八上平面几何难题集锦.docx

八年级平面几何难题集锦1.如图，等边ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：1BP=CE； 2试证明：EM-PM=AM.2.点C为线段AB上一点，ACM, CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：1AN=MB.2将ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，1中的结论是否依然成立？ 3AN及BM相交所夹锐角是否发生变化。3.，如图所示，在与中，且点在一条直线上，连接分别为的中点1求证：；CENDABM图CAEMBDN图2在图的根底上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出1中的两个结论是否仍然成立. 4.如图，C为线段AE上一动点不及点A，E重合，在AE同侧分别作正三角形ABC与正三角形CDE，AD及BE交于点O，AD及BC交于点P，BE及CD交于点Q，连结PQ以下五个结论：ABCEDOPQ AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60° CP=CQ CPQ为等边三角形共有2对全等三角形 CO平分AOP CO平分BCD恒成立的结论有_把你认为正确的序号都填上 5.：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接1求证：；2过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论AGFCBDE6.如图，以的边、为边分别向外作正方形与正方形，连结，试判断及面积之间的关系，并说明理由7.在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点如图1，观察并猜测，在旋转过程中，线段及有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECFADBECFABCDEF8.如下图，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE9.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动点E不及点A，B重合，另一条直角边及CBM的平分线BF相交于点F. 如图141，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE，EF的长度，猜测DE及EF满足的数量关系是 ； 连接点E及AD边的中点N，猜测NE及BF满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜测. 如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜测此时DE及EF有怎样的数量关系并证明10.中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于、当绕点旋转到于时如图1，易证AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F当绕点旋转到不垂直时，在图2与图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明11.AC/BD,CAB与DBA的平分线EA、EB及CD相交于点E.求证:AB=AC+BD.1ABC，D为ABC外一点，BDC=120°，BD=DCMDN=60°射线DM及直线AB相交于点M，射线DN及直线AC相交于点N，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜测中的结论还成立吗？假设成立，请证明当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系13.如图1，BD是等腰的角平分线，.1求证BC=AB+AD；2如图2，于F，交延长线于E，求证：BD=2CE；ABCDFE图214.，如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180°。15.如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，那么B及ADC互补.为什么？DBEAC16.如图4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求证AD平分BAC. ABCD17.如图，在ABC中ABC,ACB的外角平分线交P.求证:AP是BAC的角平分线EBAC图2D18.如图在四边形ABCD中，AC平分BAD，ADCABC180度，CEAD于E，猜测AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜测，19.如图，在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD20.如下图，在AEC中，E=90°，AD平分EAC，DFAC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF21.如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE及FD之间的数量关系；OPAMNEBCDFACEFBD图图图2如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。22.：如图，BFAC于点F，CEAB于点E，且BD=CD，求证：1BDECDF 2 点D在A的平分线上23.如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC24.：如图，ABC中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，及CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH及BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=BF； (3)CE及BC的大小关系如何？试证明你的结论。25.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线，AFDC，连接AC、CF，求证：CA是DCF的平分线。26.数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，那么AM=EC，易证，所以在此根底上，同学们作了进一步的研究：1小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点改为“点E是边BC上除B，C外的任意一点，其它条件不变，那么结论“AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； 2小华提出：如图3，点E是BC的延长线上除C点外的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图327.ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。28.问题背景，如下命题： 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角ACK的平分线,假设ANM=60°,那么AN=NM 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角DCK的平分线，假设ANM=90°，那么AN=NM 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角DCK的平分线,假设ANM=108°,那么AN=NM任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图4,在正3边形ABCDEF中,N为BC边上任一点,CM为正边形外角DCK的平分线,问当ANM等于多少度时,结论AN=NM成立不要求证明. 如图5,在梯形ABCD中,ADBC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为DCN的平分线,假设ANM=ABC,请问AN=NM是否还成立？假设成立,请给予证明；假设不成立,请说明理由.29.如图，在ABC中，A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PEBD，PFAC，E、F为垂足求证：PE+PF=AB30.如图，ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点D为AB的中点1如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动假设点Q的运动速度及点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD及CQP是否全等，请说明理由；假设点Q的运动速度及点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD及CQP全等？2假设点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，那么经过 后，点P及点Q第一次在ABC的 边上相遇？在横线上直接写出答案，不必书写解题过程31.：在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角ADE，解答以下各题：如果AB=AC，BAC=90°i当点D在线段BC上时及点B不重合，如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为ii当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i中的结论是否还成立？为什么？32.ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点点D不及B、C重合，以AD为边作菱形ADEFA、D、E、F按逆时针排列，使DAF=60°，连接CF1如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；2如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？假设不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；3如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系DCBAEH33.在ABC中，ADBC, BEAC, D、E为垂足，AD及BE交及点H，BD=AD.求证：BH=AC BEAD 34.如图14-1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC = BCEFP的边FP也在直线l上，边EF及边AC重合，且EF=FP1在图14-1中，请你通过观察、测量，猜测并写出AB及AP所满足的数量关系与位置关系；2将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜测并写出BQ及AP所满足的数量关系与位置关系，请证明你的猜测；3将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为2中所猜测的BQ及AP的数量关系与位置关系还成立吗？假设成立，给出证明；假设不成立，请说明理由35.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，那么可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)、是否仍然成立？(请直接答复“成立或“不成立)(2)如图3，假设点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线与DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？假设成立，请写出证明过程；假设不成立，请说明理由.36.