几类特殊矩阵的幂与乘积.docx

几类特殊矩阵的幂及乘积摘 要：特殊矩阵(Special Matrix)是指它的元素在数值上或其所有的性质上有特性的矩阵.特殊矩阵无论在学术上还是在应用上都有其自身的价值与起着独特的作用.一方面，大多数矩阵类型都有着一定的应用背景;另一方面，从应用课题的研究中又会引出某些矩阵类型. 本文系统的阐述了一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵及对角线型三角矩阵的相关性质及其应用, 通过运用矩阵二项式定理及多项式定理，使得有关计算问题降低一个数量级，并用多个例子论述并总结了特殊矩阵在科研与实践生活中如何更好的应用。关键词：主对角线上元素都相等的上三角形矩阵，对角线型三角矩阵，幂Several kinds of special matrix power and productHuoLiJuan Class 0702, Mathematics DepartmentTutor: CaoChunJuanAbstract: Special Matrix (Special Matrix) refers to its elements in numerical or the nature of its role Have the property of matrix. Special matrix whether in academic or in applications has its own value and plays a unique role. On one hand, most matrix type has certain application background; On the other hand, applied research on topics from and leads some matrix type. This paper elaborated this kind of Lord system on the diagonal elements are equal on triangle matrix and diagonal linear triangular matrices, the related properties and applications by using matrix binomial theorem and related calculation, making polynomial theorem, and an order of magnitude problems reduce discussed and summarized several examples in special matrix research and practical application of how better in life. Keywords: Main diagonal line elements in the triangle matrix are equal, diagonal linear triangular matrices, a power. 第 14 页1引言特殊矩阵是计算数学的重要组成局部。它是研究代数问题的特殊矩阵快速算法及有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究，又涉及工程设计面的研究。随着科学技术的开展与计算机的普及，矩阵理论与方法得到了越来越广泛的应用。在近代数学、工程技术、经济理论及管理科学中，大量地涉及到矩阵的理论，特别是一些特殊矩阵(具有特殊性质与特殊构造的矩阵)，相应的计算规模也越来越大。近十几年来，国防科技与国民经济建立的许多领域中就不断提出了大型或超大型科学计算问题。由于矩阵在各个学术领域与重要应用课题中所起的不可替代的作用，故有必要对其进展细致的研究。科学技术与工程应用中需要进展大量的矩阵计算，而这些矩阵自身往往具备一些特殊的构造及特殊的性质，这即是所谓的特殊矩阵。由于特殊矩阵在数值分析、优化理论、自动控制、数字信号处理、系统辨识、工程计算等领域中有重要而广泛的应用，所以对特殊矩阵的研究一直是被关注的热点。为提高特殊矩阵的运算效率，通过运用特殊矩阵的特殊构造及性质，使得有关计算问题降低一个数量级，研究特殊矩阵的幂及乘积，这是具有重要的理论意义与现实意义的研究课题。自德国数学家托普列茨(Toeplitz,Otto,1881-1940)在二十世纪初首先提出主对角线上元素都相等的上三角矩阵的定义并研究了它的一些简单性质以来，有众多学者在此根底上又给出了许多优美的性质。在?计算数学?、?数值计算及计算机应用?、?高等学校计算数学学报?、?