2023届高考数学专项复习专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程含答案.pdf
2023届高考数学专项复习专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程2023届高考数学专项复习专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程一、考情分析一、考情分析求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第(1)问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.二、解题秘籍(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程二、解题秘籍(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式2.双曲线标准方程的形式,注意焦点 F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB0,b0,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x2a2-y2b2=(0),再由条件求出的值即可与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示x2a2-y2b2=(0)4.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.【例1】【例1】(2023届山西省长治市高三上学期质量检测)(2023届山西省长治市高三上学期质量检测)已知点P 1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为132(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由【例【例2 2】(20232023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为62,点A 6,4在C上.(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B 1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PD PE 为常数？若存在,求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【例【例3 3】(20232023届甘肃省张掖市高三上学期诊断届甘肃省张掖市高三上学期诊断)已知抛物线C:y2=2px(p1)上的点P x0,1到其焦点F的距离为54.(1)求抛物线C的方程；(2)点E(t,4)在抛物线C上,过点D(0,2)的直线l与抛物线C交于A x1,y1,B x2,y2y10,y20两点,点H与点A关于x轴对称,直线AH分别与直线OE,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证：|AM|=|MN|.(二二)直接法求曲线轨迹方程直接法求曲线轨迹方程1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x,y的取值范围【例【例4 4】设动点 M 在直线 y=0 和 y=-2 上的射影分别为点 N 和 R,已知 MN MR=OM2,其中 O 为坐标原点.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过直线x-y-2=0上的一点P作轨迹E的两条切线PA和PB(A,B为切点),求证：直线AB经过定点.(三三)定义法求曲线轨迹方程定义法求曲线轨迹方程1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解3.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数：(1)若ac,则集合P为椭圆；(2)若a=c,则集合P为线段；(3)若a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点不存在5.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线注意：(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.【例【例5 5】(20232023届河北省示范性高中高三上学期调研届河北省示范性高中高三上学期调研)已知圆A：x2+y2+6x+5=0,直线l(与x轴不重合)过点B(3,0)交圆A于C、D两点,过点B作直线AC的平行线交直线DA于点E.(1)证明|EB|-|EA|为定值,并求点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹方程为C1,直线l与曲线C1交于M、N两点,线段MN的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数入,使得|MN|=|PB|,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.【例【例6 6】已知一定点F(0,1),及一定直线l：y=-1,以动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设P在直线l上,直线PA,PB分别与曲线C相切于A,B,N为线段AB的中点求证：|AB|=2|NP|,且直线AB恒过定点(四四)相关点法求曲线轨迹方程相关点法求曲线轨迹方程“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1=fx，y，y1=gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程【例【例7 7】(20232023 届广东省揭阳市高三上学期调研届广东省揭阳市高三上学期调研)已知 F1 F2是椭圆 C：x24+y23=1 的左右焦点,点P m,nn0是椭圆上的动点(1)求PF1F2的重心G的轨迹方程；(2)设点Q s,t是PF1F2的内切圆圆心,求证：m=2s(五五)交轨法求曲线轨迹方程交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.