如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC，假设AB=CD，试说明BD平分EF；假设将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。37.如图，ABC中，ACB90°，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D求证：1AECD； 2假设AC12 cm，求BD的长 38.如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE与三角板ABC放置在一起，DEA=ACB=90°，DAE=ABC=30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由39.BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP及AQ的数量关系与位置关系40.在RtABC中，ACBC，ACB90°，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.1如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF及 CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC判断FH及FC的数量关系并加以证明2假设E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变本小题直接写出结论，不必证明41.如图，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF42.直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且1假设直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，假设，那么 填“，“或“号；如图2，假设，假设使中的结论仍然成立，那么 及 应满足的关系是 ；2如图3，假设直线CD经过的外部，请探究EF、及BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图343.：如图，四边形ABCD中，AC平分ÐBAD，CEAB 于E，且ÐB+ÐD=180°，求证：AE=AD+BE 44.操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明45.如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAE求证：AF=AD-CF46.如下图，ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AC=BE+BC47.在ABC中，BD=DC，EDDF求证：BECFEF48.，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即ADCE，BECE，1如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：ADCCEB；2如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；3如图3，当CE在ABC的外部时，试猜测ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜测49.如图1、图2、图3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90º，1在图1中，AC及BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。2假设COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC及BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？ 3假设COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC及BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？50.复习“全等三角形的知识时，教师布置了一道作业题：“如图，在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，那么BQ=CP小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP仍然成立，请你就图给出证明51.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片与且。将这两张三角形胶片的顶点及顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时及相交于点当旋转至如图位置，点，在同一直线上时，及的数量关系是 当继续旋转至如图位置时，1中的结论还成立吗？AO及DO存在怎样的数量关系？请说明理由52. 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.53.四边形中，绕点旋转，它的两边分别交或它们的延长线于当绕点旋转到时如图1，易证当绕点旋转到时，在图2与图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明图1图2图354.:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.55.在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q及等边的周长L的关系图1 图2 图3I如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； II如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜测I问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明； III 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，假设AN=，那么Q= 用、L表示FEDCABGH56.如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点点G及C、D不重合， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。求证： BCGDCE BHDE57.1如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO与DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB与等边三角形OCD，连结AC与BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；CBOD图7AEBAODCE图82如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状与大小不变，将OCD绕着点O旋转OAB与OCD不能重叠，求AEB的大小.58.如图，AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形ABCDE的面积59.1如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也及CB的延长线、DC分别交于点E、F请你通过观察、测量，判断AE及AF之间的数量关系，并说明理由2将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由3如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有2中的数量关系？如果有，请说明60.、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：61.如图，正方形中，求证：62.如图，在等腰中，是的中点，过作，且求证：63.如图，在ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EGA B C D G E 64.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，那么其顶角等于 A300B300或1500 C1200或1500 D300或1200或150065.如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，那么CF的长为_A B D M F C 66.如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFE A B D C F 67.如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CDB A C D 68.如图，ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形A C E N M B D 69.如图，MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是 AA5 BA6 CA7 DA8A A1 N M A2 A3 (第69题) 70.如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MEAD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC)A B D M C F E 71.如图，A=120°，且1=2=3与4=5=6，那么BDE=A60° B70° C80° D不能确定，具体由三角形的形状确定72.AC平分DAB，CEAB于E，AB=AD+2BE，那么以下结论：AE=AB+AD；DAB+DCB=180°；CD=CB；SACESBCE=SADC其中正确结论的个数是A1个B2个C3个D4个73.三角形ABC内部有2021个点，以顶点A，B，C与这2021个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？74.如图，在ABC中ACBC，E、D分别是AC、BC上的点，且BAD=ABE，AE=BD求证：BAD=C75.如图，RtABC中，C=90°，D是AB上一点，作DEBC于E，假设BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：ABC的度数76.如图，ABC中，A=90°，AB=AC，1=2，CEBD于E求证：BD=2CE77.如图，点C在线段AB上，DAAB，EBAB，FCAB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，AFB=51°，求DFE度数78.如图，点D是ABC三条角平分线的交点，ABC=68°1求证：ADC=124°；2假设AB+BD=AC，求ACB的度数79.问题提出：如何把一个等边三角形分割成n个n9个小等边三角形解决问题：1把一个等边三角形分割成4个小等边三角形，这个步骤我们称为根本分割法1，请在图a中画出草图2把一个等边三角形分割成6个小等边三角形，这个步骤我们称为根本分割法2，请在图b中画出草图3分别把图c、图d与图e的等边三角形分割成9个、10个与11个小等边三角形问题解决：4请你写出把一个等边三角形分割成n个n9个小等边三角形的分割方法只写出分割方法，不用画图80.三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2，1当AB=8时，求三角形ABC的面积；2当AB变化时，求证：AP的值为定值，并求出这个定值81.设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如下图的两个直角三角形图案，C及D为直角，其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值第 22 页