高校应用数学学报?、?数学的实践及认识?等期刊上，已发表了为数众多的相关论文。近年来，J.Rimas， JesdSGutirrez一Gutirrez，Q.Yin等已经发表了一些计算特殊方阵的整数次幂的文章。2002年,张胜李长辉发了关于一类上三角矩阵方幂的求法2。2003年，姜海勤发表了特殊方阵高次幂的求法6。本文通过对特殊矩阵幂及乘积了解的根底上，进一步探讨一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵及对角线型三角矩阵方幂及乘积。2预备知识为了深入学习特殊矩阵的幂及乘积，我们有必要回忆一下特殊矩阵的相关知识。2.1 定义矩阵 由 个实数排成的一个 行列的矩形数表称之为 矩阵，位置 ,上的元素，一般用表示强调两个足标的意义。矩阵可简记为或或。2.2 一些特殊矩阵负矩阵 设 ，称矩阵 为矩阵的负矩阵。转置矩阵 设 将的行与列对应互换得到的矩阵，定义为的转置矩阵，记作，。由定义可知，即在位置上的元素是矩阵A在位置上的元素。 对称矩阵 设是 阶矩阵。假设其元素满足：假设其元素满足：那么称是反对称矩阵。此时成立 。伴随矩阵 设，由行列式 | 的代数余子式 所构成的矩阵称之为矩阵的伴随矩阵。注意到，伴随矩阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式。例如， 的伴随矩阵是 。逆矩阵 设是阶矩阵，假设存在矩阵，使得那么称矩阵是矩阵的逆矩阵；并称是可逆矩阵或称矩阵是可逆的。 例如，那么 是的逆矩阵。 2.3 矩阵方幂的几种常用求法 利用矩阵乘法的结合律对于秩为1的方正，可将分解为一个列向量及行向量的乘积，利用矩阵乘法的结合律就出.= ，求。 解：可分解为=故 相似矩阵的对角化法当方阵可对角化时，可通过求及相似的矩阵的方幂来求.而实对称矩阵一定可以对角化，故对于实对称矩阵一定可以用此法来求.例2矩阵，求。解 的特征多项式=，故的全部特征值为=，=对于=，求解齐次线性方程组，得出属于的一个特征向量.对于=，求解齐次线性方程组，得出属于的两个线性无关的特征向量这样，记那么有于是 假设尔当型矩阵的相似法 复数域上任意矩阵都相似于一假设尔当标准型，假设尔当标准型为准对角矩阵.故对于不能对角化的矩阵，可通过求它的假设尔当标准型的方幂从而求出矩阵的方幂.此法具有一般性，缺点是当较大时，求假设尔当型矩阵的方幂较为麻烦. 例3. =，求。解先求出的假设尔当标准型，求对进展初等变换，可见的假设尔当标准型是= ,设矩阵满足,求出一个=,那么 利用数学归纳法可方便的求出某些矩阵的方幂.,求。解由此猜测假设当时，猜测成立，那么故当时猜测也成立，因此对一切正整数，都有3 运用一个新方法二项式定理求特殊矩阵的方幂引理1(二项式定理)令是一个正整数,对所有的与,那么有定理1(矩阵二项式定理)设及是阶方阵,且,那么其证明方法及二项式定理的证明类似。引理2(多项式定理)7令是一个正整数,对所有的都有定理2(矩阵多项式定理)设(i =1,2, t)是阶方阵,且 (i,j= 1, 2, t),那么3.1 阶对角线型三角矩阵 定义定义1满足以下条件的阶方阵称为阶对角线型上三角矩阵。(1)当i>j(i,j=1,2,m)时, =0;(2)当ij(i,j=1,2,m)时, = 。阶对角线型上三角矩阵的一般形式为类似地, 阶对角线型下三角矩阵的一般形式为定义2满足以下条件的阶分块矩阵(阶矩阵)(其中为t阶方阵)称为阶分块对角线型上三角矩阵。(1)当 (, )时, =0;(2)当 (, )时, =。m阶分块对角线型上三角矩阵的一般形式为类似地,m阶分块对角线型下三角矩阵的一般形式为: 。 定理利用定理1与定理2可得推论1。推论1设(, )是m阶方阵,C(,)且 (, ),那么推论1中而且那么有推论2.推论2 设那么通过推论2的形式,不难得出它的转置形式。推论3 设，那么证明过程类似于推论2.在实际计算过程中为了方便简化计算,引入如下定理3。定理3设)是m阶分块对角线型方阵,那么此定理被称为简化定理,定理证明采用数学归纳法。定理4设是t阶方阵，是m阶分块对角线型方阵,，那么 那么有通过定理5的形式,不难得出它的转置形式。推论4设为m阶分块对角线型下三角矩阵是t阶方阵，。那么有 证明过程类似于定理5。在实际计算过程中,形同定理5,推论4的具体问题也可以应用简化定理进展计算。 应用举例 例6求的5次幂。 解将矩阵写成分块矩阵为其中.通过验证知，通过简化定理得:那么3.2 一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵 定义我们所要研究的是具有下面形式的一类对角线上元素都相等的上三角矩阵下面记,其中: 是上述形式的级方阵, 是级单位矩阵, 是数域中的数。 