【例【例8 8】(20222022届重庆市第八中学高三上学期月考届重庆市第八中学高三上学期月考)已知抛物线C:y=x2,过点M 1,2的直线交抛物线C于A,B两点,以A,B为切点分别作抛物线C的两条切线交于点P.(1)若线段AB的中点N的纵坐标为32,求直线AB的方程；(2)求动点P的轨迹.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届广东省广东广雅中学高三上学期届广东省广东广雅中学高三上学期9 9月阶段测试月阶段测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22圆O(O为坐标原点)在椭圆 C的内部,半径为63P,Q分别为椭圆 C和圆O上的动点,且P,Q两点的最小距离为1-63(1)求椭圆C的方程；(2)A,B是椭圆C上不同的两点,且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上求证：以AB为直径的圆过定点2.(20232023届山西省忻州市高三上学期联考届山西省忻州市高三上学期联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率是5,点F是双曲线C的一个焦点,且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C的标准方程.(2)设点M在直线x=14上,过点M作两条直线l1,l2,直线l1与双曲线C交于A,B两点,直线l2与双曲线C交于D,E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补,证明：MAMD=MEMB.3.(20232023届广东省茂名市高三上学期届广东省茂名市高三上学期9 9月大联考月大联考)如图,平面直角坐标系xOy中,点Q为x轴上的一个动点,动点P满足 PO=PQ=32,又点E满足PE=12EQ.(1)求动点E的轨迹的方程；(2)过曲线上的点A x0,y0(x0y00)的直线l与x,y轴的交点分别为M和N,且NA=2AM,过原点O的直线与l平行,且与曲线交于B、D两点,求ABD面积的最大值.4.(20232023届湖南省永州市高三上学期适应性考试届湖南省永州市高三上学期适应性考试)点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,离心率e=72.(1)求双曲线C的方程；(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P),k1,k2分别表示直线PA,PB的斜率,满足k1k2=32,求证：直线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.5.(20232023 届福建师范大学附属中学高三上学期月考届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P-13,0,Q13,0,点G与P,Q两点的距离之和为43,N为一动点,点N满足向量关系式：GN+GP+GQ=0(1)求点N的轨迹方程C；(2)设C与x轴交于点A,B(A在B的左侧),点M为C上一动点(且不与A,B重合)设直线AM,x轴与直线x=4分别交于点R,S,取E(1,0),连接ER,证明：ER为MES的角平分线6.(20232023届云南省大理市辖区高三统一检测届云南省大理市辖区高三统一检测)已知F1,F2为椭圆C的左、右焦点,点M 1,32为其上一点,且MF1+MF2=4(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,点P关于坐标原点O的对称点R,试问PQR的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由7.(20222022届福建省福州第十八中学高三上学期考试届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值8.(20232023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C:y2=2px(p0),O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,|FM|=4,OFM=120(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点Q x0,2在C上,过Q作两条互相垂直的直线QA,QB,分别交C于A,B两点(异于Q点)证明：直线AB恒过定点9.(20232023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期 9 9月联考月联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,椭圆上一动点P与左右焦点构成的三角形面积最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A,B,直线PQ交椭圆C于P,Q两点,记直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,已知k1=3k2.求证：直线PQ恒过定点；设APQ和BPQ的面积分别为S1,S2,求 S1-S2的最大值.10.(20222022届云南省红河州高三检测届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系xOy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为b ab0的圆与线段OM交于点N,作MDx轴于点D,作NQMD于点Q.(1)令MOD=,若a=4,b=1,=3,求点Q的坐标；(2)若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；(3)设(2)中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点B1,B2,若点EF分别满足AE=-3OE,4AF=3OB2,证明直线B1E和B2F的交点K在曲线C上.11.