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傅里叶级数-变换创新 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望在第二章中我们以在第二章中我们以为基本信号将任意信号进行分解为基本信号将任意信号进行分解其中其中h(t)反映了系统的特性。反映了系统的特性。(虚指数函数虚指数函数)为基本信号为基本信号本章以正弦函数或本章以正弦函数或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或 虚指数函数之和。虚指数函数之和。任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚 指数函数积分。指数函数积分。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.具有一定幅度和相位，角频率为具有一定幅度和相位，角频率为 的虚指数函数的虚指数函数作用于作用于LTI连续系统时，所引起的响应连续系统时，所引起的响应(零状态响应零状态响应)是同是同频率的虚指数函数，可表示为：频率的虚指数函数，可表示为：系统的影响表现为频率响应函数系统的影响表现为频率响应函数，它是信号角，它是信号角频率频率 的函数，而与时间的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变无关，用于系统分析的独立变 量为量为，故称之为频域分析。，故称之为频域分析。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。概念相似。为各相应方向的正交单位矢量。为各相应方向的正交单位矢量。它们组成一个二维正交矢量集。它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（2）正交函数集正交函数集 在区间在区间 上的上的n个函数（非零）个函数（非零）,其中任意两个均满足其中任意两个均满足 为常数，则称函数集为常数，则称函数集 为区间为区间 内的正交函数集。内的正交函数集。（1）正交函数正交函数 在在 区间上定义的非零区间上定义的非零实实函数函数 和和 若满足条件若满足条件 则函数则函数 与与 为在区间为在区间 的正交函数。的正交函数。一、正交函数集一、正交函数集Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（3）完备正交函数集）完备正交函数集之外不存在函数之外不存在函数 如果在正交函数集如果在正交函数集 满足等式满足等式，则称该函数集为完备正交函数集。，则称该函数集为完备正交函数集。在区间在区间 内组成完备正交函数集。内组成完备正交函数集。对于复函数对于复函数:若复函数集若复函数集 在区间在区间 满足满足，则称此复函数集为正，则称此复函数集为正交函数集。交函数集。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.复函数集复函数集 在区间在区间 内是完备的正交函数集。内是完备的正交函数集。其中其中 。二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数设有设有n个函数个函数 在区间在区间 构成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数 用这用这 个正交函数的个正交函数的线性组合来近似，可表示为：线性组合来近似，可表示为：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.根据最小均方误差原则，可推出：根据最小均方误差原则，可推出：式中：式中：如果分解的项数越多则误差愈小。即如果分解的项数越多则误差愈小。即，均，均方误差方误差，即，即 在区间在区间 内分解为无穷多项内分解为无穷多项之和。之和。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4.2 傅里叶级数傅里叶级数 将周期信号将周期信号 在区间在区间 内展开成完内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数三角形傅里叶级数”或或“指数形傅指数形傅 里叶级数里叶级数”，统称为傅里叶级数。，统称为傅里叶级数。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.一、周期信号的分解一、周期信号的分解设有一个周期信号设有一个周期信号，它的周期是，它的周期是，角频率，角频率，它可分解为：，它可分解为：其中其中 称为傅里叶系数，称为傅里叶系数，。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.那么那么,傅里叶系数如何求得呢傅里叶系数如何求得呢?式中：式中：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由上式可见，由上式可见，是是 的偶函数的偶函数 ，是是 的奇函数，的奇函数，由于由于是同频率项是同频率项,因此可将其合并因此可将其合并 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.式中：式中：则有则有 可见，可见，是是 的偶函数，即有的偶函数，即有 而而 是是的奇函数，即有的奇函数，即有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直直 流分量流分量 ，一次谐波或基波，一次谐波或基波 ，它的角它的角 频率与原周期信号相同，二次谐波频率与原周期信号相同，二次谐波 ，以此类推，三次，四次等谐波。以此类推，三次，四次等谐波。一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ，是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅，是其初相角。是其初相角。*结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例4.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。解：解：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.它仅含有一、三、五、七它仅含有一、三、五、七.等奇次谐波分量。等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波图 4.2-3 方波的组成Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（1）所所取取项项愈愈多多，合合成成波波形形（除除间间断断点点外外）愈愈接接近近于于原方波信号。原方波信号。（2）所所取取项项数数愈愈多多，在在间间断断点点附附近近，尖尖峰峰愈愈靠靠近近间间断断点。点。（3）即使）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。真值之间没有区别。