第二节---芝诺悖论与无限优秀PPT.ppt

例如：例如：“甲是乙甲是乙”与与“甲不是乙甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但这两个命题中总有一个是错的；但“本本句话是七个字句话是七个字”与与“本句话不是七个字本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。又均是对的，这就是悖论。1 再如：再如：“万物皆数万物皆数”学说认为学说认为“任任何数都可表为整数的比何数都可表为整数的比”；但以；但以1为边为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的正方形的对角线之长却不能表为整数之比，这也是悖论。之比，这也是悖论。2 二、芝诺悖论 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不行分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。3 1.四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。2.症结：无限段长度的和可能是有限的；无限段时间的和也可能是有限的。3.芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展 2）最早的“反证法”及“无限”的思想 3）尖锐地提出离散与连续的冲突 空间和时间有没有最小的单位？4 芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，两种理论都有毛病；所以，运动只是假象，不动不变才是真实。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的探讨和发展，不能不说是巨大的贡献。5 三、三、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1.客满后又来客满后又来1位客人位客人 1234k k 2 3 4 5 k+1 k+1 空出空出1号房间号房间 6 2.客满后又来了一个旅游团，旅游团客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人中有无穷个客人 1234k k 2 4 6 8 2k k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 7 3.客满后又来了一万个旅游团，每个客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人团中都有无穷个客人 1 2 3 4 k k 10001 20002 30003 40004 10001k k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 8 4.思 客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否支配？9 四、无限与有限的区分和联系 1.区分 1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。10 当时的伽利略悖论，就是没有看到“无限”的这一特点而形成的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 两集合：有一一对应，元素个数相等；部分小于全体，元素个数不相等。形成悖论。11 2.）在无限集中，“有限”时成立的许多命题不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的状况下，加法结合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)12 在在“无限无限”的状况下，加法结合律不的状况下，加法结合律不再再成立。如成立。如13 有限半群若满足消去律则确定是群。无限半群若满足消去律则确定是群。14 （2）有限级数确定有“和”。是个确定的数 无穷级数确定有“和”。则不是个确定的数。称为该 级数“发散”。反之称为“收敛”。15 2.联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的间建立联系的手手段，往往很重要段，往往很重要.1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证通过有限的步骤，证明白命题对无限个自然数均成立。明白命题对无限个自然数均成立。2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限通过有限的方法，描写无限的过程。的过程。如：如：；自然数自然数N，都，都 ，使，使 时，时，。16 3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如无限次运算的结果，如 4）递推公式）递推公式 ,5）因子链条件）因子链条件（抽象代数中的术语）抽象代数中的术语）17 3.数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1）大烟囱是圆的：每一块砖是直）大烟囱是圆的：每一块砖是直的的（整体看又是圆的）（整体看又是圆的）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下锉下去是直的（很多刀合在一起的效果是去是直的（很多刀合在一起的效果是光滑光滑的）的）18 3）不规则图形的面积：正方形的面不规则图形的面积：正方形的面积，长方形积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则面积。规则图形的面积图形的面积不规则图形的面积？不规则图形的面积？法法.用方格套（想像成透亮的）。方用方格套（想像成透亮的）。方格越小，所格越小，所得面积越准得面积越准 19 法法.首先转化成求曲边梯形的面积，首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形（不规则图形若干个曲边梯形），再设法求若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，矩形面积之和曲边梯形的面积：划分，矩形面积之和 曲边曲边梯形面积；梯形面积；越小，就越精确；越小，就越精确；，再取，再取极限极限 ，就是曲边梯形的面积。，就是曲边梯形的面积。20 五、五、潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实中，只是说话的一种方式，不是一个实体。体。21 从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举全部正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不行能的，它只能存在于人们的思维里。22 但康托不同意这一观点，他很情愿把这个装有全部正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的境况和待遇都不太好。23 2无限集合也有无限集合也有“大小大小”从从“一一一一对应对应”说起说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的合，也可能有不同的“大小大小”。正整数集合是。正整数集合是最最“小小”的无限集合。实数集合比正整数集的无限集合。实数集合比正整数集“大大”。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。不存在最更大。不存在最“大大”的无限集合（即无限集的无限集合（即无限集合，都能找到更合，都能找到更“大大”的无限集合）。的无限集合）。24 这须要这须要“一一对应一一对应”的观点。的观点。1）“一一对应一一对应”双射（单射双射（单射+满射）满射）2）集合的势）集合的势|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3）|N|=可数无穷势可数无穷势a，|Q|=a 4）|R|=不行数无穷（称连续统势不行数无穷（称连续统势c）,；无理数比有理数多得多。；无理数比有理数多得多。25 5）无穷集合可能有不同的势，其中）无穷集合可能有不同的势，其中最小的是最小的是a；不存在最大的势。；不存在最大的势。6）“连续统假设连续统假设”长期未彻底解决长期未彻底解决“连续统假设连续统假设”：可数无穷是无限集中最：可数无穷是无限集中最小小的势，连续统势是（否？）次小的势。的势，连续统势是（否？）次小的势。26 康托康托1882年曾认为他证明白这一年曾认为他证明白这一假假设，后来发觉有错。直到现在，这一设，后来发觉有错。直到现在，这一问题问题仍吸引着一些数学家的爱好。仍吸引着一些数学家的爱好。27 六哲学中的无限六哲学中的无限 1哲学对哲学对“无限无限”的爱好的爱好 哲学是探讨整个世界的科学。自从提哲学是探讨整个世界的科学。自从提出出“无限无限”的概念，就引起了哲学家广泛的概念，就引起了哲学家广泛的的关注和探讨。现在我们知道哲学中有下边关注和探讨。现在我们知道哲学中有下边一些命题：一些命题：28 物质是无限的；时间与空间是无限物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。的；物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对客一个人的生命是有限的；一个人对客观世界的相识是有限的。观世界的相识是有限的。29 2数学对“无限”的爱好 数学则更严密地探讨有限与无限的关系，大大提高了人类相识无限的实力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的实力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热忱，那是人类的情感；对无限的相识成果，则是人类才智与热忱的共同结晶。一个人，若把自己的才智与热忱融入数学学习和数学探讨之中，就会产生一种特殊的感受。假如这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充溢乐趣。30 思 客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否支配？31 答答：能。：能。法法I.将全部旅游团的客人统一编号排成下将全部旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进入表，按箭头进入1，2，3，4，5，各号房间各号房间依次入住，则全部人都有房间住。依次入住，则全部人都有房间住。一团：一团：1.11.2 1.3 1.4 二团：二团：2.1 2.2 2.3 2.4 三团：三团：3.1 3.2 3.3 3.4 32 法法II.让每个旅游团占据某固定素数的方幂让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又由于素数有无穷多个，正整数又“唯一析因唯一析因”，知，能支配住下，且还有空房，知，能支配住下，且还有空房，一团一团 二团二团 三团三团 附：证明附：证明“素数有无穷多个素数有无穷多个”（反证法）（反证法）33 思 构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成果，且要求接近实际：不能跑进9秒）34运动员运动员1 2 3 4 5 6 百米成果百米成果 10秒秒 9.9秒秒 9.89秒秒 9.889秒秒 9.8889秒秒 另另 解解 35 思思：构造一个：构造一个“部分到整体的一一部分到整体的一一对应对应”：从：从0，1）00，+）。36精品课件精品课件！37精品课件精品课件！38 答答 即即 39