，由于，由于，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长测得激光波长测得激光波长测得激光波长 ，试求原检定波长的标准差。，试求原检定波长的标准差。，试求原检定波长的标准差。，试求原检定波长的标准差。解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长际波长际波长际波长(或约定真值或约定真值或约定真值或约定真值)，则原检定波长的随机误差，则原检定波长的随机误差，则原检定波长的随机误差，则原检定波长的随机误差 为：为：为：为：第一节随机误差误差理论与数据处理5 5 5 5、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的式的式的式的1.071.071.071.07倍；倍；倍；倍；用极差法计算用极差法计算用极差法计算用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，非常迅速方便，可用来作为校对公式，非常迅速方便，可用来作为校对公式，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当当当当n10n10n10n10时可用来计算时可用来计算时可用来计算时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式；，此时计算精度高于贝氏公式；，此时计算精度高于贝氏公式；，此时计算精度高于贝氏公式；用最大误差法计算用最大误差法计算用最大误差法计算用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当更为简捷，容易掌握，当更为简捷，容易掌握，当更为简捷，容易掌握，当n10n10n10n10n10以后，以后，的减小很慢。的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取差，因此一般情况下取n=10n=10以内较为适宜。以内较为适宜。第一节随机误差误差理论与数据处理评定算术平均值的精度标准，也可用或然误差评定算术平均值的精度标准，也可用或然误差R R或平均误差或平均误差T T：(2-22)(2-22)(2-23)(2-23)引入残余误差：引入残余误差：(2-24)(2-24)(2-25)(2-25)第一节随机误差误差理论与数据处理例例例例7 7 7 7 用游标卡尺对某一尺寸测量用游标卡尺对某一尺寸测量1010次，假定已消除系统误差和粗大误次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据表中所示差，得到数据表中所示 。求算术平均值及其标准差。求算术平均值及其标准差。第一节随机误差序号序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225误差理论与数据处理六、测量的极限误差六、测量的极限误差六、测量的极限误差六、测量的极限误差 测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为p p，并使差值（，并使差值（1-p1-p）可予忽略。）可予忽略。（一）单次测量的极限误差（一）单次测量的极限误差（一）单次测量的极限误差（一）单次测量的极限误差第一节随机误差 正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率：正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率：当研究误差落在区间（当研究误差落在区间（-,+-,+）之间的概率时，则得：）之间的概率时，则得：(2-33)(2-33)设设 (2-34)(2-34)概率积分，由附录概率积分，由附录1查得查得误差理论与数据处理极限误差极限误差 ，即，即 当当t t3 3时，对应的概率时，对应的概率p p99.7399.73。第一节随机误差t不超出 的 概率超出 的概率测量次数n超出 的测量次数0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111一般情况下，测量列单次测量的极限误差可表示：置信系数误差理论与数据处理（二）算术平均值的极限误差（二）算术平均值的极限误差 算术平均值误差算术平均值误差 ：当当多多个个测测量量列列的的算算术术平平均均值值误误差差 为为正正态态分分布布时，则测量列算术平均值的极限表达式为：时，则测量列算术平均值的极限表达式为：(2-37)(2-37)通常取通常取t t3 3，则，则 (2-38)(2-38)但当测量列的测量次数较少时，应按但当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏学生氏”分布或称分布或称t t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即 (2-39)(2-39)第一节随机误差式中的 为置信系数，它由给定的置信概率 和自由度 来确定，具体数值见附录3；为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n为测量次数；为n次测量的算术平均值标准差。对于同一测量列，按对于同一测量列，按正态分布和正态分布和t t分布分别分布分别计算时，即使置信概计算时，即使置信概率的取值相同，但由率的取值相同，但由于置信系数不同，因于置信系数不同，因此求得的算术平均值此求得的算术平均值极限误差也不同。极限误差也不同。误差理论与数据处理例例例例2-92-92-92-9 对某量进行对某量进行6 6次测量，测得数据如下：次测量，测得数据如下：802.40802.40，802.50802.50，802.38802.38，802.48802.48，802.42802.42，802.46802.46。求算术平均值及其极限误差。求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值解：算术平均值 标准差标准差 因测量次数较少，应按因测量次数较少，应按t t分布计算算术平均值的极限误差。分布计算算术平均值的极限误差。已知已知 ，取，取 ，则由附录表，则由附录表3 3查得查得 ，则有：，则有：第一节随机误差若若按正态分布计算，取按正态分布计算，取 ，相应的置信概率，相应的置信概率 ，由，由附录表附录表1 1查得查得t t2.602.60，则算术平均值的极限误差为：，则算术平均值的极限误差为：由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显的差由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显的差别。别。误差理论与数据处理七、不等精度测量七、不等精度测量 在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量。