(吉布斯现象）吉布斯现象）主体主体-低频低频 细节细节-高频高频Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.若若给给定定的的 有有某某些些特特点点，那那么么，有有些些傅傅里里叶叶系系数数将将等于零从而式计算较为简便。等于零从而式计算较为简便。（1）为偶函数为偶函数则有则有 ，波形对称于纵坐标。，波形对称于纵坐标。二、奇偶函数的傅里叶系数二、奇偶函数的傅里叶系数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.从而有从而有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（2）为奇函数为奇函数则有则有 ，波形对称于原点。，波形对称于原点。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.进而有进而有这时有这时有Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。其中其中*一一个个函函数数是是奇奇函函数数还还是是偶偶函函数数不不仅仅与与其其波波形形有有关关，而且与原点的选择有关。而且与原点的选择有关。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.如果如果 的前半周期波形移动的前半周期波形移动 后，与后半周期波形后，与后半周期波形 对称于横轴即：对称于横轴即：，称为奇谐函数。，称为奇谐函数。此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即含有偶次谐波分量。即 0t-TT-T/2f(t)T/21-1图 4.2-6 奇谐函数（3）为奇谐函数为奇谐函数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例4.2-2 正正弦弦交交流流信信号号 经经全全波波或或半半波波整整流流后后的的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。（a）全波整流信号）全波整流信号 （b）半波整流信号）半波整流信号解解（1）全波整流信号）全波整流信号图（图（a）的全波整流信号可写成（其周期）的全波整流信号可写成（其周期 ，为原正弦信号角频率为原正弦信号角频率）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由于它是由于它是t的偶函数，故的偶函数，故 ，基波角频率基波角频率 与信号角频率与信号角频率 相等相等,并令并令 ，对上式进行变量替换得，对上式进行变量替换得:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.可见，它除直流外，仅含有可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。的偶次谐波。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.想一想：本题中若把想一想：本题中若把 f1(t)看成以看成以T/2为周期，则为周期，则 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由于它仍是的偶函数，故由于它仍是的偶函数，故 ，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.令令 ，则，则 对上式进行变量替换对上式进行变量替换:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（2）半波整流信号）半波整流信号图（图（b）的半波整流信号可写为（其周期）的半波整流信号可写为（其周期 ）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.它的傅里叶级数可直接由下式求出它的傅里叶级数可直接由下式求出Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.讨论讨论 关于关于n的奇偶性。的奇偶性。是是n的偶函数。的偶函数。是是n的奇函数。的奇函数。是是n的偶函数。的偶函数。是是n的奇函数。的奇函数。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式将上式第三项中的将上式第三项中的 用用 代换，并考虑到代换，并考虑到 是是 的的偶函数，即偶函数，即 ；是是 的奇函数的奇函数,则上式可写为则上式可写为:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.如将上式中的如将上式中的 写成写成 （），），则上式可以写成则上式可以写成:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.令复数量令复数量 ，称其为，称其为复复傅里叶傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为，相角为 ，则得傅里叶级数的指数形式为则得傅里叶级数的指数形式为 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.复傅里叶系数复傅里叶系数 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.这就是求指数形式傅里叶级数的复系数这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。的公式。任意周期信号任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为之和，其各分量的复数幅度（或相量）为 。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.与与 互为共轭。互为共轭。与与 的关系。的关系。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.三角形式傅里叶级数：三角形式傅里叶级数：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.指数形式傅里叶级数：指数形式傅里叶级数：任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。数或虚指数函数之和。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.复傅里叶系数复傅里叶系数 与与 ，的关系的关系Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.本节小结本节小结1、傅里叶级数的两种形式、傅里叶级数的两种形式 2、傅里叶系数的奇偶性、傅里叶系数的奇偶性三角形式三角形式指数形式指数形式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for.NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.