(20222022 届广东省六校高三上学期联考届广东省六校高三上学期联考)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 A：x+22+y2=8,B 2,0,动圆P经过点B且与圆A相外切,记动圆的圆点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)试问,在x轴上是否存在点M,使得过点M的动直线l交C于E,F两点时,恒有EAM=FAM？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.12.(20222022届广东省高三上学期届广东省高三上学期1212月大联考月大联考)已知圆(x+1)2+y2=16的圆心为A,点P是圆A上的动点,点B是抛物线y2=4x的焦点,点G在线段AP上,且满足 GP=GB.(1)求点G的轨迹E的方程；(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M,N两点,若线段MN的中点Q在抛物线y2=4x上,求直线l的斜率k的取值范围.专题专题1 1 圆锥曲线的方程与轨迹方程圆锥曲线的方程与轨迹方程一、一、考情分析考情分析求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第(1)问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)用待定系数法求圆锥曲线的方程用待定系数法求圆锥曲线的方程1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式2.双曲线标准方程的形式,注意焦点 F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB0,b0,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x2a2-y2b2=(0),再由条件求出的值即可与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示x2a2-y2b2=(0)4.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.【例【例1 1】(20232023届山西省长治市高三上学期质量检测届山西省长治市高三上学期质量检测)已知点P 1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为132(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由【解析】(1)点P 1,32,在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上代入得：1a2+94b2=1,点P到椭圆右顶点M的距离为132,则132=a-12+94,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k0),M 2,0,A x1,y1,B x2,y2联立y=kx+m3x2+4y2=12 得 3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0=64k2m2-4 3+4k24m2-12=48 4k2-m2+30 x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,直线MA与直线MB斜率之积为14y1x1-2y2x2-2=14,4 kx1+mkx2+m=x1-2x2-2 化简得 4k2-1x1x2+4km+2x1+x2+4m2-4=0,4k2-14m2-123+4k2+4km+2-8km3+4k2+4m-4=0,化简得m2-2km-8k2=0,解得m=4k或m=-2k 当m=4k时,直线AB方程为y=k x+4,过定点-4,0m=4k代入判别式大于零中,解得-12k0,b0)的离心率为62,点A 6,4在C上.(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B 1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PD PE 为常数？若存在,求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C的离心率为62,所以622=1+b2a2,化简得a2=2b2.将点A 6,4的坐标代入x22b2-y2b2=1,可得18b2-16b2=1,解得b2=2,所以C的方程为x24-y22=1.(2)设D x1,y1,E x2,y2,直线l的方程为y=k(x-1),联立方程组y=k x-1,x24-y22=1,消去y得(1-2k2)x2+4k2x-2k2-4=0,由题可知1-2k20且0,即k21)上的点P x0,1到其焦点F的距离为54.(1)求抛物线C的方程；(2)点E(t,4)在抛物线C上,过点D(0,2)的直线l与抛物线C交于A x1,y1,B x2,y2y10,y20两点,点H与点A关于x轴对称,直线AH分别与直线OE,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证：|AM|=|MN|.【解析】(1)由点P x0,1在抛物线上可得,12=2px0,解得x0=12p.由抛物线的定义可得|PF|=x0+p2=12p+p2=54,整理得2p2-5p+2=0,解得p=2或p=12(舍去).故抛物线C的方程为y2=4x.(2)由E(t,4)在抛物线C上可得42=4t,解得t=4,所以E(4,4),直线OE的方程为y=x,因为点A和点H关于x轴对称,所以H x1,-y1,x1,x2均不为0.由题意知直线l的斜率存在且大于0,设直线l的方程为y=kx+2(k0),联立y=kx+2,y2=4x,消去y,得k2x2+(4k-4)x+4=0.则=(4k-4)2-16k2=16-32k0,得0k0,c0,且a,c为常数：(1)若ac,则集合P为椭圆；(2)若a=c,则集合P为线段；(3)若a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点不存在5.