定理引理3 如果分块矩阵存在，那么=。证明 对次数作数学归纳法。当时,结论成立, 即 =。利用矩阵的分块乘法有=由数学归纳法原理可知此命题得证。引理4 对上述形式的级矩阵有。证明 对级数作数学归纳法。当时, , ,结论成立。假设级数为n结论成立,即,进而有,现在来看级数为时情况,设可知存在，于是由引理1结论及假设有定理5 如果为上述形式的矩阵,那么有如下的公式:其中：。 证明 由于数量矩阵及可交换而且存在,所以利用引理3得当时,结论成立。因此只须证明当时结论成立即可,由引理2结论又有,于是 应用由于的方幂比拟容易计算,因此用此公式解决上述形式的矩阵的方幂比拟简单,特别是当指数较大且矩阵的级数较小时更为方便。现在就以刚开场提出的那道题为例。例7 求。解 设=，而于是利用定理公式得3.3 假设当形矩阵 定义 形如的矩阵，称为假设尔当形矩阵。 定理定理6如果数域P上两个矩阵及可交换,那么有矩阵的二项式定理其中记。 下证假设尔当形矩阵满足定理6. 显然具有上述的形,且是级单位矩阵(i =1,2,s)。由预备结论有取那么且及可交换,易验证,于是利用矩阵的二项式定理得 应用例8 ，求。解 最后指出,因任一级复数矩阵及约当形矩阵相似,存在一个可逆矩阵使,且,所以说理论上的方幂转化为的方幂,且的方幂易求。3.4 级矩阵的次方幂的通项公式的另一种证明方法 相关定理引理设是一个数域, 是整数,元素在中的全体级矩阵对于矩阵的加法及乘法成一环。引理2在环中,如果元素、可交换,即,那么,二项式定理成立，,这里n是正整数。证明用数学归纳法：当时，结论成立。假设当时,有，下面证当时结论也成立。由得,于是而所以=。 证明 例9级矩阵的次方幂的通项公式的另一种证明方法 文2中指出:假设矩阵满足，那么有根本通项公式：,其中:记，是中对角线上的任一元素,且。显然数量矩阵及可交换满足矩阵二项式定理条件,于是有另一种证明。证明4 小结以上我们在回忆矩阵相关知识的根底上，进一步系统的阐述了阶对角线型三角矩阵，一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵等的一些重要定理与应用等知识。以便更好的为我们的科研与生活效劳。5 完毕语矩阵研究的蓬勃兴起，为各类复杂矩阵包括特殊的与一般的的研究提供了新的途径与方法。本文的工作正是基于这样的背景进展的，将一般矩阵的研究方法运用于特殊的矩阵研究中去，提出了几类特殊矩阵的幂及乘积的计算方法及简单应用。由于所学知识深度有限，使得本文得出的结论必然有一定的局限。参考文献： 1 北京大学数学系.?高等代数?(第三版)M.北京：高等教育出版社，2003。 2 李长辉, 张盛, 关于一类上三角形矩阵方幂的求法J. 2002:(3). 3 戴泽俭，N阶矩阵方幂的求解方法J. 巢湖学院学报,2021:(6). 4 刘兴祥,刘小春,对角线型三角矩阵n次幂的研究J.2021：(7). 5 张盛,可换矩阵二项式定理的应用J. 锦州师范学院学报,2003：(3). 6 姜海勤, 特殊方阵高次幂的简单求法J. 扬州职业大学学报,2003：(3). 7 邓家齐.关于n阶矩阵m次方幂的通项公式问题J.数学通报,1984,1:2324. 8 Van Lint JH,W ilson R M. A course in combinatorics. Second Edi-tion.北京:机械工业出版社, 2004: 1517. 9 殷剑宏.组合数学.北京:机械工业出版社, 2006: 2733.次幂的方法.大学数学, 2007; 23(2): 155157 11 北大数力系.高等代数M.北京:高等教育出版社,1979.谢 辞时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将完毕，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进展科学研究甚至如何做人。回想起四年的学习生活，有太多的人给我以帮助及鼓励，教导及交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！首先，衷心感谢我的恩师曹春娟副教授对我的悉心教导与指导！在跟随曹教师的这段时间里，我不仅跟曹教师学到了许多专业知识，同时也学习到了她严谨求实、一丝不苟的治学态度与踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。在此我对曹教师的教育与培养表示衷心的感谢！同时我还要感谢学校领导与数学系的师生对我日常生活的关心与帮助，思想上的鼓励与启发，以及为我提供了良好的学习环境。谢谢你们！ 最后，我要感谢我的家人在这些年来给予我的大力支持，正是她们为我仔细检查该文，使得本文更加流畅、整洁。