是变动的，得到了不等精度测量。对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量。如果这些测量结果是相互一致的。那由不同的人进行测量。如果这些测量结果是相互一致的。那么测量结果就是真正可以信赖的。这是人为地改变测量条件么测量结果就是真正可以信赖的。这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量。而进行的不等精度测量。对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测量，得到了不同的测量结果。我们就需要将心研究和精密测量，得到了不同的测量结果。我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果。这也是不等精度测量。的准确的测量结果。这也是不等精度测量。第一节随机误差误差理论与数据处理（一）权的概念（一）权的概念（一）权的概念（一）权的概念 表示各测量结果的可靠程度，记为表示各测量结果的可靠程度，记为P P，它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度。它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度。（二）权的确定方法（二）权的确定方法（二）权的确定方法（二）权的确定方法 按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，的大小，。假定同一被测量有假定同一被测量有m m组不等精度的测量结果，这组不等精度的测量结果，这m m组测量结果是从单组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准差均为为单次测量精度皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差，则各组算术平均值的标准差为：为：第一节随机误差测量结果的权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲量。误差理论与数据处理例例例例2-102-102-102-10 对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为果为 求各测量结果的权。求各测量结果的权。解：由式解：由式(2-42)(2-42)得得 因此各组的权可取为因此各组的权可取为 第一节随机误差误差理论与数据处理（三）加权算术平均值（三）加权算术平均值 若对同一被测量进行若对同一被测量进行m m组不等精度测量，得到组不等精度测量，得到m m个测量结果为：个测量结果为：设相应的测量次数为设相应的测量次数为n n1 1,n,n2 2,n,nm m，即：，即：(2-43)(2-43)根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值 应为：应为：第一节随机误差将式(2-43)代入上式得：或简写为误差理论与数据处理 当各组的权相等，即当各组的权相等，即 时，加权算术平时，加权算术平均值简化为：均值简化为：(2-45)(2-45)为简化计算，加权算术平均值可表示为：为简化计算，加权算术平均值可表示为：(2-46)(2-46)式中的式中的 为接近为接近 的任选参考值。的任选参考值。第一节随机误差说明：等精度测量是不等精度测量得特殊情况说明：等精度测量是不等精度测量得特殊情况误差理论与数据处理 例例例例2-112-11 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(999.9425mm(三次测量的三次测量的)，999.9416mm(999.9416mm(两次测量的两次测量的)，999.9419mm(999.9419mm(五次测量的五次测量的)，求最，求最后测量结果。后测量结果。解：按测量次数来确定权：解：按测量次数来确定权：，选，选 ，则有，则有 第一节随机误差误差理论与数据处理(四四四四)单位权的概念单位权的概念单位权的概念单位权的概念 由式（由式（2-412-41）知）知 ，此式又，此式又可表示为可表示为 (2-47)(2-47)式中式中 为某精度单次测量值的标准差。因此，具有为某精度单次测量值的标准差。因此，具有同一方差同一方差 的等精度单次测量值的权数为的等精度单次测量值的权数为1 1。称等于称等于称等于称等于1 1 1 1的权为单位权，而的权为单位权，而的权为单位权，而的权为单位权，而 为具有单位权的测得为具有单位权的测得为具有单位权的测得为具有单位权的测得值方差，值方差，值方差，值方差，为具有单位权的测得值标准差。为具有单位权的测得值标准差。为具有单位权的测得值标准差。为具有单位权的测得值标准差。利用单位权化的思想，可以将某些不等权的测量问题利用单位权化的思想，可以将某些不等权的测量问题化为等权测量问题来处理。化为等权测量问题来处理。单位权化的实质，是使任何一个量值乘以自身权数单位权化的实质，是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为的平方根，得到新的量值权数为1 1。第一节随机误差误差理论与数据处理 将将不不等等精精确确测测量量的的各各组组测测量量结结果果 皆皆乘乘以以自自身身权权数数的的平平方根方根 ，此时得到的新值，此时得到的新值z z的权数就为的权数就为1 1。证明：设证明：设 取方差取方差 以权数字以权数字 表示上式中的方差，则表示上式中的方差，则不等精度测量列，经单位权化处理后，就可按等精度测量列来处理。第一节随机误差误差理论与数据处理（五）加权算术平均值的标准差（五）加权算术平均值的标准差（五）加权算术平均值的标准差（五）加权算术平均值的标准差 对同一个被测量进行对同一个被测量进行 m m 组不等精度测量，得到组不等精度测量，得到 m m 个测量结个测量结果为：果为：若已知单位权测得值的标准差若已知单位权测得值的标准差，全部（全部（mnmn个）测得值的算术平均值个）测得值的算术平均值 的标准差为：的标准差为：比较上面两式可得：比较上面两式可得：(2-48)(2-48)因为因为第一节随机误差误差理论与数据处理 当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。差来计算加权算术平均值的标准差。差来计算加权算术平均值的标准差。差来计算加权算术平均值的标准差。已知各组测量结果的残余误差为：已知各组测量结果的残余误差为：已知各组测量结果的残余误差为：已知各组测量结果的残余误差为：将各组将各组将各组将各组 单位权比，则有：单位权比，则有：单位权比，则有：单位权比，则有：上式中各组新值已为等精度测量列的测量结果，相应的残差也成上式中各组新值已为等精度测量列的测量结果，相应的残差也成上式中各组新值已为等精度测量列的测量结果，相应的残差也成上式中各组新值已为等精度测量列的测量结