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线注意：(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.【例【例5 5】(20232023届河北省示范性高中高三上学期调研届河北省示范性高中高三上学期调研)已知圆A：x2+y2+6x+5=0,直线l(与x轴不重合)过点B(3,0)交圆A于C、D两点,过点B作直线AC的平行线交直线DA于点E.(1)证明|EB|-|EA|为定值,并求点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹方程为C1,直线l与曲线C1交于M、N两点,线段MN的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数入,使得|MN|=|PB|,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)x2+y2+6x+5=0 x+32+y2=4,得A(-3,0),当|BD|BC|时,如图1所示,因为D,C都在圆A上所以|AD|=|AC|,即ADC=ACD又因为BEAC,所以ACD=EBD,所以EDB=EBD,|ED|=|EB|,所以|EB|-|EA|=|ED|-|EA|=|AD|=2当|BD|BC|时,如图2所示,同理可得,|EB|-|EA|=|ED|-|EA|=-|AD|=-2因此|EB|-|EA|=20,设M x1,y1,N x2,y2,则有y1+y2=-48m8m2-1,y1y2=648m2-1,故x1+x2=my1+3+my2+3=m y1+y2+6=-48m2+48m2-68m2-1=68m2-1,所以线段MN的中点为-38m2-1,-24m8m2-1,从而线段MN的中垂线的方程为y+24m8m2-1=-m x+38m2-1令y=0得,x=-278m2-1,|PB|=3-278m2-1=3+278m2-1=24 m2+18m2-1又|MN|=1+m2y1+y22-4y1y2=1+m2-48m8m2-12-4648m2-1=16 m2+18m2-1故|MN|PB|=16 m2+18m2-18m2-124 m2+1=23,于是=23即存在=23使得|MN|=|PB|.【点评】利用双曲线定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之差的绝对值为定值.【例【例6 6】已知一定点F(0,1),及一定直线l：y=-1,以动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设P在直线l上,直线PA,PB分别与曲线C相切于A,B,N为线段AB的中点求证：|AB|=2|NP|,且直线AB恒过定点【解析】(1)动点M为圆心的圆M过点F,且与直线l相切,动圆圆心到定点F(0,1)与定直线y=-1的距离相等,动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F(0,1)为焦点,y=-1为准线,p2=1p=2,动圆圆心轨迹方程为x2=4y(2)依题意可设P x0,-1,A x1,x214,B x2,x224,又x2=4y,y=14x2y=12x故切线PA的斜率为k1=12x1,故切线PA:y-14x21=12x1x-x12x1x-4y-x21=0同理可得到切线PB:2x2x-4y-x22=0又P x0,-1,2x1x0+4-x12=0且2x2x0+4-x22=0,故方程x2-2x0 x-4=0有两根x1,x2x1x2=-4,k1k2=12x112x2=14x1x2=-1 PAPB又N为线段AB的中点,|AB|=2|NP|又由2x1x0+4-x21=0得到：12x1x0+1-x214=0即12x1x0+1-y1=0同理可得到12x2x0+1-y2=0,故直线AB方程为：12x0 x-y+1=0,故直线过定点F 0,1.【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.(四四)相关点法求曲线轨迹方程相关点法求曲线轨迹方程“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1=fx，y，y1=gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程【例【例7 7】(20232023 届广东省揭阳市高三上学期调研届广东省揭阳市高三上学期调研)已知 F1 F2是椭圆 C：x24+y23=1 的左右焦点,点P m,nn0是椭圆上的动点(1)求PF1F2的重心G的轨迹方程；(2)设点Q s,t是PF1F2的内切圆圆心,求证：m=2s【解析】(1)连接PO,由三角形重心性质知G在PO的三等分点处(靠近原点)设G(x,y),则有m=3x,n=3y又m24+n23=1,所以9x24+9y23=1,即9x24+3y2=1PF1F2的重心G的轨迹方程为9x24+3y2=1(y0)；(2)根据对称性,不妨设点P在第一象限内,易知圆Q的半径为等于t,利用等面积法有：SPF1F2=12|PF1|t+12|PF2|t+12|F1F2|t=12|F1F2|n结合椭圆定义：|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2有124t+122t=122n,解得t=n3由P(m,n)F1(-1,0)两点的坐标可知直线PF1的方程为nx-(m+1)y+n=0根据圆心Q到直线PF1的距离等于半径,有ns-(m+1)n3+nn2+(m+1)2=n33s-m+2n2+(m+1)2=1,9s2-6sm+12s-6m+3-n2=03s2-2sm+4s-2m+1-n23=0,又m24+n23=1化简得12s2-8sm+16s-8m+m2=0,即 12s2-8sm+m2+16s-8m=0 2s-m6s-m+8 2s-m=0,即 2s-m6s-m+8=0由已知得-2m2,-1s0所以2s-m=0,即m=2s(五五)交轨法求曲线轨迹方程交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.【例【例8 8】(20222022届重庆市第八中学高三上学期月考届重庆市第八中学高三上学期月考)已知抛物线C:y=x2,过点M 1,2的直线交抛物线C于A,B两点,以A,B为切点分别作抛物线C的两条切线交于点P.(1)若线段AB的中点N的纵坐标为32,求直线AB的方程；(2)求动点P的轨迹.【分析】(1)联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k即可；(2)写出圆的切线方程,根据P是交点可得x1，x2是方程x2-2x0 x+y0=0的两根,由(1)中x1+x2=k，x1x2=k-2代入化简即可求出.【解析】(1)依题意有：直线AB的斜率必存在,故可设直线AB的方程为y-2=k(x-1).由y-2=k(x-1)，y=x2，可得：x2-kx+k-2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2),则有x1+x2=k，x1x2=k-2.于是：y1+y2=x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=k2-2k+4=3,解得k=1,故直线AB的方程为x-y+1=0.(2)设P(x0，y0),对于抛物线y=x2,y=2x，于是：A点处切线方程为y-y1=2x1(x-x1),点P在该切线上,故y0-x21=2x1(x0-x1),即x21-2x0 x1+y0=0.同理：P点坐标也满足x22-2x0 x2+y0=0，于是：x1，x2是方程x2-2x0 x+y0=0的两根,所以x1+x2=2x0，x1x2=y0.又由(1)可知：x1+x2=k，x1x2=k-2,于是x0=k2，y0=k-2,消k得y0=2x0-2,于是P的轨迹方程为2x-y-2=0,点P的轨迹是一条直线.【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届广东省广东广雅中学高三上学期届广东省广东广雅中学高三上学期9 9月阶段测试月阶段测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22圆O(O为坐标原点)在椭圆 C的内部,半径为63P,Q分别为椭圆 C和圆O上的动点,且P,Q两点的最小距离为1-63(1)求椭圆C的方程；(2)A,B是椭圆C上不同的两点,且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上求证：以AB为直径的圆过定点【解析】(1)设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,由圆的性质,|PQPQ|POPO|-63当点P在椭圆上运动时,当P处于上下顶点时|PO|最小,故|PQPQ|POPO|-63b b-63,即b-63=1-63依题意得ca=22b-63=1-63a2=b2+c2,解得a=2b=1c=1,所以C的方程为x22+y2=1.(2)因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上,所以直线AB与圆O相切.(i)当直线AB垂直于x轴时,不妨设A63,63,B63,-63,此时OA OB=0,所以OAOB,故以AB为直径的圆过点O.(ii)当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为y=kx+m,A x1,y1,B x2,y2.因为AB与圆O相切,所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63,即3m2-2k2-2=0.由y=kx+m,x22+y2=1,得 2k2+1x2+4kmx+2m2-2=0,所以x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1,OA OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+km x1+x2+m2,=1+k22m2-22k2+1+km-4km2k2+1+m2,=1+k22m2-2+km(-4km)+m22k2+12k2+1,=3m2-2k2-22k2+1=0,所以OAOB,故以AB为直径的圆过点O.综上,以AB为直径的圆过点O.2.(20232023届山西省忻州市高三上学期联考届山西省忻州市高三上学期联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率是5,点F是双曲线C的一个焦点,且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C的标准方程.(2)设点M在直线x=14上,过点M作两条直线l1,l2,直线l1与双曲线C交于A,B两点,直线l2与双曲线C交于D,E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补,证明：MAMD=MEMB.【解析】(1)根据双曲线的对称性,不妨设F c,0,其渐近线方程为bxay=0,因为焦点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.所以2=bcb2+a2,因为双曲线C的离心率是5,所以,ca=52=bcb2+a2c2=a2+b2,解得a=1,b=2.所以,双曲线C的标准方程为x2-y24=1.(2)证明：由题意可知直线l1的斜率存在,设M14,t,直线l1:y=k x-14+t,A x1,y1,B x2,y2.联立y=k x-14+tx2-y24=1 整理得 k2-4x2+2kt-12k2x+116k2-12kt+t2+4=0,所以,x1+x2=-2kt-12k2k2-4,x1x2=116k2-12kt+t2+4k2-4.故 MA MB=k2+1x1-14x2-14=k2+1x1x2-14x1+x2+116=k2+14t2+154 k2-4.设直线l2的斜率为k,同理可得 MD ME=k2+14t2+154 k2-4.因为直线AB与直线DE的倾斜角互补,所以k=-k,所以k2=k2,则k2+14t2+154 k2-4=k2+14t2+154 k2-4,即 MA MB=MD ME,所以MAMD=MEMB.3.(20232023届广东省茂名市高三上学期届广东省茂名市高三上学期9 9月大联考月大联考)如图,平面直角坐标系xOy中,点Q为x轴上的一个动点,动点P满足 PO=PQ=32,又点E满足PE=12EQ.(1)求动点E的轨迹的方程；(2)过曲线上的点A x0,y0(x0y00)的直线l与x,y轴的交点分别为M和N,且NA=2AM,过原点O的直线与l平行,且与曲线交于B、D两点,求ABD面积的最大值.【解析】(1)法一：由题意,设E x,y,P12x,y,由 PO=PQ=32得Q x,0,且x24+y2=94,由PE=12EQ 得E23x,23y,则x=23xy=23y,得x=32xy=32y,代入x24+y2=94整理得x24+y2=1,故动点E的轨迹的方程为x24+y2=1.法二：设POQ=,P32cos,32sin,Q 3cos,0,设E x,y,则由PE=12EQ 得x=233cos=2cosy=2332sin=sin,消去得x24+y2=1,故动点E的轨迹的方程为x24+y2=1.(2)如图,设A x0,y0(x0y00),又直线l的斜率存在且k0,设直线l为：y-y0=k x-x0,可得：M x0-y0k,0,N 0,y0-kx0,由NA=2AM,则 x0,kx0=2-y0k,-y0,故x0=-2y0k,kx0=-2y0,联立x204+y20=1x0=-2y0k,可得：y20=k21+k2,即 y0=k1+k2,又BDl,故直线BD的方程为y=kx,联立x24+y2=1y=kx,得：x2=41+4k2,即B、D的横坐标为21+4k2,BD=1+k2xB-xD=4 1+k21+4k2,点A到直线BD的距离d=kx0-y01+k2=3y01+k2=3 k1+k2,SABD=12BDd=6 k1+4k21+k2=61+k21+4k2k2=64k2+1k2+5624k21k2+5=2,当且仅当4k2=1k2,即k=22时等号成立,ABD面积的最大值为2.4.(20232023届湖南省永州市高三上学期适应性考试届湖南省永州市高三上学期适应性考试)点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,离心率e=72.(1)求双曲线C的方程；(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P),k1,k2分别表示直线PA,PB的斜率,满足k1k2=32,求证：直线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,离心率e=72可得；16a2-9b2=1a2+b2a=72,解出,a=2,b=3,所以,双曲线C的方程是x24-y23=1(2)当直线AB的斜率不存在时,则可设A n,y0,B n,-y0,代入x24-y23=1,得y02=34n2-3,则k1k2=y0-3n-4-y0-3n-4=9-y20(n-4)2=12-34n2(n-4)2=32,即9n2-48n+48=0,解得n=43或n=4,当n=4时,y0=3,A,B其中一个与点P 4,3重合,不合题意；当n=43时,直线AB的方程为x=43,它与双曲线C不相交,故直线AB的斜率存在；当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程y=kx+m代入x24-y23=1,整理得,3-4k2x2-8kmx-4m2-12=0,设A x1,y1,B x2,y2,则x1+x2=8km3-4k2,x1x2=-4m2+123-4k2,由=(-8km)2-4 3-4k2-4m2-120,m2+34k2,所以k1k2=y1-3x1-4y2-3x2-4=kx1+m-3x1-4kx2+m-3x2-4=k2x1x2+k m-3x1+x2+(m-3)2x1x2-4 x1+x2+16=32所以,2k2-3x1x2+2km-6k+12x1+x2+2m2-12m-30=0,即 2k2-3-4m2-123-4k2+2km-6k+128km3-4k2+2m2-12m-30=0,整理得3m2+16k-6m+16k2-9=0,即 3m+4k+3m+4k-3=0,所以3m+4k+3=0或m+4k-3=0,若3m+4k+3=0,则m=-4k+33,直线AB化为y=k x-43-1,过定点43,-1；若m+4k-3=0,则m=-4k+3,直线AB化为y=k x-4+3,它过点P 4,3,舍去综上,直线AB恒过定点43,-15.(20232023 届福建师范大学附属中学高三上学期月考届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P-13,0,Q13,0,点G与P,Q两点的距离之和为43,N为一动点,点N满足向量关系式：GN+GP+GQ=0(1)求点N的轨迹方程C；(2)设C与x轴交于点A,B(A在B的左侧),点M为C上一动点(且不与A,B重合)设直线AM,x轴与直线x=4分别交于点R,S,取E(1,0),连接ER,证明：ER为MES的角平分线【解析】(1)设点N(x,y),G(x,y),则由点G与P，Q两点的距离之和为43|PQ|=23,可得点G的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x2+3y2=1,由GN+GP+GQ=0,可得x=x3，y=y3,代入点G的轨迹方程,可得：94x32+3y32=1,所以点N的轨迹方程C：x24+y23=1；(2)设点M(x0，y0),则ME:y=y0 x0-1(x-1),即y0 x-(x0-1)y-y0=0,MA:y=y0 x0+2(x+2),令x=4,得y=6y0 x0+2,R 4，6y0 x0+2,则点R到直线ME的距离为：d=4y0-6y0(x0-1)x0+2-y0y20+(x0-1)2=|3y0(4-x0)|(x0+2)y20+(x0-1)2=(12-3x0)|y0|(x0+2)y20+(x0-1)2,要证ER为MES的角平分线,只需证d=|RS|,又|RS|=|yR|=6|y0|x0+2,y00,所以d=|RS|,当且仅当4-x0y20+(x0-1)2=2,即(4-x0)2=4y20+(x0-1)2时,又(x0，y0)在C上,则x204+y203=1,即4y20=12-3x20,代入上式可得16-8x0+x20=12-3x20+4x20-8x0+4恒成立,ER为MES的角平分线6.(20232023届云南省大理市辖区高三统一检测届云南省大理市辖区高三统一检测)已知F1,F2为椭圆C的左、右焦点,点M 1,32为其上一点,且MF1+MF
